圓內(nèi)接四邊形綜合題

1、 例2:如圖，正方形 ABCD的而積為5, E、F分別為CD、DA的中點， 例如5 I 5-C F,X圖/-AP= 5 例3、如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于00, CB=CD=4. AC與 BD相交于E, AE二6,線段BE和DE的長都 是正 AC與 例& &如圏 四邊形ABCD內(nèi)接于0d CB二CD PE BE、CF相交于P求AP的長 BE、CF相交于P, 4,長都是正整數(shù)，求ED的長 % / & :二 & & ? ? ZBDe二 ZPBC T ZBAOZBDC/. ZBAOZDBC XZACB 二 ZBC 為 /.AVBC8 俚 EC .? .AC BC=BC EC/. (AE+EC) BC

2、=BC:EC 即(- -Ee):4=4:EC. EC=2 ? .? AE-EOEB-ED即卩即卩 6X2=EB? ED /. EB? ED 二 12 I線段EB和ED的長是正整數(shù)，且三角殄兩邊之和大于第三邊 ? ? ? ? ?只能是 EB 二 3, EDH 或 EB=ED=3 /. BD的長是7 銅4;如圖，0Q丄AB, 0為ZSABC外僅圜的圓心，F(xiàn)為亙線0Q與AB的交點，BC與0Q交于 點，A. Cf Q三點共線，求證：0oP-QQ. /. XAOF 二 2 ZAOB又 ZACB二 2 ZAOB? -? ZAOF二 ZACB AA. 0、P. C 四點茯圓？ . . ？ / / C%=/C

3、FQ /ZCPQ 二 ZBP0, . ZOAQ=ZBjy ZAPCZBPO? .ZOAQ二 ZAPO 又 ZAOQ=ZPOA? A OAQoo A OP A V. OAi OP=OQi 0A, /. 例4:如圖，0Q1AB, 0為厶ABC外莪圓內(nèi)圓F為宜線0Q與AB的交點，BC與0Q交于F心. . 點，AS G 0三點共線，求證；OAOPOQ證明，延長0F交C)0于E連接AP、0B V0F1AB, AAf 二 EF APA 二 PByOA 二 OB, 0P 二 0P /. ZAOPAZ YBOP /. ZAPO=ZBPO OA2=CiP-OQ 例5:如圖，P是C) 0外一點，PA與(D0切于點

4、A, PBC是C) 0的 割線，AD丄P0于D, 求證：PB: BD = Pe:CD VOFIABA % % 二 j% 例& &険険別分為別FC、6MTK- NEm求MPJ到BC的直線交BE/C周于C. D, 例壬如圖，P是00外一點，F(xiàn)A與C)0切于點A, PBC張) )0的割線， ADIPo 于 D, 求證：FB: BD 二 PC: CD 交AB延長線與 M (MB AB, PE丄2nBC /. ? /. ZNCP /.PM 例7:在半00中，AB為直徑, , 求證：ZMK0=90 一 .ZBDE 一 ZBCO P ME二 6X4 2PE 二 2 J0B=CC /. ZBCO=ZCBO /

5、. ZBDE=ZCBO 又? ? .*.* ZCBID=ZCDO, A ZBDE=ZCD0 ? ? BD=BE例6 :如圖，直線 AB、AC與00分別 相切TBE/CD于B、C兩點，P為圓上一點，P到AB、 二 Z1PLGS厶 PE1I 證明過目B作BEGeD交Po于E連接C) A、0B 0C TPA 是 G)0 的切線，APA1C I A XArlP0, . PA2=PD ? PO JPA是 00 的切線， ? ? ? ? ? ? M5=PB ? pg /. PD ? P0=PB? PC ? ? ? P、C、0、D四點共圓， AC 的距 ACvMD),設K是Z AOC與ADOB的外接圓除點0

6、 外的另一個交點 例人 在 liE 瓦逵 接Ba BK. CR. AD, 貝lj ZEMC ZACD 例 求：四邊形ABCD的而枳（用“表示） . AOBC+oo 例&如圖，在li內(nèi)接四邊形ABcD中,AB=AD,積(用ZBAD R表示) =60 解 TABCD是圓0的內(nèi)接四邊形 . AC ? BD二 AEi ? CD+AD? BC VABCD是圓0的內(nèi)接四邊形 ,ACP,求，四邊形 AECD 的而 /. AC ? BD=AB ? CDMD ? BC P. P AB 二 AD, ZBAD=60 ? A3D是等邊三角形 /. AB 二 AD 二 BD ZACB 二 ZAI)B 二 60, ZAe

7、D 二 ZABD 二 60。 ? ? ? SgBe=(IQ)AC ? BC? SinZACB二(1/2)AC ? BC ? sin60 SCADC= (VS) AC ? CD ? Sin ZAC二 (1 / 2)AC ? CD ? s i n60 ? S四奶 ABCD二 SBC+SctAjc=( 2)AC- BC? s i n60 (1( f2)AC ? CD? sin 60 二 (1 AeFn60 CBC+CD) 1( 2)AC? S rj60 - AC一、選擇題 1、 設ABCD為圓內(nèi)接四邊形，現(xiàn)繪出四個關(guān)系式： (l)SinA=SinC; (2)SinA+sinC二0; (3)gB+co

