排列組合問題17種策略

1、 12nN=m +m +m復習鞏固復習鞏固 12nN=m mm:(1)(2)(1)!()!mmnnmmAn nnnmCAmnmnm(1)(2)(1)!()!mnAn nnnmnnm從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。1.1.排列的定義排列的定義: :2.2.組合的定義組合的定義: :3.3.排列數(shù)公式排列數(shù)公式: :4.4.組合數(shù)公式組合數(shù)公式: :排列與組合的關鍵是問題與次序有無關系。5 加法原理和乘法原理：完成任務時是分類進行還是步進行。例例

2、1.由由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字 五位奇數(shù)五位奇數(shù). 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安應該優(yōu)先安 排排,以免不合要求的元素占了這兩個位置以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步計數(shù)原理得由分步計數(shù)原理得=28813C14C34A1.1.7 7種不同的花種在排成一列的花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里, ,若兩若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆種葵花不種在中間，也不種在兩端的花

3、盆里里，問有多少不同的種法？問有多少不同的種法？練習題解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置35A有種 排 法第二步排其余的位置：3454A A共有種不同的排法44有 A 種 排 法解二：第一步由葵花去占位：24A有種 排 法第二步由其余元素占位：55A有種 排 法2545A A 共 有種 不 同 的 排 法小結：當排列或組合問題中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的時候，那么，一般先按排這些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, ,

4、共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步計數(shù)原理可得共有由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法種不同的排法55A22A22A=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個復合元素，同時丙丁也看成一個一個復合元素，同時丙丁也看成一個 復合元素，再與其它元素進行排列，復合元素，再與其它元素進行排列， 同時對相鄰元素內部進行自排。同時對相鄰元素內部進行自排。 . .某人射擊某人射擊8 8槍，命中槍，命中4 4槍，槍，4 4槍命中恰好槍命中恰好有有3 3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ）練習題2055A第二步將

5、第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6個元素中間包含首尾兩個空位共有個元素中間包含首尾兩個空位共有種種 不同的方法不同的方法 46A由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種55A46A相相相相獨獨獨獨獨獨某班新年聯(lián)歡會原定的某班新年聯(lián)歡會原定的5 5個節(jié)目已排成節(jié)個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目. .如果如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（為（ ）30練習題四四. .定序問題倍縮空位插入策略定序問題倍縮空位插入策略例例4.74

6、.7人排隊人排隊, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍縮法倍縮法) )對于某幾個元素順序一定的排列對于某幾個元素順序一定的排列問題問題, ,可先把這幾個元素與其他元素一起可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列進行排列, ,然后用總排列數(shù)除以然后用總排列數(shù)除以這幾個元這幾個元素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：是： 7733AA（空位法空位法）設想有）設想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個種方法，其余的三個位置甲乙丙共有位置甲乙丙

7、共有 種坐法，則共有種坐法，則共有 種種 方法方法 47A147A思考思考: :可以先讓甲乙丙就坐嗎可以先讓甲乙丙就坐嗎? ?（插入法插入法) )先排甲乙丙三個人先排甲乙丙三個人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理空模型處理練習題1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？51

8、0C五五. .重排問題求冪策略重排問題求冪策略例例5.5.把把6 6名實習生分配到名實習生分配到7 7個車間實習個車間實習, ,共有共有 多少種不同的分法多少種不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名實習生分配把第一名實習生分配 到車間有到車間有 種分法種分法. .7 7把第二名實習生分把第二名實習生分配配 到車間也有到車間也有7 7種分法，種分法，依此類推依此類推, ,由分步由分步計計數(shù)原理共有數(shù)原理共有 種不同的排法種不同的排法67允許重復的排列問題的特點是以元素為研究允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排對象，元素不受位置的

9、約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限不同的元素沒有限制地安排在制地安排在m個位置上的排列數(shù)為個位置上的排列數(shù)為 種種n nm m1. 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 422. 2. 某某8 8層大樓一樓電梯上來層大樓一樓電梯上來8 8名乘客人名乘客人, ,他們他們 到各自的一層下電梯到各自的一層下電梯, ,下電梯的方法下電梯的方法（ ）87練習題六六. .環(huán)排問題線排策略環(huán)排問題線排策略例例6. 56. 5人圍桌而坐人圍桌而坐, ,共有多少種坐法共有多少種

10、坐法? ? 解：解：圍桌而坐與圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成坐成一排的不同點在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人圓形沒有首尾之分，所以固定一人A A并從并從 此位置把圓形展成直線其余此位置把圓形展成直線其余4 4人共有人共有_ 種排法即種排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！1mnmA練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈60設六顆顏色不同的鉆石為a,b,c d,e,f.與圍桌而坐情形不同點是a,b,c,d,e,f與f,e,d,c,b,a在圍桌而坐中是兩種排法，即在鉆石圈中只是一種排法,即把鉆石圈翻到一邊,所求數(shù)為：

