三角函數(shù)總結(jié)大全(整理好的)

1、三角函數(shù)一任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來(lái)的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見(jiàn)，我們規(guī)定:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2象限角、終邊相同的角、區(qū)間角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊除端點(diǎn)外在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

2、象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個(gè)角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如|=，。3弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě))。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定。角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住?；《扰c角度互換公式：1rad&

3、#176;57.30°=57°18；1°0.01745rad?；￠L(zhǎng)公式：是圓心角的弧度數(shù)； 扇形面積公式：。4 三角函數(shù)的定義:以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為，那么； ； ； ； ； 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:sin+cos+tan+cot+ (1)叫做的正弦,記做,即；2叫做的余弦,記做,即；3叫做的正切,記做,即。5 三角函數(shù)的符號(hào)：由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：正弦值對(duì)于第一、二象限為正，對(duì)于第三、四

4、象限為負(fù)；余弦值對(duì)于第一、四象限為正，對(duì)于第二、三象限為負(fù)；正切值對(duì)于第一、三象限為正同號(hào)，對(duì)于第二、四象限為負(fù)異號(hào)說(shuō)明：假設(shè)終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。6三角函數(shù)線Oxya角的終邊PTMA三角函數(shù)線是通過(guò)有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問(wèn)題時(shí)，十分方便。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫(huà)一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有

5、關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣,無(wú)論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)

6、稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2+cos2=1平方關(guān)系； =tan商數(shù)關(guān)系； tancot=1倒數(shù)關(guān)系.使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個(gè)常用關(guān)系式：sin+cos，sin-cos，sin·cos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sincos或sin·cos推出其余兩式。7誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin1要

7、化的角的形式為為常整數(shù)；2記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；3sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；4；。二三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2.三角函數(shù)的定義域、值域及周期如下表：函數(shù)定義域值域周期3三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是;的遞增區(qū)間是，4對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。5函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，但凡該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。6由

8、ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，便得ysin(x)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，便得ysin(x)的圖象。三角函

9、數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象之間可以通過(guò)變化來(lái)相互轉(zhuǎn)化影響圖象的形狀，影響圖象與軸交點(diǎn)的位置由引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由引起的變換稱相位變換，由引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移變換方法如下：先平移后伸縮的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象先伸縮后平移的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象例1將的圖象怎樣變換得到函數(shù)的圖象解：方法一把的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得的圖象；將所得圖象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得的圖象；最后把所得圖象沿軸向上

10、平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象方法二把的圖象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得的圖象；將所得圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象；最后把圖象沿軸向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象說(shuō)明：無(wú)論哪種變換都是針對(duì)字母而言的由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的解析式是而不是，把的圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得到的函數(shù)圖象的解析式是而不是對(duì)于復(fù)雜的變換，可引進(jìn)參數(shù)求解例2將的圖象怎樣變換得到函數(shù)的圖象分析：應(yīng)先通過(guò)誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)解：，在中以代，根據(jù)題意，有，得所以將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象5由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=A

11、sinx+的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)，0作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。8求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；9求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。10五點(diǎn)法作y=Asinx+的簡(jiǎn)圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=x+，由x取0、2來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。三三角恒等變換1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式； ； 。3三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，

12、異角化同角； 三角公式的逆用等。2化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。1降冪公式；。2輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類(lèi)型有三類(lèi)1給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；2給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；3給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等

13、式的證明1三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；2三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。對(duì)邊鄰邊斜邊ACB四解三角形1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。1三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。勾股定理2銳角之間的關(guān)系：AB90°；3邊角之間的關(guān)系：銳角三角函數(shù)定義sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別

14、表示A、B、C的對(duì)邊。1三角形內(nèi)角和：ABC。2正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即：。R為外接圓半徑3余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面積公式：1Sahabhbchcha、hb、hc分別表示a、b、c上的高；2SabsinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六個(gè)元素即三條邊和三個(gè)內(nèi)角中的三個(gè)元素其中至少有一個(gè)是邊求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問(wèn)題一般可分為下面兩種情形：假設(shè)給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；假設(shè)給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。1角與角關(guān)系：A+B+C = ；2邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；3邊與角關(guān)系：正弦定理 R為外接圓半徑；余弦定理 c2 = a2+b22