19.2.3-一次函數(shù)與方程、不等式-教案

1、19.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式八年級科目： 數(shù)學主備人： 范德彪時間： 年月日課時安排與說明：1課時一、教學設計1、教學目標(D 了解一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯(lián)系；(2)能運用一次函數(shù)的圖象來解釋一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能 通過函數(shù)圖象來求一元一次方程、一元一次不等式的解集；(3)經歷探究一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯(lián)系的過程，體 會數(shù)形結合、分類、類比、歸納等數(shù)學思想方法，并能簡單應用于生活實踐.2、內容分析(1)函數(shù)、方程、不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學模型。用函數(shù)的觀點 看一元一次方程、一元一次不等式，學生不僅能加深對方程(組

2、)、不等式的理解， 而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學的統(tǒng)一美，加強知識間橫向與縱向的 融會貫通。本節(jié)課關鍵是探究一次函數(shù)與一次方程、一次不等式的聯(lián)系，并利用一次 函數(shù)的圖象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，這對發(fā)展學生“數(shù)形結合”的 思想和辯證思維能力具有重要的意義，同時為高中利用二次函數(shù)解一元二次不等式的 學習作一些鋪墊。(2)基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重是一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次 不等式之間的聯(lián)系，教學難點是能通過函數(shù)圖象來求一元一次方程、一元一次不等式 的解集.3、學情分析(1)學生的認知基礎：通過前面的學習，學生已經掌握了從數(shù)的角度認識一次方 程和一次不等式，

3、從形的角度認識了一次函數(shù)和數(shù)軸表示不等式的解集。而本節(jié)課通 過函數(shù)圖像動態(tài)的變化和點的對應來探究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式 之間的關系.但學生對函數(shù)的理解還停留在直觀的解析式或者圖象上，學生很難想到利 用函數(shù)的觀點來看待方程和不等式的問題，從函數(shù)的對應關系來辯證的理解三個數(shù)學 模型。(2)學生是年齡心理特點：八年級學生的思維已經逐步從幾何直觀向抽象的邏輯 思維過渡，具備一定的識圖能力和歸納概括的能力，并且在學習中有了想自己動手、 運用知識解決實際問題的欲望。因此，本節(jié)課主要是教給學生“動手做，動腦想，多 合作，大膽猜，會驗證”的研討式學習方法。從實際生活情境和簡單問題中引導學生 自

4、主探索、合作交流來探究發(fā)現(xiàn)一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)的內在聯(lián) 系，另補充相應的練習，鼓勵學生運用新思維，即從“形”的角度解決舊知，增強學 生數(shù)形結合的意識。4、設計思路(1 )以學生活動為主線一一讓學生主動建構新知識本節(jié)課讓學生類比一次函數(shù)與一元一次方程的學習方法，自己通過觀察、聯(lián)想、 分析、歸納，把新知識正確地納入到已有的認知結構中。本節(jié)課設計的每一個環(huán)節(jié)、 每一個活動都是以學生為主體，他們在每個活動中始終是主動的探索者、研究者，實 現(xiàn)學生的主體地位。(2)突出數(shù)學思想方法一一讓學生領悟數(shù)學的精髓本節(jié)課學習不是把運用圖象解不等式作為一種技巧，而是用函數(shù)觀點統(tǒng)領方程、 不等式，領會

5、數(shù)形結合思想和函數(shù)思想。在教學中，我把培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力作 為重點，通過一連串的問題和活動，讓學生逐步去領會，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。(3)重視自主探索與合作交流一一讓學生學會學習新課程倡導“自主探索、合作交流”的學習方式，本節(jié)課，教師創(chuàng)設了一個個探 究情境，學生在思考中合作，在合作中交流，在交流中體驗，在體驗中感悟。這樣， 既調動了學生參與的積極性，又培養(yǎng)了學生的合作交流能力和學習能力，促進了每一 位學生的發(fā)展。二、教學過程(一)導入1、填空：(1) 一元一次方程2x+4= 0解是 ;(2) 一元一次不等式2x + 4>0的解集為;(3) 一元一次不等式2x + 4<0的解集為.

6、2、方程、不等式與函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，下面我們就從函數(shù)的角度看一元一 次方程、一元一次不等式?！驹O計意圖】通過解一元一次方程、一元一次不等式為探討一次函數(shù)、一元一次 方程和一元一次不等式的內在聯(lián)系作好鋪墊.(二)新授課活動一：一次函數(shù)與一元一次方程思考：下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對這3個方程進行解釋嗎？(1) 2x 1 3;(2) 2x 1 0;(3) 2x 1 1.【師生活動】三個方程的左邊都是代數(shù)式 2x 1 ,而右邊分別是3、0、 1。我們 可以把代數(shù)式2x 1的取值記作變量y,它可以看成是關于x的函數(shù)，于是我們就得到 了一次函數(shù)y 2x 1。如右圖，從函數(shù)的

