最新一道經(jīng)典平行線問(wèn)題的解答與變式

1、一道平行線問(wèn)題的解答與演變平時(shí)學(xué)習(xí)中，大家都要做大量的習(xí)題，其中不少習(xí)題的解法具有多樣性，題目本身 具有典型性、發(fā)展性，對(duì)這些問(wèn)題的圖形和條件進(jìn)行一些變化， 就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)個(gè)頗具思 維含量的考試題.下面對(duì)一道有關(guān)平行線問(wèn)題進(jìn)行多角度求解，并進(jìn)行變式訓(xùn)練，以發(fā)展同學(xué)們的思維能力.原命題：如圖1 ,已知 AB/ CD, BE平分/ ABC, CE平分/ BCD,射線BE與 CE交于E.求證：BEX CE.分析一：由角平分線的定義易得/ 1、/2與/BCD、/ABC之間的倍分關(guān)系，再利用“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”的結(jié)論進(jìn)行整體代換，即可解決問(wèn)題.解法一：整體轉(zhuǎn)化法. BE 平分/ ABC,；N2=1

2、/ABC （角平分線的定義），2同理 Z1 =1NBCD ,21 - Z1 +/2 =-（ZBCD +ZABC ）（等式性質(zhì)）.又 AB/ CD,丁./BCD +/ABC =1800 （兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）, /1+/2=1父1800 = 900 （等量代換）. 2Ne =1800 *1 +Z2 ）=1800 -900 =900 （三角形的內(nèi)角和等于 180°） .即BEXCE （垂直的定義）.點(diǎn)評(píng)：解法一綜合運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)有：角平分線定義、垂直定義、平行線的性質(zhì)、等 式性質(zhì)、等量代換、三角形內(nèi)角和等，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是整體代換和轉(zhuǎn)化思想.分析二：作平行線把/ E分成兩個(gè)角，并

3、將這兩個(gè)角與/ 1、/2聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行 有效轉(zhuǎn)化.解法二：分解轉(zhuǎn)化法圖2如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EF/AB交BC于F,又AB/ CD,.AB/ EF/ CD （平行線的傳遞性），NBEF =/ABE =N2 = 1 /ABC （平行線的性質(zhì)、角平分線的定2義）1/FEC =/ECD =4 =-/BCD （同上），2/BEC =/BEF +/FEC =1 （2ABC +BCD ）（等量代換），2又由AB/ CD知/ABC +/BCD =1800 （兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），/BEC =1 父1800 =900 （等量代換）.2即BEX CE （垂直的定義）.點(diǎn)評(píng)：解法二運(yùn)用作平行線的方法把/ E分成兩

4、個(gè)角，并運(yùn)用平行線的性質(zhì)和等量 代換解題.運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是分解思想（即化整為零）和轉(zhuǎn)化思想.分析三：要求/ E,只須求出/ E的鄰補(bǔ)角即可.延長(zhǎng)BE后，出現(xiàn)新的 CEM （如圖3）, ACEM的三個(gè)內(nèi)角與 BCE的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和相等，用對(duì)應(yīng)思想便可解決 問(wèn)題.解法三：對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化法延長(zhǎng)BE交CD于M ,v AB/ CD,. / CME = / ABE = / 2 （平行線的性質(zhì)和角平分線定義）,又 Z1 +/2 +/BEC =/ECM +/CME +/CEM =1800 （三角形內(nèi)角和等于 180 °）,而/1 = /ECM, / 2=/CME （角平分線定義），；/BEC=/C

5、ME （等式性質(zhì)），/又 ZBEC +ZCME =1800 （鄰補(bǔ)角）,斗同/BEC =；父1800 =900 （等式性質(zhì)）./即BE，CE （垂直的定義）.點(diǎn)評(píng)：解法三運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)有：平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、 一聲MD鄰補(bǔ)角性質(zhì)和等式性質(zhì)等，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)應(yīng)思想和轉(zhuǎn)化用.思想.總結(jié)：把原命題概括成一句話，可說(shuō)成：兩條平行線被第三條直線所截，一對(duì)同 旁?xún)?nèi)角的角平分線互相垂直.通過(guò)對(duì)原命題的多種解法的深入探討，可以加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)方法和技能 的融會(huì)貫通，從而培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性.如果僅從解法上進(jìn)行分析和思考，就題論題，習(xí)題的功能便會(huì)大打折扣，我們還 應(yīng)該對(duì)原命題進(jìn)行一系列的

