海南導數(shù)的概念

1、導數(shù)的概念海口一中 馬麗雯一、教材分析導數(shù)的概念是高中新教材人教 A版選修2-2第一章的內容，是在學生學習了物理的 平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節(jié)課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和 瞬時變化率的關系，從實例出發(fā)得到導數(shù)的概念，為以后更好地研究導數(shù)的幾何意義和導數(shù) 的應用奠定基礎。新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手，用形象 直觀的“逼近”方法定義導數(shù)。問題1氣球平均膨脹率-一瞬時膨脹率冋題2咼臺跳水的平均速度-f瞬時速度n函數(shù)的平均變化率fZ函數(shù)的瞬時變化率 im ； （即導數(shù)）根據上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和

2、重、難點二、教學目標1、知識與技能：通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程， 了解導數(shù)概念的實 際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。2、過程與方法： 通過動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力 通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學思想方法3、情感、態(tài)度與價值觀：通過運動的觀點體會導數(shù)的內涵，使學生掌握導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學 的興趣.三、重點、難點重點：導數(shù)概念的形成，導數(shù)內涵的理解難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內涵 通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點四、教學設想（具體如下表）教 學 環(huán) 節(jié)教學內

3、容師生互動設計思路創(chuàng) 設 情 景、引 入 新 課幻燈片回顧上節(jié)課留下的思考題： 在咼臺跳水運動中， 運動員相對水面的咼 度h (單位：m)與起跳后的時間t (單位： s)存在函數(shù)關系 h (t) = 4.9t 2+ 6.5t+6510.計算運動員在 0蘭t蘭 這段時間里49的平均速度，并思考下面的問題：(1) 運動員在這段時間里是靜止的嗎？(2) 你認為用平均速度描述運動員的運 動狀態(tài)有什么冋題嗎？首先回顧上節(jié)課留下的思考題：在學生相互討論，交流 結果的基礎上，提出 ： 大家得到運動員在這段 時間內的平均速度為“ 0 ”但我們知道運動 員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產生 這樣的情況 呢

4、？引起學生的好奇，意識到平 均速度只能粗略地描述物 體在某段時間內的運動狀 態(tài)，為了能更精確地刻畫物 體運動，我們有必要研究某 個時刻的速度即瞬時速度。使學生帶著問題走進課堂， 激發(fā)學生求知欲初 步 探 索、展 示 內 涵根據學生的認知水平，概念的形成分了兩 個層次：結合跳水問題，明確瞬時速度的定義 冋題一：請大豕思考如何求運動員的瞬時 速度，如t=2時刻的瞬時速度？提出問題一，組織學生 討論，引導他們自然地 想到選取一個具體時刻 如t=2，研究它附近的平 均速度變化情況來尋找 到問題的思路，使抽象 問題具體化理解導數(shù)的內涵是本節(jié)課 的教學重難點，通過層層設 疑，把學生推向問題的中 心，讓學生

5、動手操作，直觀 感受來突出重點、突破難點問題二：請大家繼續(xù)思考，當 t取不冋值時,嘗試計算0 = h(2+At)_h(2)的t值？學生對概念的認知需要 借助大量的直觀數(shù)據， 所以我讓學生利用計算 器，分組完成問題二，幫助學生體會從平均速度 出發(fā)，“以已知探求未知” 的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生 的動手操作能力 tv tv-0.10.1-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001問題三：當 t趨于0時，平均速度有怎 樣的變化趨勢？一方面分組討論，上臺 板演，展示計算結果， 同時口答：在t=2時刻， t趨于0時，平均速 度趨于一個確定的值 -13.1

6、，即瞬時速度，第 一次體會逼近思想；另 一方面借助動畫多渠道 地引導學生觀察、分析、 比較、歸納，第二次體 會逼近思想，為了表述 方便，數(shù)學中用簡潔的 符號來表示，即h(2+也t)-h(2)lim=-13.1心At數(shù)形結合，掃清了學生的思 維障礙，更好地突破了教學 的重難點，體驗數(shù)學的簡約 美 tv tv-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1 049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0 9995 10.00001-13.1 00049問題四：運動員在

7、某個時刻t。的瞬時速度 如何表示呢？引導學生繼續(xù)思考：運動員在某個時刻 10的 瞬時速度如何表示？學 生意識到將t。代替2,可 類比得到.h(t0 購)-h(t)lim與舊教材相比，這里不提及 極限概念，而是通過形象生 動的逼近思想來定義t0時刻的瞬時速度，更符合學生 的認知規(guī)律，提咼了他們的 思維能力，體現(xiàn)了特殊到一 般的思維方法借助其它實例，抽象導數(shù)的概念 問題五：氣球在體積v0時的瞬時膨脹率如 何表示呢？類比之前學習的瞬時速 度問題，引導學生得到 瞬時膨脹率的表示 虹訛+引一訛)積極的師生互動能幫助學 生看到知識點之間的聯(lián)系， 有助于知識的重組和遷移，尋找不同實際背景下的數(shù) 學共性，即對

