基于CZT和Zoom_FFT的頻譜細化分析中能量泄漏的研究

1、中圖分類號:T N91116文獻標識碼:A 文章編號:C N51-1418(200305-0011-05收稿日期:2003-01-06;修回日期:2003-04-11作者簡介:李天昀(1979-,男,碩士研究生,研究方向為通信中的信息處理;葛臨東(1946-,男,教授、博士生導師,主要研究方向為通信中的信息處理和軟件無線電?；贑ZT 和Z oom 2FFT 的頻譜細化分析中能量泄漏的研究李天昀,葛臨東(鄭州信息工程大學信息工程學院,鄭州450002摘要:在經典譜估計理論中,頻譜能量泄漏是導致頻譜失真的主要誤差因素。CZT 和Z oom -FFT 是兩種重要的頻譜細化分析算法,本文對這兩種方法

2、的能量泄漏進行了詳細的分析,并仿真分析了不同種類和不同寬度的窗對譜泄漏的影響。分析和仿真的結果表明,Z oom -FFT 可以大大減小頻譜能量泄漏,獲得更高質量的細化頻譜。關鍵詞:頻譜泄漏;CZT;Z oom 2FFTThe R esearch about the Leakageof the Zoom 2Spectrum B ased on CZT and Zoom 2FFTLI T ian 2yun ,GE Lin 2dong(University of In formation Engineering ,Zhengzh ou 450002,China Abstract :In the sp

3、ectrum analysis based on the F ourier trans form ,the spectrum leakage is the main error causing the spectrum distortion.CZT and Z oom -FFT are tw o im portant alg orithms to analyze the zoom spectrum.This paper respectively analyzes their leakage in detail ,and also simulates the in 2fluence on the

4、 leakage by different windows.The results show that the Z oom -FFT alg orithm can de 2crease the leakage consumedly and obtain a high -quality zoom spectrum .K eyw ords :S pectrum Leakage ;CZT;Z oom 2FFT0引言在基于離散傅立葉變換(DFT 的經典譜估計中,由時域截斷所引起的頻譜能量泄漏是不可避免的。加窗平滑法、修正周期圖、平均周期圖、Welch 法等方法1可以減少部分頻譜能量泄漏,其他各種各樣的

5、頻譜校正方法也可以對頻譜能量泄漏誤差進行一些修正,但是在很多應用中,能量泄漏仍然是經典譜估計中最主要的誤差因素。線性調頻變換(Chirp Z 2trans form ,簡稱CZT 1,2,3和細化快速傅立葉變換(Z oom 2FFT 4,5是兩種經典的頻譜細化算法。這兩種算法實際上都是從傅立葉變換導出的頻譜分析方法,CZT 的結果等價于離散時間傅立葉變換(DTFT 在部分頻帶上的頻譜等間隔取樣,Z oom 2FFT 則是對信號2003年9月第5期基于CZT 和Z oom 2FFT 的頻譜細化分析中能量泄漏的研究濾波抽取后再進行DFT分析。這兩種算法可以快速實時的對整個信號帶寬中的部分頻帶進行高

6、頻率分辨率的頻譜細化分析,是經典譜分析中的重要方法,在實際應用中有著很重要的意義。對原始信號可以通過FFT進行粗略的頻譜估計,從而獲取需要細化分析的窄帶頻譜范圍;再在該窄帶范圍內通過CZT或Z oom2FFT進行頻域細化分析,以獲得更精細的頻譜6。在這兩種頻譜細化方法中,頻譜能量泄漏仍然是不可避免的主要的誤差因素,因此,深入分析研究它們的能量泄漏對于更好的應用這兩種方法有著重要意義。本文介紹了CZT和Z oom2FFT算法的基本原理和實現(xiàn),其中Z oom2FFT算法流程適合于用硬件來實現(xiàn),CZT算法流程主要是卷積模塊的FFT快速計算。然后文中詳細分析了這兩種算法的頻譜能量泄漏。分析結果表明,Z

