雙曲線知識點及題型總結(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雙曲線知識點及題型總結1 雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（為常數(shù)）這兩個定點叫雙曲線的焦點要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|F1F2|時，動點軌跡不存在.動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲

2、線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線2. 雙曲線的標準方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.5.曲線的簡單幾何性質(zhì)=1（a0，b0）范圍：|x|a，yR對稱性：關于x、y軸均對稱，關于原點中心對稱頂點：軸端點A1（a，0），A2（a，0）漸近線

3、：若雙曲線方程為漸近線方程若漸近線方程為雙曲線可設為若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）特別地當離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；y=x，y=x準線：l1：x=，l2：x=，兩準線之距為焦半徑：，（點P在雙曲線的右支上）；，（點P在雙曲線的右支上）；當焦點在y軸上時，標準方程及相應性質(zhì)（略）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是6曲線的內(nèi)外部(1)點在雙曲線的內(nèi)部.(2)點在雙曲線的外部.7曲線的方程與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近

4、線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）.8雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.9線與橢圓相交的弦長公式 若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設而不求”的解題思想；高考題型解析題型一：雙曲線定義問題1.“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件2.若，則“”是“方程表示雙曲線”的( )A.充分不必要條件. B

5、.必要不充分條件. C.充要條件. D.既不充分也不必要條件.3.給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結果填在下面橫線上. _.4.過雙曲線x2-y2=8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則PF2Q的周長是 .題型二：雙曲線的漸近線問題1.雙曲線=1的漸近線方程是( )A. y=±x B.

6、y=±x C.y=±x D.y=±x2.過點（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是( )A.=1 B.=1 C.=1 D.=1題型三：雙曲線的離心率問題1已知雙曲線 (a0,b0)的左右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且PF1=4PF2,則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）ABCD2.已知是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,若是正三角形,那么雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. 2 D. 33.過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|

7、,則雙曲線M的離心率是 ( )A. B. C. D. 4.在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為，則該雙曲線的離心率為( )A. B. 2 C . D. 25.已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+) D.(2,+)題型四：雙曲線的距離問題1.設P是雙曲線=1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF1|=3，則|PF2|等于( )A.1或5 B.6 C.7 D

8、.92.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是A.(,) B. (-,) C. , D. -,3.已知圓C過雙曲線=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_.題型五：軌跡問題1.已知橢圓x2+2y2 =8的兩焦點分別為F1、F2，A為橢圓上任一點。AP是AF1F2的外角平分線，且 =0.則點P的軌跡方程是 . 2.雙曲線x2y2 =4的兩焦點分別為F1、F2，A為雙曲線上任一點。AP是F1AF2的平分線，且 =0.則點P的軌跡是（）A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分 C.圓的一部分 D.拋物線的一部分 3

9、求與圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程高考例題解析1.已知是雙曲線的左、右焦點,P、Q為右支上的兩點,直線PQ過,且傾斜角為,則的值為 ( )A B 8 C D 隨的大小變化答案: A解析: 用雙曲線定義列方程可解2.過雙曲線的右焦點作直線交曲線于A、B兩點,若則這樣的直線存在 ( )A 0條 B 1條 C 2條 D 3條答案: D解析: x軸時的焦點弦長AB=4最短為通徑,故交右半支弦長為4的直線恰有一條;過右焦點交左右兩支的符合要求的直線有兩條3. 直線與曲線的交點個數(shù)是 ( )A 0個 B 1個 C 2個 D 3個答案: D解析: (0, 5)點為完整雙曲線和橢圓的極值點,故y=5為其切線,

10、當直線斜率不為0時,直線必與每個曲線交于兩點4. P為雙曲線上一點,為一個焦點,以為直徑的圓與圓的位置關系為 ( )A 內(nèi)切 B 外切 C 內(nèi)切或外切 D 無公共點或相交答案: C解析: 用兩圓內(nèi)切或外切的條件判斷5. 設是雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足,則的面積為 ( )A 1 B C 2 D 答案: A解析: 勾股定理,雙曲線定義聯(lián)立方程組h或面積公式6. 設是雙曲線的左、右焦點,P在雙曲線上,當?shù)拿娣e為1時,的值為( )A 0 B 1 C D 2答案: A 解析: 不妨設由, , ,7.過點A（0，2）可以作_條直線與雙曲線x21有且只有一個公共點答案：4 解析：數(shù)形結合，兩切線

11、、兩交線過點P(4,4)且與雙曲線1只有一個交點的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條解析：如圖所示，滿足條件的直線共有3條答案：C8.已知A（3，2），M是雙曲線H：上的動點，F(xiàn)2是H的右焦點，求的最小值及此時M的坐標。解：由，則 此時M的坐標（）9. 已知雙曲線C：，一條長為8的弦AB兩端在C上運動，AB中點為M，則距軸最近的M點的坐標為 。解：又，則當且僅當時，取“=”，由逆徑，故可取“=”又由即故M（）10.P為雙曲線x21右支上一點，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為_解析：雙曲線的兩個焦點為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個

12、圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：5.直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。（）求實數(shù)的取值范圍；（）是否存在實數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出的值。若不存在，說明理由。解：（）將直線依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故 （）設A、B兩點的坐標分別為、，則由式得假設存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c,0）.則由FAFB得：整理得把式及代入式化簡得解得可知使得以線段AB為直徑

13、的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.（四川卷）9.已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線kx1與曲線E交于A、B兩點。（）求的取值范圍；（）如果且曲線E上存在點C，使求。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。解：（）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知 故曲線的方程為 設，由題意建立方程組 消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有 解得 依題意得 整理后得或但 故直線的方程為設，由已知，得，又，點將點的坐標代入曲線的方程，得得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，點的坐標

14、為到的距離為的面積練習題1.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(，0)，直線y=x1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是（ ）A=1 B =1 C=1 D=12.雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，F(xiàn)1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.3、已知雙曲線1（a0，b0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角為（ ）A30ºB45ºC60ºD90º4、已知雙曲線的兩個焦點為，P是此雙曲線上的一點，且，則該雙曲線的方程是A B C D5、

15、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD6. 直線yx3與曲線=1的交點的個數(shù)是（ ） （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個7.若雙曲線x2y2=1右支上一點P(a, b)到直線y=x的距離是，則ab的值為（ ）。 （A） （B） （C）或 （D）2或28.已知點F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2,1)9.設P為雙曲線y21上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是10.求與圓A：（x+5）