知識講解-指數(shù)與指數(shù)冪的運算-基礎(chǔ)

1、指數(shù)與指數(shù)冪的運算【學(xué)習(xí)目標】1.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行相應(yīng)的根式計算； (2)能認識到分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；(3)能利用有理指數(shù)運算性質(zhì)簡化根式運算. 2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實數(shù)集；3.通過指數(shù)范圍的擴大，我們要能理解運算的本質(zhì)，認識到知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；4.通過對根式與分數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認識，能學(xué)會透過表面去認清事物的本質(zhì)【要點梳理】要

2、點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)1整數(shù)指數(shù)冪的概念2運算法則（1）；（2）；（3）；（4）.要點二、根式的概念和運算法則1n次方根的定義：若xn=y(nN*，n>1，yR)，則x稱為y的n次方根.n為奇數(shù)時，正數(shù)y的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負數(shù)y的奇次方根有一個，是負數(shù)，記為；零的奇次方根為零，記為；n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為；負數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.2兩個等式（1）當且時，；（2）要點詮釋：要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤要點三

3、、分數(shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定a>0，n，mN*，且為既約分數(shù)，分數(shù)指數(shù)冪可如下定義：要點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算1有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1) (2) (3)當a>0，p為無理數(shù)時，ap是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用.要點詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪運算；(2)根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如；(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如.2.指數(shù)冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分

4、數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì)在化簡運算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（a±b）2a2±2abb2，（a±b）3a3±3a2b3ab2±b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的運用，能夠簡化運算.【典型例題】類型一、根式例1.求下列各式的值：（1）.【答案】 -3；【解析】 熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結(jié)果的符號.（1）；（2）；（3）；（4）【總結(jié)升華】（1）求偶次方根應(yīng)注意，正數(shù)的偶次方根有兩個，例如，4的平方根是，但不是.（2）根式運

5、算中，經(jīng)常會遇到開方與乘方兩種運算并存的情況，應(yīng)注意兩者運算順序是否可換，何時可換.舉一反三：【變式1】計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.例2.計算：（1）；（2）.【答案】【解析】 對于（1）需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\算性質(zhì)求解.對于（2），則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）=+-=|+|-|=+-（）=2 （2） = = =【總結(jié)升華】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題.化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）

6、中，的分子、分母中同乘以.舉一反三：【變式1】化簡：（1）；（2）【答案】（1）；（2）類型二、指數(shù)運算、化簡、求值例3.用分數(shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】 ；【解析】先將根式寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運算性質(zhì)化簡即可（1）（2）；（3）；（4）解法一：從里向外化為分數(shù)指數(shù)冪=解法二：從外向里化為分數(shù)指數(shù)冪 =【總結(jié)升華】 此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進行化簡舉一反三：【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運算369050 例1】【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡（1）

7、；【答案】（1）；（2）【變式2】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】；【解析】（1）=； （2）；（3）；（4）= =例4.計算下列各式：（1）（2）【思路點撥】利用指數(shù)冪的運算法則即可得出【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式= = =（2）原式=【總結(jié)升華】（1）運算順序(能否應(yīng)用公式)；（2）指數(shù)為負先化正；（3）根式化為分數(shù)指數(shù)冪.舉一反三：【變式1】計算下列各式：(1)；(2).【答案】 112；【解析】(1)原式=；(2)原式.【變式2】計算下列各式：【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運算369050 例3】【答案】21+【解析】原式=16+5+2+=21+例5

8、.（2016 湖北期末）計算：（1）；（2）；（3）【思路點撥】（1）即合并同類項的想法，常數(shù)與常數(shù)進行運算，同一字母的化為該字母的指數(shù)運算；（2）對字母運算的理解要求較高，即能夠認出分數(shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系；(3)具體數(shù)字的運算，學(xué)會如何簡化運算.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）；（3）原式【總結(jié)升華】本題考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力舉一反三：【變式1】計算化簡下列式子【答案】【解析】原式=或注意：當n為偶數(shù)時，.【變式2】化簡【答案】 【解析】應(yīng)注意到之間的關(guān)系，對分子使用乘法公式進行因式分解，原式.【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式.(1)被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；(2)被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式3】化簡下列式子：(1)(2)(3)【答案】 ；【解析】 (1)原式(2)由平方根的定義得：(3).【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運算369050 例4】例6已知，求的值【答案】 【解析】 從已知條件中解出的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進而整體代入求值，=【總結(jié)升華】 對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值本題的關(guān)鍵是先求及的值，然后整體代入舉一反三：【變式1】求值：(1)