三角形中線等分面積的應(yīng)用

1、第5講例說三角形中線等分面積的應(yīng)用圖1如圖1，線段AD是ABC的中線，過點A作AEBC，垂足為E，則SABDBD·AE，SADCDC·AE，因為BDDC，所以SABDSADC。因此，三角形的中線把ABC分成兩個面積相等的三角形.利用這一性質(zhì)，可以解決許多有關(guān)面積的問題。一、求圖形的面積圖2例1、如圖2，長方形ABCD的長為a，寬為b，E、F分別是BC和CD的中點，DE、BF交于點G，求四邊形ABGD的面積.分析：因為E、F分別是BC和CD的中點，則連接CG后，可知GF、GE分別是DGC、BGC的中線，而由S=S=，可得S=S，所以DGF、CFG、CEG、BEG的面積相等，問

2、題得解。解：連接CG，由E、F分別是BC和CD的中點，所以S=S=，從而得S=S，可得DGF、CFG、CEG、BEG的面積相等且等于×=，因此S四邊形=ab4×=。例2、在如圖3至圖5中，ABC的面積為a   （1）如圖2, 延長ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連結(jié)DA若ACD的面積為S1，則S1=_（用含a的代數(shù)式表示）；DEABCF圖5  （2）如圖3，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE若DEC的面積為S2，則S2=_（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；ABCDE圖4圖3ABCD（3

3、）在圖4的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連結(jié)FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖6）若陰影部分的面積為S3，則S3=_（用含a的代數(shù)式表示）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點，得到DEF（如圖6），此時，我們稱ABC向外擴展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的_倍應(yīng)用：去年在面積為10m2的ABC空地上栽種了某種花卉今年準(zhǔn)備擴大種植規(guī)模，把ABC向外進行兩次擴展，第一次由ABC擴展成DEF，第二次由DEF擴展成MGH（如圖5）求這兩次擴展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少m2？分析：從第1個圖可以發(fā)現(xiàn)AC就是ABD的中線，第2個圖通過連接DA，可得

4、到ECD的中線DA，后面擴展的部分都可以通過這樣的方法得到三角形的中線，從而求出擴展部分的面積，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。解：（1）由CD=BC，可知AC就是ABD的中線，中線AC將ABD的分成兩個三角形ABC、ACD，這兩個三角形等底等高，所以它們的面積相等；所以S1=a；圖6DEABCFHMG（2）若連接DA，則DA就是ECD的中線，中線AD將ECD分成CDA、EDA，它們的面積相等；所以S2=2a；（3）根據(jù)以上分析，可知BFD、CED、EAF面積都為2a；所以S2=6a；發(fā)現(xiàn)：由題意可知擴展一次后的DEF的面積是SDEF= S3+SABC=6a+a=7a；即擴展一次后的DEF的面積是原來ABC面積的7

5、倍。應(yīng)用：由以上分析可知擴展一次后S總1=7a，擴展二次后S總2=S總1=72a，擴展三次后S總3=S總2=73a，拓展區(qū)域的面積：（721）×10=480（m2）說明：本題是從一個簡單的圖形入手，逐步向復(fù)雜的圖形演變，引導(dǎo)我們逐步進行探索，探索出有關(guān)復(fù)雜圖形的相關(guān)結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)問題的一種思想方法：從特殊到一般的思想。所以我們在平時的學(xué)習(xí)中，要注意領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想和方法，使自己的思維不斷升華。二、巧分三角形例3、如圖7，已知ABC，請你用兩種不同的方法把它分成面積之比為1:2:3的三個三角形.圖7圖8圖9分析：可以把三角形先兩等份，再把其中一個再兩等份，所以聯(lián)想到作三角形的中線。

6、解：方法1：取BC的中點E，然后在BE上取點D，使BDBE，則AD、AE把ABC分成面積之比為1:2:3的三個三角形（如圖8）.方法2：在BC邊上截取DCBC，連結(jié)AD，然后取AB的中點P，連結(jié)BP、CP，則PAC、PAB、PBC的面積之比為1:2: 3（如圖9）.想一想：方法2中，這三個三角形的面積之比為什么是1:2:3？二、巧算式子的值圖10例2 在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計了如圖10所示的幾何圖形.請你利用這個幾何圖形求的值.分析：由數(shù)據(jù)的特征：后面的數(shù)為前面一個數(shù)的，聯(lián)想到將三角形的面積不斷的平分，所以可以構(gòu)造如圖10的圖形進行求解。解：如圖10，設(shè)大三角形的面積

7、為1，然后不斷的按順序作出各個三角形的中線，根據(jù)三角形的中線把它分成兩個面積相等的三角形可知，圖中三角形除了最后一個小三角形，其余部分的面積為，因此.說明：此題運用“數(shù)形結(jié)合思想”，借助三角形的面積來求數(shù)的運算，簡捷、巧妙.三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)的應(yīng)用三角形三個內(nèi)角的和等于180°，這是三角形內(nèi)角和定理三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角，這是三角形外角性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)應(yīng)用廣泛，下面以例說明一、求三角形的內(nèi)角例2 (08太原)在ABC中，B=40°，C=80°，則A的度數(shù)為( )A30

8、6; B40° C50° D60°解：由三角形內(nèi)角和定理，得A=180°-B-C=180°-40°-80°=60°，答案選D例3 (08東營)如圖1，已知1=100°，2=140°，那么3=解：4=180°-1=180°-100°=80°，5=180°-2=180°-140°=40°，由三角形內(nèi)角和定理，得3=180°-4-5=180°-80°-40°=60°，答案選