7、 oom2FFT方法得出的細化譜非常有效地減小了能量泄漏的影響,而通過CZT得出的細化譜的能量泄漏影響則沒有減小。另外本文把加窗等減少能量泄漏的方法應用于這兩種頻譜細化方法,詳細分析了不同種類和不同寬度的窗對譜泄漏的影響。最后文中給出了仿真結果,驗證了分析的正確性。這兩種頻譜細化方法在對跳頻信號的頻譜分析中獲得了很好的應用。先通過FFT對整個跳頻工作頻帶中的頻譜進行粗略觀測,分析出大概的跳頻頻率。再對跳頻頻率所在的頻率窄帶用Z oom2FFT或CZT進行頻譜細化分析,獲取更精細準確的頻譜。在對工程中的一些具體稀疏譜信號進行頻譜分析時,也可以應用這兩種頻譜細化分析方法來獲得精細的窄帶頻譜,獲得更

8、好的頻譜分析結果。1經典譜估計中的能量泄漏在離散傅立葉分析中,頻譜能量泄漏定義為:由于窗函數(shù)引入的譜平滑作用,使得在一個頻率處的分量泄漏到相鄰的頻率分量中去1。因為對信號進行頻譜分析時,要求信號必須是有限長的離散信號,所以必須對被分析信號進行加窗截斷。以只包含一個正弦分量的信號為例: s(n=A0cos(0n+0,(nZ(1設窗函數(shù)為w(n,(0nN-1,則截斷后的序列為x(n=s(nw(n,(0nN-1。所以加窗序列x(n的傅立葉變換為:X(e j=A02e j0W(e j(w-w0+e-j0W(e j(+0(2當w(n是長度為32的矩形窗時,窗w(n和加窗序列x(n的幅度譜如圖 (1所示。

9、由圖可知,加窗使正弦序列本來的沖激函數(shù)譜被平滑展寬,頻譜能量從一個單峰(沖激函數(shù)泄漏到主瓣和旁瓣中去,這樣很難精確地確定頻率,也將降低對頻率上十分靠近的正弦信號的分辨率。不過,能量泄漏也能起到克服柵欄效應的積極作用,否則,用DFT對上述連續(xù)譜取樣后,將可能取不到任何峰值。圖(1加矩形窗正弦序列的頻譜由以上分析可以看出,截斷所帶來的泄漏是F ourier變換本身固有的缺陷,是影響譜估計精度的重要因素。頻譜能量泄漏主要由窗譜的形狀決定,工程中改善頻譜能量泄漏的主要方法是選擇不同的窗函數(shù)。主瓣寬度越窄,則頻率分辨率越高,且由主瓣導致的泄漏范圍越小;相對旁瓣幅度越小,則旁瓣導致的泄漏程度越小。但是實際

10、上,窗函數(shù)設計時減小旁瓣幅度與減小主瓣寬度是互相矛盾的1,因此,需根據(jù)不同的應用來選擇合適的窗。表(1常用窗函數(shù)比較窗函數(shù)類型主瓣寬度(2/N最大旁瓣幅度(dB矩形2-13Bartlett4-25Hanning4-31Hamming4-41Blackman6-57幾種常用窗函數(shù)的最大旁瓣幅度和主瓣寬度如表(1所示1,2,表中N為窗的寬度。其中,矩形窗的主瓣最窄,但是旁瓣幅度是很高的。用平滑變化的窗如Hamming窗、Blackman窗可以使旁瓣電平大幅度下降,但是其代價是主瓣寬度增加了一半以上。采用平滑變化的窗可以使旁瓣的泄漏減小很多,將泄漏主要控制在主瓣范圍內。值得注意的一點是,窗函數(shù)的主瓣

11、寬度與窗的寬度N成反比。因此,能量泄漏由窗的類型和窗寬N一起確定。窗寬N越大,主瓣越窄,能量泄漏的范圍就越小。2CZT和Z oom2FFT的能量泄漏研究211CZT及其泄漏分析眾所周知,DFT可以計算有限長序列x(n, (0nN-1的連續(xù)譜X(e j在0,2上的N 點均勻取樣(頻率采樣間隔為2/N。而應用線性調頻變換(CZT則可以計算得到連續(xù)譜X(e j在任意一段頻率范圍(1,2上任意頻率采樣間隔的均勻取樣值。對x(n,(0nN-1的CZT定義式如下:X(z k=CZT0,Mx(nN-1n=0x(nz k-n(3其中z k=e j(0+k0,0kM-1。從定義式可知,CZT計算得出的頻譜X(z