7、角度看，解這三個方程可以看成一 次函數(shù)y 2x 1的函數(shù)值分別為3、0、- 1 (即 y 3, y 0, y 1)時，求自變量x的值。或者說，在 直線y 2x 1上取縱坐標分別為 3、0、1時，看它們 的橫坐標分別為多少，即圖象上A、B、C三點的橫坐標?！咀穯枴看藭r這三個方程的解在圖象上如何表示？【師生活動】從函數(shù)圖象可知，當 y 3時，對應的a點的橫坐標為1,則方程(1)的1 解為x 1;同理，萬程(2)的解為x,，方程(3)的解為x 1.2【歸納】一元一次方程的解是它所對應一次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。活動二：一次函數(shù)與一元一次不等式思考：下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的

8、角度對這3個不等式進行解釋嗎？(2) 3x 2 2;(2) 3x 2 0;(3) 3x 2 1.【師生活動】三個不等式的左邊都是代數(shù)式3x 2 ,而右邊分別是2、0、一1。從函數(shù)的角度，它們可以分別看成一次函數(shù)y 3x 2當y 2, y 0, y 1時，求自變量x的取值范圍(如右【追問】此時這三個不等式的解集在圖象上如何表示？【師生活動】從函數(shù)圖象可知，當 y 2時，對應的自變量x的取值范圍為x 0, 則不等式（1）的解集為x 0;同理，不等式（2）的解集為x 2 ,不等式（3）的3解為x 1.【歸納】一元一次不等式的解集是它所對應一次函數(shù)圖象函數(shù)值大于0或小于0時，自變量x的取值范圍?；顒尤?/p>

9、：一次函數(shù)與二元一次方程（組）問題31號探測氣球從海拔5米處出發(fā)，以1m/s的速度上升.與此同時2號探測氣球從海拔15米處出發(fā)，以0.5 m/s的速度上升.兩個氣球都上升了 1h.（1）請用式子表示兩個氣球所在位置的海拔y（單位:m）關于上升時間x （單位：min）的函數(shù)關系。（2）在某一時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時問？位于什么高度？【師生活動】引導學生回顧已經學過的有關列函數(shù)關系式的知識和方法，分析問 題，巡視并提醒學生取值可以多元化.分析：（1）氣球上升時間x滿足0 x 60.對于1號氣球，y關于x的函數(shù)解析式y(tǒng) x 5.對于2號氣球，y關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)

10、0.5x 15 .（2）在某時刻兩個氣球位于同一高度，就是說對于x的某一個值（0 x 60）,函數(shù)y x 5和y 0.5x 15有相同的值y.如果能求出這個x和y,則問題得到解決.由 此容易想到解二元一次方程組y x 5 即 20 .解得：,這就是說，當上升20min時，兩個氣球都位于海拔25m的高度.y 25.【追問11參考前面用一次函數(shù)圖象來解一元一次方程、一元一次不等式的方法，你能從函數(shù)的觀點來解釋二元一次方程（組）嗎？【追問2】回答以下問題：（1）在同一直角坐標系內分別畫出一次函數(shù)y x 5和y 0.5x 15的圖象. y 5y 0.5x 15 y 0.5 15（2）找出兩個圖象的交點

11、坐標.（3）由這個交點坐標，你能確定二元一次方程組x y 5的解嗎？為什么？y 0.5 15【師生活動】觀察兩個函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)：二元一次方程組的解是同時滿足兩個方程的公共解，同時，兩個 一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足上述兩個函數(shù)，易知交點坐標滿足這個方程組的解【歸納】一般地，因為每個含有未知數(shù) x和y二元一次方程，都可以改寫為y kx b （k, b是常數(shù)，k 0）的形式，所以每個這樣的方程都對應一個一次函數(shù), 于是也對應一條直線.這條直線上每個點的坐標（x, y）都是這個二元一次方程的解 二元一次方程組的的解是它所對應兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標。（三）課堂小結（1） 一次函數(shù)與一元一次方程、一元

12、一次不等式和二元一次方程（組）之間有什 么樣的聯(lián)系？（2）如何用函數(shù)的觀點來解釋一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（組）？（四）反饋1、一個物體現(xiàn)在的速度是 5米/秒，其速度每秒增加2米，再過幾秒它的速度為 17米/秒？分析：設再過x秒它的速度為17米/秒.根據(jù)題意可知5 2x 17。用函數(shù)圖象法來解答，將方程 5 2x 17化簡為2x 12 0 ,畫出對應一次函數(shù)y 2x 12的圖象，找到圖象與x軸的交點（6, 0）,得x=6.2、用畫函數(shù)圖象的方法解不等式 5x 4 2x 10.分析：將原不等式兩邊分別看成一次函數(shù) y 5x 4和y 2x 10,畫出兩個函數(shù) 的圖象（如圖所示），找到交點的橫坐標為2,當x<2時，對于同一個 x,直線y 5x 4上的點在直線y 2x 10上相應點的下方，這時 5x 4 2x 10 ,所以不等 式的解集為x<2。y 2x 5 一3、利用圖象解方程組 y ,y x 1.解：在直角坐標系中畫出兩條直線，如下圖所分析：引導學生在直角坐標系中畫出兩條直 線，并找出兩條直線的交點坐標.即可得出所以方 程組的解.示.兩條直線的交點坐標是（2,-1）,所以方程組的解為2,1.（五）作業(yè)布置與課外輔導1、已知函數(shù)yi = 2x 4與y2= 2x+ 8的圖像，觀察