8、sD二0; (4)COsB二CosD;苴屮忌能成立的關(guān)系式的個數(shù)是 (B) AX 一個：BS兩個：CS三個：DS四個； 2、 下面的四邊形有外接園的一定是 (C) AS平行四邊形； BS梯形；C、等腹梯形； D、兩個角互補的四邊形； 3、四邊形 ABCD內(nèi)接于圓，ZA： ZB： ZC二7： 6 : 3,則ZD等于(E) A、36 B 72 ； C、144 D、54。： 4如圖 1,在四邊形 ABeD 屮，AB 二 BC二 AC 二 AD 八 AH1CD 于H, CP丄EC交AH于 P, AS=/3 AP=B 則 BD 等于(C) AS 2 近； DX 2； CX 3; DS V7 ； 5. .

9、對于命題：內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊理是正五邊形； 瀚相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形。以下四個結(jié)論屮正 確的 是(B) A、，都對； BX對，錯； C、錯，對； D、，都錯； 二、填空題 6s 如圖 2, ABCH, ZBN50o , AC=3cm, U I JMBC的外接圓半経為空 CnU 7. .如圖 3, 25ABC 中，ZACB=?5% ED 丄 AC 于 D, CE1ABT貝9 ZAEDV ,Z CED二 25 “ . 8x如甌&BC屮，AD是ZBAC的平分線，延長 AD交ABC的外接園于 E? ?己知AB二a , ED二/?, /?, BE 二C貝叮AE二些嶺DE二比/ % % 9如圏5,

10、正方形 ABCD的屮心為6面積1989, P為正方形內(nèi)一點 且 Z0PB=45 , PA PB 二 5: 14,貝 ij PB 二 42w 10、如圖6,四邊形ABCD內(nèi)接于以AD為言徑 的圓中，若AB和13C的長廃各 為1, CDJ 那么AD二4。( (此題計算過于復雜！ 三？解答題 IIS如圖C在AABC中，AD為高線，DE丄AB于E, DF丄AC于F。 求證：B. C F、E四點共虱 W1 :在AABD44，由射影定理得 AD2=AE AB 同理在AACD屮，由射影逹理得 AD2=AF ? AC ? ? AE ? ABC AE ? AB ? B C F E四點共 三 證注2:連接EF V

11、DE 丄 AB, /. ZAED 二 90 VDF1AC ? ? ? ZAFD 9。 ? ? ? ZAED+ZAFD二 180 ? ? A. E、D、F四點共圓 ? ? ? /ADE 二 /AFE V ZEAD+ZB 二 90 , ZEAD+ZADE 二 9 ? ? ZB 二 ZADE 12s如圖？四邊形ABCD內(nèi)接于圓，ADS BC的延長線交于F, AB, DC的延長線交于E, EG平分ZAED 交BC于交 AD于G, FH平分ZAFB交AB于IL交CD于 N。求證；EG丄FH 證法 V ZAGIZAD C4 ZAED, ZAHF-ZABC+| ZAFB A ZOKH-360 0 -ZA-Z

12、AGE-ZAHF A =360? -ZA-( ZADC-4 ZAED)-(ZABC+| ZAFB) =360 ? ZA.(ZADd-ZADC)-2 (ZAED+ ZAFB) =360c -ZA-180fr ? g (ZAED+ZAPB) ? ? ZB=ZAFE ? ? B CS FS凹點共圓 二 180 - ZA- | (180 -ZA-ZADC11SC0 ? ZXAZABC) 二 180 - ZA-J 360 -2ZA-(ZADC+ ZABC) 二 180 -ZA-1800 +ZA+ I X180o AEG1FH證注2: TA. B. CS D四點共圓 ? ? ? ZECM=ZBAD 又 Z

13、FGM二 ZBAD+ ZAEG二 ZBAD* | ZAED ZFMG. ZECM-? | /AED ? ? ZFGM 二 ZFMG FG=FM XZAFH=ZBFH /. EG1FH 13、如圖9,肋為圓的直徑， ADS求證: BE二AB:證明：過點E作EF丄AE于&則 ? ZEFB二9(T , ZC=90 EC為圓的兩條弦，且ED與AC相交于E ? ? ZEFB? ZC二 180 -B CX EX F四點共圓 ?AE? AC 二 AF ? AB / ZEFA 二 9(T , ZD=90ft :? ZEFA4 ZD=90 A / A. DS EX F四點共圓 A BE ? BD 二 BF? AB (IW 得二 AE ? ACBE ? BD=AF ? AB4-BF ? AB AF+BF 二 AB 圖 / AE ? AC4BE ? BD二 AB 14 x 女口圖 10, AABC 內(nèi)接丁 圓，P 為 BC土 一點，PD 丄 AB 丁 D PEdJBChE, PF1 AC于B。求證：D、ES F三點共線。證明：連接 BP、CPX DES EF