6、演變， 這樣不但可以感受到題目的發(fā)展變化， 還可以進(jìn)一步 提高我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.變式一：探求原命題的逆命題例1 （2012黃石七年級(jí)期末考試）如圖4,兩條直線AB、CD被第三條直線BC所 截所成的同旁?xún)?nèi)角的平分線 BE和CE互相垂直，探求AB與CD/的位置關(guān)系.：,，解：v BEX CE,產(chǎn)、/1 +/2 =900 （三角形內(nèi)角和等于180 °）,/又 BE、CE 平分/ABC、/ BCD,727凰4/1=1/BCD, /2=1/ABC （角平分線的定義）, 22Z1 +/2=；（/BCD +/ABC 尸900 （等量代換）， /ABC +/BCD =1800

7、（等式性質(zhì)）， .AB/ CD （同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.說(shuō)明：進(jìn)一步可把原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行梳理， 總結(jié)如下：在圖4中，直線AB、 CD被BC所截，AB/ CD,BE平分/ABC,CE平分/BCD,BE，CE,以上 任三個(gè)作為條件，都可以推出第四個(gè).變式二：在原圖基礎(chǔ)上，增加另一組同旁?xún)?nèi)角的平分線 .例2 （2012安徽中考題）如圖5,已知AB/ CD, BE、CE、BF、CF分別是/ ABC、 /BCD、/NCB、/MBC的角平分線，BC不與ND垂直，則圖中與/ FBE相等的角 共有解析：由原命題的 解答可知/E =900,同理可 得：/F =900;又ZFBE =/FBC +/CB

8、E =：（NMBC +/CBA ）= 父1800 =900 ,同理可得 ZFCE =900 .因止匕 ZFBE =ZE =NF =/FCE =900.即與/FBE相等的角共有3個(gè).說(shuō)明：用語(yǔ)言文字概括本例題，可表述為：兩條平行線被第三條直線所截，兩對(duì)同 旁?xún)?nèi)角的平分線組成的四邊形是矩形.變式三：在原圖基礎(chǔ)上，增添兩個(gè)相等的角或一組平行線.例3 （2012新希望杯試題）如圖6, / GEF與/ DFE的角平分線交于點(diǎn)H, AB/CD, / B=/ D.求證：EH± HF.證明：AB/ CD,/./A=/C （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），篁，G又/B=/D, ./AEB = /DFC （三

9、角形內(nèi)角和）, 才7又/AEB = /GEF, /DFC = /MFE （對(duì)頂角相等），/ . / GEF= / MFE （等量代換）,/ /.EG/ FD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）,m則/GEF +/EFD =1800 （兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），/又EH、FH為角平分線，L 圖6 ./HEF +/EFH =°（/GEF +/EFD ）=1父1800 = 900 （角 22平分線的定義），即BEX CE （垂直定義）.說(shuō)明：在原題的基礎(chǔ)上添加平行線后，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，并結(jié)合其他條件進(jìn)一步得出BG/ MD ,這樣就將看似復(fù)雜的問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題（即原命題）.變式四

10、：改變部分條件，設(shè)置成有梯度的綜合題 .例4（2012武昌區(qū)七年級(jí)期末考試）已知，如圖7,直線AB/ CD,直線EF分別交MAB、CD 于 E、F 兩點(diǎn)，EM、FN 分別平分/ BEF、/ CFE. a(1)(2) 的度數(shù)；(3)求證：EM/ FN;如圖8, / DFE的平分線交 EM于G,求/ EGF如圖9, / BEG、/DFG的平分線交于 H點(diǎn),試問(wèn)：/ H與/G的度數(shù)是否存在某種特定的數(shù)量 關(guān)系？并證明你的結(jié)論；DQ與/G的度數(shù)關(guān)BHDD圖9KH若/ BEH、/DFH的平分線交于Q點(diǎn)，根據(jù)的結(jié)論猜想/ 系（不需證明）./BEF=/CFE （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又EM、FN分別平分

11、/ BEF、/ CFE,2/FEM = 2/NFE （角平分線的定義）， 即/FEM = /NFE （等式性質(zhì)）,.EM/ FN （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；（2）由原命題的解答易得：/EGF=900,證略;(3)解：類(lèi)比(2)的解答，如圖10,過(guò)H點(diǎn)作HK / AB ,同理可證_ _1 _EHF =,EHKKHF =,BEH . HFD BEG . HFD 1 1800 -(ZFEG +/EFG )=；(1800 - 900 )=；父90° =45° ./ EGF=2/H;同理可證：/Q ='/H =22.50,G=4/Q .2說(shuō)明：例4是一道一題多問(wèn)的綜合題，有梯度，亦有一定難度.雖然改變了原命題的部分條件，但解決問(wèn)題所用的知識(shí)和方法并沒(méi)有改變. 只要我們掌握了原命題的幾種解法的本質(zhì) 特點(diǎn)，解決本題也會(huì)得心應(yīng)手.通過(guò)