11、(61)!/260 要考慮“鉆石圈”可以翻轉的特點 例例7.87.8人排成前后兩排人排成前后兩排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后兩排人排前后兩排,相當于相當于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4個位置排甲乙兩個位置排甲乙兩個特殊元素有個特殊元素有_種種,再排后再排后4個位置上的個位置上的特殊元素有特殊元素有_種種,其余的其余的5人在人在5個位置個位置上任意排列有上任意排列有_種種,則共有則共有_種種.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地

12、一般地,元素分成多排的排列問題元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮可歸結為一排考慮,再分段研究再分段研究.有兩排座位，前排有兩排座位，前排1111個座位，后排個座位，后排1212個座位，現(xiàn)個座位，現(xiàn)安排安排2 2人就座規(guī)定前排中間的人就座規(guī)定前排中間的3 3個座位不能坐，并個座位不能坐，并且這且這2 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_346練習題甲乙都在前排： 1、都在左面4個座位 =6種 2、都在右面4個座位 同上，6種 3、分列在中間3個的左右 =32種 一共6+6+32=44種 甲乙都在后排： A(22)*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+

13、1)=110種 甲乙分列在前后兩排 A(22)*12*8=192種 一共44+110+192=346種 223A 2244A 例例8.8.有有5 5個不同的小球個不同的小球, ,裝入裝入4 4個不同的盒內個不同的盒內, , 每盒至少裝一個球每盒至少裝一個球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. .解解: :第一步從第一步從5 5個球中選出個球中選出2 2個組成復合元共個組成復合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個元素個元素( (包含一個復合包含一個復合 元素元素) )裝入裝入4 4個不同的盒內有個不同的盒內有_種方法種方法. .25C44A根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分

14、步計數(shù)原理裝球的方法共有_25C44A練習題一個班有一個班有6 6名戰(zhàn)士名戰(zhàn)士, ,其中正副班長各其中正副班長各1 1人人現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選4 4人完成四種不同的任務人完成四種不同的任務, ,每人每人完成一種任務完成一種任務, ,且正副班長有且只有且正副班長有且只有1 1人人參加參加, ,則不同的選法有則不同的選法有_ _ 種種192192例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個偶數(shù)夾其中恰有兩個偶數(shù)夾1,1,這兩個奇數(shù)之這兩個奇數(shù)之 間間, ,這樣的五位數(shù)有多少個？這樣的五位數(shù)有多少個？解：把解：把,當作一個小集團與排隊

15、當作一個小集團與排隊共有共有_種排法，再排小集團內部共有種排法，再排小集團內部共有_種排法，由分步計數(shù)原理共有種排法，由分步計數(shù)原理共有_種排法種排法.22A2222A A2222A A22A31524小集團小集團小集團排列問題中，先整體后局小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。部，再結合其它策略進行處理。.計劃展出計劃展出10幅不同的畫幅不同的畫,其中其中1幅水彩畫幅水彩畫,幅油畫幅油畫,幅國畫幅國畫, 排成一行陳列排成一行陳列,要求同一要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_

16、2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相鄰男生相鄰,女女生也相鄰的排法有生也相鄰的排法有_種種255255A A A254254A A A十.元素相同問題隔板策略例例10.有有1010個運動員名額，在分給個運動員名額，在分給7 7個班，每個班，每班至少一個班至少一個, ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因為解：因為10個名額沒有差別，把它們排成個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應地分給個可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一

17、種分法班級，每一種插板方法對應一種分法共有共有_種分法。種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC練習題1.1.1010個相同的球裝個相同的球裝5 5個盒中個盒中, ,每盒至少一每盒至少一 有多少裝法？有多少裝法？2 .2 .x+y+z+w=100 x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解求這個方程組的自然數(shù)解 的組數(shù)的組數(shù)3103C49C例例11.從從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三這十個數(shù)字中取出三 個數(shù)，使其和為不小于個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)的偶數(shù),不同的不同的 取法有多少種？取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于解：這問題中如果直接求不小

18、于10的偶數(shù)很的偶數(shù)很 困難困難,可用總體淘汰法?？捎每傮w淘汰法。 這十個數(shù)字中有這十個數(shù)字中有5 5個偶數(shù)個偶數(shù)5 5個奇數(shù)個奇數(shù), ,所取的三個數(shù)含有所取的三個數(shù)含有3 3個偶個偶數(shù)的取法有數(shù)的取法有_,_,只含有只含有1 1個偶數(shù)的取法個偶數(shù)的取法有有_,_,和為偶數(shù)的取法共有和為偶數(shù)的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶數(shù)共的偶數(shù)共_符合條件的取法共有符合條件的取法共有_ 35C1255CC9 90130130150150170170230230250250270270410410450450430431255CC35C+- 9- 91255CC35C+我們班里有我們班里有434

19、3位同學位同學, ,從中任抽從中任抽5 5人人, ,正、正、副班長、團支部書記至少有一人在內的副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種抽法有多少種? ?練習題554340CC十二十二. .平均分組問題除法策略平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成本不同的書平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取書得分三步取書得 種方法種方法,但這里出現(xiàn)但這里出現(xiàn) 重復計數(shù)的現(xiàn)象重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記不妨記6本書為本書為ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 該分法記為該分法記為(AB,CD,EF),則則 中還有中

