用多項(xiàng)式模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合實(shí)驗(yàn)報(bào)告(附代碼)

1、實(shí)驗(yàn)題目：用多項(xiàng)式模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合實(shí)驗(yàn)1實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)使用多項(xiàng)式模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，目的在于：（1）掌握數(shù)據(jù)擬合的基本原理，學(xué)會使用數(shù)學(xué)的方法來判定數(shù)據(jù)擬合的情況；（2）掌握最小二乘法的基本原理及計(jì)算方法；（3）熟悉使用matlab進(jìn)行算法的實(shí)現(xiàn)。2實(shí)驗(yàn)步驟2.1算法原理所謂擬合是指尋找一條平滑的曲線，最不失真地去表現(xiàn)測量數(shù)據(jù)。反過來說，對測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，要對其進(jìn)行公式化處理，用計(jì)算方法構(gòu)造函數(shù)來近似表達(dá)數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系。由于函數(shù)構(gòu)造方法的不同，有許多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理論） 來實(shí)現(xiàn)曲線的擬合。最小二乘擬合利用已知的數(shù)據(jù)得出一條直線或曲線，使之在坐標(biāo)系上與已知數(shù)據(jù)之間

2、的距離的平方和最小。 模型主要有：1.直線型2.多項(xiàng)式型3.分?jǐn)?shù)函數(shù)型4.指數(shù)函數(shù)型5.對數(shù) 線性型6.高斯函數(shù)型等，根據(jù)應(yīng)用情況，選用不同的擬合模型。其中多項(xiàng)式型擬合模型應(yīng) 用比較廣泛。給定一組測量數(shù)據(jù)Xi,yi，其中i =0,1,2,3,，m，共m+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，取多項(xiàng)式P（x），mm22使得Ap（Xi-yJ二min，則稱函數(shù)p（ x）為擬合函數(shù)或最小二乘解，此時(shí)，令i =0i =0nPn(x)二akxk ，k=0m2I i Pn(Xi) - yii =0k、2=E Z akxi 一 yi | = min i=0 1心丿a°,a1, a2,，a*為待求的未知數(shù)，n為多項(xiàng)式的最高次幕

3、，由此該問題化為求I =1 （玄,682,a.）的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件：mn12、L akXik -yi)Xij =0，其中 j =0,1,2，,naii 0 k =0n mm得到：V (' xj k)ak = I Xi、i，其中j =0,1,2,n，這是一個(gè)關(guān)于Q的線k =0 i =0i =0性方程組，用矩陣表示如下所示:mm +1送Xii=0mm為XU2Z Xii衛(wèi)i丄amm寸 n工xp n +送x=0i=0m-mZ Xin 11送yi甘"ao 17mm丁n +a1送Xiyi J0-i=0mma.mz x2n0 _1Z Xiny7一i丄因此，只要給出數(shù)據(jù)

4、Xi,yi ,數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù) m,所要擬合的參數(shù)n,就可求出未知數(shù)據(jù)陣(a0, ai,a2,',an)2.2實(shí)驗(yàn)步驟(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)(ch3 huaxuefy.m)，繪制出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖 1所示: 注：x從1開始取值，值與值間隔為 1。y取文件ch3 huaxuefy.m中的數(shù)據(jù)。圖1已知數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖mm(2)m +1Z Xizn片i =0i J0mmmZ Xi寸2Z x zn-H Xii亠a7ai =0ammmnZ Xi送Xiz2nj=0i=0i=0計(jì)算矩陣A =yi 1，該矩陣為(n+1) * (n+1)矩陣。(3)計(jì)算矩陣B二mzi =Q m送 Xi yii =Qmmm送 Xi

5、yii =0(4) 寫出正規(guī)方程，求出a0,a1,a2/- ,an。 繪制出數(shù)據(jù)擬合后的曲線圖。分別取n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14，曲線圖如下 所示：mmmm圖2n=6時(shí)擬合曲線圖3n=8時(shí)擬合曲線圖4 n=10時(shí)擬合曲線 c®復(fù) OH 口 旦圖5 n=11時(shí)擬合曲線B3 Figure 1File Edit View Insert look Desktop Window HelpH Figure 1| Ffte Edit View Insert Jools Desktop Window Help 已jdWTn叵、可勃可謠：閃迴| 旦圖6 n=12時(shí)

6、擬合曲線Figure 1File Edit View Insert TooN Desktop Window Help d a i fe a a® "0圖7 n=13時(shí)擬合曲線3實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析通過運(yùn)用最小二乘法對多項(xiàng)式模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合處理，獲得n次多項(xiàng)式及其系數(shù)ao,a!,a2,an。分別取多項(xiàng)式次數(shù) n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14繪制擬合曲線，觀察曲線圖可知，對于最高次數(shù)不同的多項(xiàng)式，擬合結(jié)果是不一樣的，即對于數(shù)據(jù)的逼近程度是不相同的。隨著n的增大，曲線擬合效果變好；當(dāng) n=10時(shí)，達(dá)到最好擬合效果； n繼續(xù)增大， 曲線擬合效果又變差。因此，