8、于不同實際問 題，瞬時變化率富于不同的 頭際意義問題六：如果將這兩個變化率問題中的函 數(shù)用f(x)來表示，那么函數(shù)f(x)在X =x0處的瞬時變化率如何呢？在前面兩個冋題的鋪墊 下,進一步提出，我們這 里研究的函數(shù) f (x)在X = X0處的瞬時變化 率.口怡十氐)f(x)宵 lim-li即 y = f (x)在 x = x0 處的導數(shù)，記作.哄+細-哄)f 筑)-& (也可記為y ” x=x )引導學生舍棄具體問題的 實際意義，抽象得到導數(shù)定 義由淺入深、由易到難、由 特殊到一般，幫助學生完成 了思維的飛躍；同時提及導 數(shù)產生的時代背景， 讓學生 感受數(shù)學文化的熏陶，感受 數(shù)學來源于生活，

9、又服務于 生活。循 序 漸 進、延 伸 拓 展例1將原油精煉為汽油、柴油、塑料等 不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第x h時候，原油溫度(單位：C)為 f (x) = x? 一 7x +15(0 蘭 x 蘭 8)(1) 計算第2h和第6h時，原油溫度的 瞬時變化率，并說明它的意義。(2) 計算第3h和第5h時，原油溫度的 瞬時變化率，并說明它的意義。步驟： 啟發(fā)學生根據導數(shù)定義，再分別求出f和f (6) 既然我們得到了第 2h和第6h的原油溫 度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說 明它的含義嗎？ 大家是否能用冋樣方法來解決問題 二? 師生共同歸納得到，導數(shù)即瞬時變化 率，可反映物體

10、變化的快慢步步設問，引導學生深 入探究導數(shù)內涵發(fā)展學生的應用意識，是高 中數(shù)學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以 具體冋題為載體，加深學生 對導數(shù)內涵的理解， 體驗數(shù) 學在實際生活中的應用變式練習：已知一個物體運動的位移(m) 與時間t (s)滿足關系S (t )= -2t 2+5t(1 )求物體第5秒和第6秒的瞬時速度(2 )求物體在t時刻的瞬時速度(3)求物體t時刻運動的加速度，并判 斷物體作什么運動？學生獨立完成，上臺板 演，第三次體會逼近思 想目的是讓學生學會用數(shù)學 的眼光去看待物理模型， 建 立各學科之間的聯(lián)系， 更深 刻地把握事物變化的規(guī)律歸納 總 結、內 化 知 識1、瞬時

11、速度的概念2、導數(shù)的概念3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、 類比、從特殊到一般引導學生進行討論，相 互補充后進行回答，老 師評析，并用幻燈片給 出讓學生自己小結，不僅僅總 結知識更重要地是總結數(shù) 學思想方法。這是一個重組 知識的過程，是一個多維整 合的過程，是一個高層次的 自我認識過程，這樣可幫助 學生自行構建知識體系，理 清知識脈絡，養(yǎng)成良好的學 習習慣作 業(yè) 安 排、板 書 設 計（必做）第10頁習題A組第2、3、4題（選做）：思考第11頁習題B組第1題作業(yè)是學生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌 補教學中的不足，冋時注重個體差異，因材施 教附后板書設計清楚整潔，便于突出知識目標五、學法

12、與教法學法與教學用具學法：（1） 合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。（如問題2的處理）（2） 自主學習：引導學生通過親身經歷，動口、動腦、動手參與數(shù)學活動。（如問題3的處 理）（3） 探究學習：引導學生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。（如例題的處理） 教學用具：電腦、多媒體、計算器教法：整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出動一一師生互動、共同探索。導教師指導、循序漸進（1）新課引入一一提出問題，激發(fā)學生的求知欲（2） 理解導數(shù)的內涵一一數(shù)形結合，動手計算，組織學生自主探索，獲得導數(shù)的定義（3）例題處理一一始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識（4）變式練習一一深化對導數(shù)內涵的理解，鞏固新知六、評價分析這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數(shù)，展示了一個完整的數(shù)學探究過程。提出問題、 計算觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、給出定義，讓學生經歷了知識再發(fā)現(xiàn)的過程，促進了個性化學習。從舊教材上看，導數(shù)概念學習的起點是極限，即從數(shù)列的極限，至V函數(shù)的極限，再到導 數(shù)。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學生很難理解極限的形式化定義，因 此也影響了對導數(shù)本質的理解。新教材不介紹極限的形式化定義