9、D 圖1說明：在求出4=80°后，也可根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得2=4+3，所以3=2-4=140°-80°=60°二、判斷三角形的形狀例1 (08陜西)一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2:3:7，這個三角形一定是( )A直角三角形 B等腰三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形解：設(shè)三個內(nèi)角分別為2k，3k，5k，由三角形內(nèi)角和定理，得2k+3k+5k=180°解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以這個三角形是鈍角三角形，答案選C三、求角平分線的夾角例4 (08沈陽)已知ABC中，A=

10、60°，ABC、ACB的平分線交于點O，則BOC的度數(shù)為解：如圖2，由BO平分ABC，得1=ABC；由CO平分ACB，得2=ACB所以1+2=(ABC +ACB)=(180°-A) 圖2=(180°-60°)=60°四、求三角形的外角例5 (08貴州)如圖5，直線l1l2，ABl1，垂足為D，BC與直線l2相交于點C，若1=30°，則2=解：如圖6，延長AB交l2于點E因為l1l2，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得BEC=3由ABl1，得3=90°所以BEC=90°由三角形外角性質(zhì)，得2=BEC+1=90°+

11、30°=120°圖5 圖6 說明：本題也可延長CB交l1于點F，構(gòu)造FBD進行求解，完成請同學(xué)們完成五、比較角的大小例5 (08涼山)下列四個圖形中2大于1的是( )A B C D 解：A選項中，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等及對頂角相等，可得1=2；B選項，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得2大于1C選項中的2與1的大小關(guān)系無法確定；D選項中，由對頂角相等，可得1=2答案選B全等三角形水平測試（1）湖北薛建輝一、試試你的身手1如圖所示，沿直線AC對折，ABC與ADC重合，則ABC_，AB的對應(yīng)邊是_，AC的對應(yīng)邊是_，BCA的對應(yīng)角是_2如圖所示，ACBDEF，其中A與D，C與E是對

12、應(yīng)頂點，則CB的對應(yīng)邊是_，ABC的對應(yīng)角是_3ABC和中，若，則需要補充條件_可得到4如圖所示，AB，CD相交于O，且AOOB，觀察圖形，圖中已具備的另一相等的條件是_，聯(lián)想到SAS，只需補充條件_，則有AOC_5如圖所示，有一塊三角形鏡子，小明不小心破裂成、兩塊，現(xiàn)需配成同樣大小的一塊為了方便起見，需帶上_塊，其理由是_6如圖所示，若只有ADBD于點D這個條件，要證ABDACD，則需補充的條件是_或_或_7如圖，在ABC中，BAC60°，將ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到ADE，則BAE的度數(shù)為_二、相信你的選擇1下列說法：全等三角形的形狀相同；全等三角形的對應(yīng)邊相

13、等；全等三角形的對應(yīng)角相等；全等三角形的周長面積分別相等，其中正確的說法為（）2下列結(jié)論錯誤的是（）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊全等三角形兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角全等三角形是一個特殊三角形如果兩個三角形都與另一個三角形全等，那么這兩個三角形也全等3下面各條件中，能使ABCDEF的條件的是（）ABDE，AD，BCEFABBC，BE，DEEFABEF，AD，ACDFBCEF，CF，ACDF4在ABC和DEF中，ABDE，AD，若證ABCDEF，還要補充一個條件，錯誤的補充方法是（）BECFBCEFACDF5下列說法正確的是（）兩邊一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等兩角一邊對應(yīng)相等的兩個三角形等兩個

14、等邊三角形一定全等兩個等腰直角三角形一定全等6如圖所示，BEAC，CFAB，垂足分別是EF，若BECF，則圖中全等三角形有（）1對2對3對4對127如圖，ABDB，BCBE，欲證ABCDBC，則需補充的條件是（）ADECAC12三、挑戰(zhàn)你的技能1如圖，若DABCBA，請你再添加一對相等的條件，使ABDCAB，并說明三角形全等的理由2（1）完成下面的證明：如圖，ABAC，E，F(xiàn)分別是A C，AB的中點，那么ABEACF證明：分別是，的中點，（），在和中（2）根據(jù)（1）的證明，若連結(jié)BC請證明：EBCFCB3如圖，已知：BEDF，AECF，AECF，求證：ADBC4如圖，已知：CEAD于E，BFA

15、D于F，（1）你能說明BDF和CDE全等嗎？（2）若能，請你說明理由，若不能，在不用增加輔助線的情況下，請?zhí)砑悠渲幸粋€適當(dāng)?shù)臈l件，這個條件是_，來說明這兩個三角形全等，并寫出證明過程四、拓廣探索飛翔建筑公司在擴建二汽修建廠房時，在一空曠地上發(fā)現(xiàn)有一個較大的圓形土丘，經(jīng)分析判斷很可能是一座王儲陵墓，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離，請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，按以下要求設(shè)計測量方案（1）畫出測量方案（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）（3）計算AB的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）參考答案：一、1ADC，AD，AC，DCA2EF，DFE34AOC=BOD，OC=OD，BOD 5，有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 6BAD=CAD，AB=AC，BD=CD 7100°二、1D 2C 3D 4C 5B 6C 7D三、1需要再添加的條件為：DBA=BAC（ASA）或DAC=CBD（ASA）或AD=BC（SAS）2（1）中點定義， （2）證明：，；又，