12、 k, 0kM-1就是x(n,(0nN-1的連續(xù)譜X(e j在=0+k0,0kM-1處的取樣值。因此當0<2/N即CZT的頻率采樣間隔小于DFT的頻率采樣間隔時,CZT對譜X(e j的取樣就比DFT對X(e j的取樣更致密,即CZT在頻率區(qū)間0,0+(M-10中起到了細化DFT頻譜的作用。由以上CZT的定義,結合頻譜能量泄漏的定義可知,CZT頻譜X(z k與連續(xù)譜X(e j比較,對原信號某一頻率分量的能量泄漏實際上并沒有任何改變,因為CZT是在泄漏后的頻譜X(e j上進行采樣的。設采用矩形窗且窗寬為N時,包括第一旁瓣在內的泄漏范圍為8/N。對x(n進行N 點DFT譜計算時,泄漏范圍為4條

13、譜線。對x(n進行CZT譜計算做細化分析時,泄漏范圍將為(8/N/0條譜線,其譜線范圍將遠大于4條,但是對應的頻率范圍仍然是8/N。因為常用窗函數(shù)的主瓣寬度都是與窗的寬度成反比的,所以增加窗寬N即定義式(3中x(n的長度可以減小CZT譜泄漏的范圍,提高頻譜精度。對CZT的計算過程,一般將其轉化為線性卷積,再利用FFT來計算2。因為計算快捷,所以CZT不僅在頻譜細化中獲得了廣泛的應用,在其他需用到分數(shù)階傅立葉變換的算法中也經常被采納,例如二維極化傅立葉變換的快速計算7。212復調制Z oom2FFT及其泄漏分析細化快速傅立葉變換(Z oom2FFT用來作頻率細化分析,包括Y ip級聯(lián)Z oom2

14、FFT、復調制Z oom2 FFT、相位補償Z oom2FFT等4,5。其中復調制Z oom2FFT能對任意給定頻率附近的頻譜進行細化,應用較多,而且在理論上意義明確。復調制 Z oom2FFT細化流程如圖(2所示。圖(2復調制Z oom2FFT流程將輸入信號與單位復指數(shù)信號相乘,把感興趣頻段的中心頻率移至零頻,再通過低通濾波和整數(shù)倍抽取。對抽取后的信號做FFT分析,便可以得到感興趣頻段的細化頻譜4。設需對輸入信號x(n在頻率范圍(2,2內進行頻譜細化分析,0=(1+2/2,則復調制移頻后的信號及其頻譜為x(n=x(ne-j n0,X(e j= X(e j(+0。可見,頻譜左移0,0變?yōu)榱泐l,

15、(1,2內頻譜變?yōu)?-2-12,2-12,這就是抽取前抗混疊低通濾波器的通帶。為了避免頻譜混疊,最大可抽取倍數(shù)為D= 2/(2-1。抽取后信號y的頻譜范圍(-,與抽取前信號x(n頻譜的(-/D,/D對應,即對應x(n的部分頻帶(0-/D,0+/D(包含(1,2在內。所以圖(2的流程起到了頻譜細化的作用,將頻譜X(e j的部分頻帶(0-/D,0+/D放大成Y(e j中的,細化了D倍。設對抽取后的信號進行寬度為N的矩形窗截斷,并記為y(n,(0nN-1,對應的頻譜為Y(e j,則頻譜Y(e j中包括第一旁瓣在內的能量泄漏范圍為8/N。但是根據(jù)頻譜Y(e j是頻譜X(e j在部分頻帶(0-/D,0+

16、/D上的D倍細化,所以頻譜Y(e j中的泄漏范圍8/2003年9月第5期基于CZT和Z oom2FFT的頻譜細化分析中能量泄漏的研究D 對應頻譜X (e j 中的范圍僅為8/N D。與加同樣長度N 的窗時x (n 的泄漏范圍相比減小了D倍,而與D N 點窗寬的x (n 譜泄漏范圍一樣。對抽取后的信號和原信號做同樣點數(shù)的DFT 譜分析時,抽取后信號的譜泄漏范圍減小了D 倍。在Z oom 2FFT 的具體實現(xiàn)中,濾波和抽取部分可以用多相濾波結構8來實現(xiàn),這樣減少了計算量、提高了實時處理能力。213CZT 和Z oom 2FFT 中能量泄漏的比較采用如框圖(3所示的兩種方案對信號進行頻譜細化分析。