7、對于相同的數(shù)據(jù)，并不是多項(xiàng)式的次數(shù)n越高，擬合程度就越好。4實(shí)驗(yàn)結(jié)論通過實(shí)際做實(shí)驗(yàn)， 得出了如下結(jié)論：離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以采用多項(xiàng)式模型進(jìn)行擬合，通過最 小二乘法可以求得其最優(yōu)多項(xiàng)式。此外，還得出一個(gè)結(jié)論：對于數(shù)據(jù)擬合，并不是多項(xiàng)式次數(shù)越高，擬合就越逼近。對此現(xiàn)象，在數(shù)值分析的參考書中找到了原因，這是龍格現(xiàn)象，即 對于一個(gè)等間距節(jié)點(diǎn)的高次插值多項(xiàng)式，不收斂于插值函數(shù)。參考文獻(xiàn)1 陳光，任志良，孫海柱.最小二乘曲線擬合及Matlab實(shí)現(xiàn)J.軟件技術(shù)，2005.24 (3)2 陳桂秀用程序求解最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)J.青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(3).3 邵慧瑩數(shù)據(jù)擬合算法分析及C語言實(shí)現(xiàn)J.信息科

8、學(xué)，2009.4 馬正飛，殷翔數(shù)學(xué)計(jì)算方法與軟件的工程應(yīng)用M.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2002. 徐士良.數(shù)值分析與算法M北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007. 何仁斌.MATLAB6工程計(jì)算及應(yīng)用M.重慶：重慶大學(xué)出版社，2001.附錄(源代碼)Matlab%繪制散點(diǎn)圖x=1:1:230;y=26.6,27,27.1,27.1,27.1,27.1,26.9,26.8,26.7,26.426.0,25.8,25.6,25.2,25.0,24.6,24.2,24.0,23.7,23.423.1,22.9,22.8,22.7,22.6,22.4,22.2,22.0,21.8,21.4,20.9,20.3,

9、19.7,19.4,19.3,19.2,19.1,19.0,18.9,18.9,19.2,19.3,19.3,19.4,19.5,19.6,19.6,19.6,19.6,19.6,19.7,19.9,20.0,20.1,20.2,20.3,20.6,21.6,21.9,21.7,21.3,21.2,21.4,21.7,22.2,23.0,23.8,24.6,25.1,25.6,25.8,26.1,26.3,26.3,26.2,26.0,25.8,25.6,25.4,25.2,24.9.24.7.24.5.24.4.24.4.24.4.24.4.24.4.24.3.24.4,24.4.24.4.

10、24.4.24.4.24.5.24.5.24.4.24.3.24.2.24.2,24.0,23.9,23.7,23.6,23.5,23.5,23.5,23.5,23.5,23.7,23.8,23.8,23.9,23.9,23.8,23.7,23.6,23.4,23.2,23.0,22.8,22.6,22.4,22.0,21.6,21.3,21.2,21.2,21.1,21.0,20.9,21.0,21.0,21.1,21.2,21.1,20.9,20.8,20.8,20.8,20.8,20.9,20.8,20.8,20.7,20.7,20.8,20.9,21.2,21.4,21.7,21.8,

11、21.9,22.2,22.5,22.8,23.1,23.4,23.4,23.8,24.1,24.6,24.9,24.9,25.1,25.0,25.0,25.0,25.0,24.9,24.8.24.7.24.6.24.5.24.5.24.5.24.5.24.5.24.5.24.5,24.4,24.4,24.2,24.2,24.1,24.1,24.0,24.0,24.0,23.9,23.8,23.7,23.7,23.6,23.7,23.6,23.6,23.6,23.5,23.5,23.4.23.3.23.3.23.3.23.4.23.4.23.3.23.2.23.3.23.3,23.2,23.1,

12、22.9,22.8,22.6,22.4,22.2,21.8,21.3,20.8,20.2,19.7,19.3,19.1,19.0,18.8,0,0,0,0;plot(x,y, '*')xlabel'x 軸'ylabel'y 軸'title '散點(diǎn)圖hold on%計(jì)算矩陣Am=229;n=10;A=zeros( n+1);for j=1: n+1for i=1: n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)q+i-2)endendend ;%計(jì)算矩陣BB=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;for j=1: n+1for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)A(j-1)endend%寫出正規(guī)方程，求出a0,a!,a2,anB=B'a=i nv(A)*B;%繪制出擬合曲線圖x=1.0:0.0001:230.0;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3+a(5)*x.A4+a(6)*x.A5+a(7)*x.A6+a(8