窗函數(shù)濾波器Word版

1、7.7  設計FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法窗函數(shù)法的基本思想是用一具有有限長度樣值響應、并具有線性相位的系統(tǒng)函數(shù)逼近理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。以低通濾波器為例，設系統(tǒng)函數(shù)在奈奎斯特區(qū)間為（7.7-1）頻率響應如圖7.7-1所示。對取IDTFT，有（7.7-2）圖7.7-1理想低通濾波器的頻率響應式（7.7-2）給出的單位樣值響應說明理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，實際中無法實現(xiàn)。如果把對稱地截斷為有限長度，設長度為N，為奇數(shù)，截取后的樣值響應為，當足夠大時，在某種程度上可近似表示，為（7.7-3）1 / 9其中。式（7.7-3）仍然為偶對稱函數(shù)，而且是非因果的，如果將其右移點，則有（7.7-4

2、）樣值響應的截斷與移位如圖7.7-2所示。(a)(b)圖7.7-2截斷并移位的樣值響應以上通過對理想濾波器的無限長樣值響應截斷為有限長并移位得到了物理可實現(xiàn)濾波器的樣值響應，那么的幅頻響應是否為理想幅頻響應的逼近，其相位響應是否與頻率成線性關系，下面對其進行分析。根據(jù)DTFT變換公式，、和的頻率響應分別為（7.7-5）（7.7-6）（7.7-7）式（7.7-6）相當于對做級數(shù)截斷，當足夠大時，逼近于。由式（7.7-4）和傅里葉變換的移位性質可得（7.7-8）由于為實偶對稱函數(shù)，根據(jù)傅里葉變換的對稱性，的變換也為實偶對稱函數(shù)，因此，有（7.7-9）（7.7-10）可見，的幅頻響應逼近于理想濾波器

3、的幅頻響應，而相頻響應為的分段線性函數(shù)，在改變符號的頻率處跳變 。通過以上分析看出，樣值響應為偶對稱實序列、且為奇數(shù)的這種FIR濾波器不僅在幅度上可以滿足濾波要求，而且能夠取得分段線性相位特性。當為奇對稱的實序列時，根據(jù)傅里葉變換的對稱性，的實部為零，這時（7.7-9）（7.7-10）則的相位也為頻率的分段線性函數(shù)。當?shù)拈L度為偶數(shù)時，若仍滿足對稱關系（7.7-11a）或（7.7-11b）也可證明的相位為頻率的分段線性函數(shù)。設取，為21和時，由式（7.7-4），分別為把代入式（7.7-7），用計算機求得的幅頻響應如圖7.7-3所示。由圖可見：在處幅度總為0.5；越大，過渡帶越窄，幅頻響

4、應越接近于理想響應；通帶與阻帶波紋在接近過渡帶處較大，在兩側總有比較大的肩峰出現(xiàn)，這是因級數(shù)的截斷造成的，這種現(xiàn)象稱為傅里葉級數(shù)的吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象。理論分析表明，兩肩峰的幅度近似為8.9，與的取值無關，因此，濾波器的阻帶衰減為。(a) N = 21                         (b) N = 51圖7.7-3  為21和

5、時幅頻響應上述FIR濾波器的樣值響應還可表示為（7.7-12）其中為長度為的矩形窗函數(shù)，即（7.7-13）由圖7.7-3，矩形窗的逼近性能不是很好，為了加大阻帶衰減也即減小肩峰的影響，可以考慮采用其他形狀的窗函數(shù)，常用的有1.三角窗（Bartlett窗）（7.7-14）                2.漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）（7.7-15）       

6、0;        3.哈明（Hamming）窗（改進升余弦窗） （7.7-16）4.  布萊克曼（Blackman）窗 （7.7-17）用以上幾種窗函數(shù)設計的濾波器的指標如表7.7-1所示。設計時一般根據(jù)阻帶衰減指標選取符合要求的窗函數(shù)，再根據(jù)過渡帶寬度確定樣值響應長度。當仿真結果不符合要求時，調整重新設計。                  &

7、#160;     表7.7-1  常用窗函數(shù)性能比較窗函數(shù)過渡帶寬度（rad）阻帶衰減（dB）矩形窗21三角窗25漢寧窗44哈明窗53布萊克曼窗74例7.7-1用窗函數(shù)法設計一線性相位低通數(shù)字濾波器。設技術指標為阻帶衰減理想通帶頻率rad過渡帶寬度rad解根據(jù)阻帶衰減指標選用哈明窗，根據(jù)過渡帶寬度指標則可求出為由式（7.7-12）和式（7.7-16）有                和的波形如圖

8、7.7-4所示。濾波器的幅頻響應如圖7.7-5所示。計算表明，通帶內(nèi)的肩峰非常小，約為0.2，阻帶衰減為53dB。(a)                                        (b)圖7

9、.7-4  和的波形圖7.7-5  幅頻響應    以上幾種窗函數(shù)法設計較為簡單，但對濾波器的技術指標不能有效的控制。例如，無論取多大，矩形窗的肩峰約為8.9，無法對其調整。一種更為靈活的窗函數(shù)設計方法是選用凱塞（Kaiser）窗，它定義為（7.7-18）其中是形狀參數(shù)，根據(jù)阻帶衰減確定。是第一類零階貝塞爾（Bessel）函數(shù)，其冪級數(shù)展開式為（7.7-19）在給定通帶頻率、阻帶頻率、阻帶衰減dB值情況下，低通濾波器的設計步驟如下：（1）計算理想通帶頻率和過渡帶寬度，其中（7.7-20）（7.7-21）（2）計算形狀參數(shù)和濾波器長度（7.7-22）（7.（3）計算凱塞窗函數(shù)和加窗的樣值響應（