17、圖(3細化方案設原信號為x (n ,FFT 計算長度為N ,窗函數(shù)為w (n ,(0n N -1,Z oom 2FFT 中的低通濾波器為r 階FIR 濾波器h (n 、抽取倍數(shù)為D 。則FFT 對應頻譜為FFT x (n w (n ,計算量約為N +N2log 2N 。CZT 對應頻譜為CZT x (n w (n ,計算量2約為N +(N +M -1log 2(N+M -1+2,其中計算過程M 中值由細化區(qū)間和細化程度來決定。設Z oom 2FFT 中x (n 經復調制且低通濾波后信號為x (n =(x (n e -j n 0h (n ,則Z oom 2FFT 對應頻譜為FFT x (n w

18、(n ,計算量8約為N (D +r +1+N2log 2N 。假設有在加性高斯白噪聲信道中的低通采樣信號,采樣率為240K H z ,信噪比為10dB ,且在601875/611125/62K H z 處有單頻信號存在。相對該低通采樣信號的120K H z 帶寬來說,其中包含的單頻信號所占的只是一個很窄的頻帶。因此,采用圖(3所示兩種方案對該低通采樣信號中的窄帶進行頻譜細化分析。寬度相同的窗截斷的信號的幅度譜比較如圖(4所示,橫坐標單位為K H z 。其中圖(a 是原始信號的1024點FFT 幅度譜,圖(b 是信號長度為N =1024且較DFT 細化了10倍時的CZT 幅度譜,圖(c 為濾波器

19、階數(shù)r =64、抽取倍數(shù)D =10時的1024點Z oom 2FFT 幅度譜。圖(a 、(b 、(c 中的處理均采用的是矩形窗,而圖(d 、(e 、(f 是對應加Hamming 窗時的幅度譜。從圖(4可以看出,參與變換的信號點數(shù)均為1024,但是Z oom 2FFT 頻譜的泄漏明顯比DFT 和CZT 小。而且,CZT 譜和Z oom 2FFT 譜在加Ham 2ming 窗時的頻譜旁瓣泄漏都比加矩形窗時要小,但是主瓣寬度比加矩形窗時更寬。圖(4所示的結果與前面的分析結果是一致的。 圖(4DFT 、CZT 和Z oom 2FFT 的幅度譜比較圖(5窗寬N對CZT和Z oom2FFT譜泄漏的影響這三

20、種方法的計算量依次約為6144、15044、81920次乘法。可見,雖然Z oom2FFT算法的抗頻譜泄漏效果最好,所獲得的譜質量最好,但是其復雜度也是最大的。圖(5所示為窗寬變化時對CZT和Z oom2FFT 頻譜能量泄漏的影響,其中所加窗為矩形窗,橫坐標單位為K H z。其中圖(a、(b為CZT幅度譜,窗寬分別為1024和2048;圖(c、(d為Z oom2FFT幅度譜,窗寬分別為256和1024。顯然從圖中可以看出,不管是CZT還是Z oom2FFT的頻譜,在窗寬加大時,主瓣和旁瓣寬度都會變窄,譜泄漏范圍變小,泄漏程度減輕。而且,窗寬加大時譜峰變窄,頻率分辨率提高。3結論本文從能量泄漏的

21、角度分析了頻率細化算法CZT和Z oom2FFT的性能。分析結果表明,Z oom2 FFT細化頻譜在能量泄漏方面大大優(yōu)于CZT細化頻譜。而且,與傳統(tǒng)的DFT頻譜分析的譜泄漏類似,選擇主瓣寬度和旁瓣衰減不同的窗,將對CZT 和Z oom2FFT的頻譜泄漏產生不同的影響。選擇旁瓣衰減大的窗如Hamming窗,可以大大減小旁瓣泄漏,但是主瓣變寬,減小了頻率分辨率。選擇主瓣窄的窗如矩形窗,所得頻譜的譜峰變窄,頻率分辨率提高了,但是旁瓣泄漏很大。同時,窗寬也是決定CZT和Z oom2FFT頻譜泄漏的一個重要因素。窗寬加大時,譜泄漏程度將減輕,但是計算量也會增加。所以應該根據(jù)不同的應用來選擇合適種類和合適寬度的窗。參考文獻:1A.V.Oppenheim,R.W.Schafer.Discrete2T ime S ignalProcessingM.