20、還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 種取法種取法 ,而而 這些分法僅是這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,故共故共 有有 種分法。種分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一都是一種情況種情況,所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以 (n為均為均分的組數(shù)分的組數(shù))避免重復計數(shù)。避免重復計數(shù)。nnA1 將將13個球隊分成個球隊分成3組組,一組一組5個隊個隊,其它兩組其它兩組4 個隊個隊, 有

21、多少分法？有多少分法？2.10名學生分成名學生分成3組組,其中一組其中一組4人人, 另兩組另兩組3人人 但正副班長不能分在同一組但正副班長不能分在同一組,有多少種不同有多少種不同 的分組方法的分組方法 （1540）544138422C C CA3.3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉 入入4 4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排班安排2 2名，則不同的安排方案種數(shù)為名，則不同的安排方案種數(shù)為_ 2226422290ACC A十三. 合理分類與分步策略例例13.13.在一次演唱會上共在一次演唱會上共1010名演員

22、名演員, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人會跳舞人會跳舞, ,現(xiàn)要演出一個現(xiàn)要演出一個2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的節(jié)目人伴舞的節(jié)目, ,有多少選派方法有多少選派方法? ?解：10演員中有演員中有5人只會唱歌，人只會唱歌，2人只會跳舞人只會跳舞 3人為全能演員。人為全能演員。以只會唱歌的以只會唱歌的5 5人是否人是否選上唱歌人員為標準進行研選上唱歌人員為標準進行研究究只會唱只會唱的的5 5人中沒有人選上唱歌人員共有人中沒有人選上唱歌人員共有_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有1 1人選上唱歌人人選上唱歌人員員_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有2

23、 2人人選上唱歌人員有選上唱歌人員有_種，由分類計數(shù)種，由分類計數(shù)原理共有原理共有_種。種。2233CC112534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+ + +解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。1.1.從從4 4名男生和名男生和3 3名女生中選出名女生中選出4 4人參加某個座人參加某個座 談會，若這談會，若這4 4人中必須既有男生又有女生，則人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有不同的選法共有_ _ 練習題2. 3 3成人成人2 2小孩乘

24、船游玩小孩乘船游玩,1,1號船最多乘號船最多乘3 3人人, 2, 2 號船最多乘號船最多乘2 2人人,3,3號船只能乘號船只能乘1 1人人, ,他們任選他們任選 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能單獨乘一只船但小孩不能單獨乘一只船, , 這這3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. .十四十四. .構造模型策略構造模型策略例例14. 14. 馬路上有編號為馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路燈九只路燈, ,現(xiàn)要關掉其中的現(xiàn)要關掉其中的3 3盞盞, ,但不能關但不能關 掉相鄰的掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能

25、關掉兩端的也不能關掉兩端的2 2 盞盞, ,求滿足條件的關燈方法有多少種？求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在解：把此問題當作一個排隊模型在6 6盞盞 亮燈的亮燈的5 5個空隙中插入個空隙中插入3 3個不亮的燈個不亮的燈 有有_ _ 種種35C一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題某排共有某排共有1010個座位，若個座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120十五十五. .實際操作窮舉策略實際操作窮舉策略例例15.

26、15.設有編號設有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號1,21,2 3,4,53,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內個盒子內, ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號不能對應，盒序號不能對應， 利用實際操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則

27、4,5號球有只有號球有只有1種種裝法裝法3 3號盒號盒4 4號盒號盒5 5號盒號盒34525C十五十五. .實際操作窮舉策略實際操作窮舉策略例例15.15.設有編號設有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號1,21,2 3,4,53,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內個盒子內, ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3

28、盒序號不能對應，盒序號不能對應，25C利用實際操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則4,5號球有只有號球有只有1種種裝法裝法,25C 同理同理3號球裝號球裝5號盒時號盒時,4,5號球有也號球有也只有只有1種裝法種裝法,由分步計數(shù)原理有由分步計數(shù)原理有2 種種 練習題1.1. 同一寢室同一寢室4 4人人, ,每人寫一張賀年卡集中起來每人寫一張賀年卡集中起來, , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)2.2.給圖中區(qū)域涂色給

29、圖中區(qū)域涂色, ,要求相鄰區(qū)要求相鄰區(qū) 域不同色域不同色, ,現(xiàn)有現(xiàn)有4 4種可選顏色種可選顏色, ,則則 不同的著色方法有不同的著色方法有_種種213457272十六十六. 分解與合成策略分解與合成策略例例16. 3003016. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把分析：先把3003030030分解成質因數(shù)的乘積形式分解成質因數(shù)的乘積形式 30030=2 30030=23 35 5 7 7 11111313依題依題 意可知偶因數(shù)必先取意可知偶因數(shù)必先取2,2,再從其余再從其余5 5個個 因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數(shù)為：的偶因數(shù)為：012345555555C C C