三角函數(shù)競(jìng)賽輔導(dǎo)

1、第一講：三角恒等關(guān)系一、引入：三角恒等式的變形方法和技巧，包括三角恒等式的證明，條件恒等式的證明、化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題等.一、解題中關(guān)注的三大變化，這是打開解決問(wèn)題之門的鑰匙：角的變化；結(jié)構(gòu)的變化；三角函數(shù)名稱的變化.二、引例：求證：分析：從“角”看：出現(xiàn)四種角：，一種比較好的聯(lián)系方式是：，形式比較對(duì)稱；從“結(jié)構(gòu)”看：通分應(yīng)該是明智的選擇；從“名稱”看為正弦、余弦形式，比較基本，證明方法可以綜合法或分析法證明：三、復(fù)習(xí)各種三角恒等關(guān)系式：1、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系： 倒數(shù)關(guān)系：； 商數(shù)關(guān)系：； 平方關(guān)系：； “”,“”“”的關(guān)系 ；2、誘導(dǎo)公式：關(guān)系：； 3、兩角和與差的三角函數(shù)：； 4、“和角公

2、式”的派生公式；5、輔助角公式： 其中；且由所在的象限確定. 注: 輔助角公式主要解決一次齊次式的相關(guān)問(wèn)題.6、二倍角公式 ；= ；7、降次公式；8、升次公式； 注：降次公式與升次公式都是從倍角公式推導(dǎo)出來(lái)的，在三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明方面有著很廣泛的應(yīng)用.9、切割化弦公式1同角公式： ； ；2變角公式：；10、半角公式: ； , 11、和差化積公式: sin+sin=2sincos； sin-sin=2 cossin, cos+cos=2coscos； cos-cos= -2sinsin,12、積差化和公式： sincos=sin(+)+sin(-)； cossin=sin(+)-sin(

3、-), coscos=cos(+)+cos(-)； sinsin=-cos(+)-cos(-).13、 萬(wàn)能公式: ；14、三倍角公式：；二、典型例題：一、基本變形方法：例1、求證：分析：這是一個(gè)輪換對(duì)稱恒等式，可以采用“各個(gè)擊破”的方法試一試.證明：同理：三式相加易證明.例2、求值：.分析：化為特殊角的三角函數(shù)值解法1： .解法2： 解法3：評(píng)注：運(yùn)用和角公式配湊，試問(wèn)題回到基本公式上來(lái).例3、求證：分析：從等式左右角的差異考慮入手，思路為從左邊的角x化到右邊的角4x也可倒過(guò)來(lái)處理.證明：以下來(lái)討論一些條件不恒等式的證明，變形仍注重三個(gè)變化.例4、已知求證：.分析：條件中的角：；結(jié)論中的角：

4、做聯(lián)系：得到統(tǒng)一“名稱“與結(jié)構(gòu)，條件為”整式”情形，結(jié)論為“分式”情形，這與“名稱”轉(zhuǎn)化為正切匹配.也可從A入手.證明1：證明2：例5、已知 .分析：觀察條件，利用改寫“1”，可將條件式子化為奇次式.解析1： 可得：解析2：利用柯西不等式解，考慮取等條件，找條件的等價(jià)式.(李昭奕提供)例6、已知求證：.分析：意圖很明顯，消去.證明：例7、已知求證：分析：基本思路是消去x，y.一般的對(duì)于條件，通常采用平方和求，假設(shè)，則又可用和差化積公式求.證明：變題：1998年新加坡設(shè)A,B,C同時(shí)滿足求證：為定值.(高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽講義P113-46題)以下介紹幾個(gè)三角恒等變形中的技巧運(yùn)用：二、技巧運(yùn)用一-用好對(duì)

5、偶式和配對(duì)原理.例8、求值： 奧博P81 評(píng)注：在此題基礎(chǔ)上，注意利用誘導(dǎo)公式及積化和差公式產(chǎn)生的式子，表達(dá)其靈活性.例9、求值： 分析：利用配對(duì)原理解題; 不斷使用公式：來(lái)減少角.例10、求值：分析：此題使用配對(duì)原理例11、求值：分析：此題中配對(duì)式子與例6不同，也可用構(gòu)造方法，實(shí)際運(yùn)用中有時(shí)并不簡(jiǎn)單.三、技巧運(yùn)用二：裂項(xiàng)技巧：例12、第8屆IMO試題求證對(duì)每一個(gè)和每一個(gè)實(shí)數(shù)為任意整數(shù)有：.奧博P86分析：此題左邊為n項(xiàng)和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試左邊“裂項(xiàng)”，希望消去多項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)證明.證明：同理評(píng)注：“裂項(xiàng)相消法”運(yùn)用廣泛，在解題中具有普遍性，類似可證以下各題：證明： 參考專題講座-三角函數(shù)P5

6、對(duì)于求和求積而言，能裂項(xiàng)相消再好不過(guò)，看看許多平凡的式子都具有裂項(xiàng)相消的功能，舉例說(shuō)明：1、考慮遞推形式的等式：sincosk= sin(k+)-sin(k-),出發(fā)點(diǎn)：積化和差公式：sincos=sin(+)+sin(-)= sin(+)-sin(-)探討：將看做一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，即有：sincosn= sin(n+)-sin(n-)sincosn+1= sin(n+1+)-sin(n+1-)再令n+1-=n+，即n+1=n+2，結(jié)論：這樣積化和差公式就有了裂項(xiàng)相消的功能了，即取n=1+n-12，則：同理類比：sinsin= cos (-)-cos(+)取n=1+n-12,則：2、考慮遞推形

7、式的等式：出發(fā)點(diǎn)：證明：探討：3、考慮遞推形式的等式：出發(fā)點(diǎn)：探討：結(jié)論：4、考慮遞推形式的等式：出發(fā)點(diǎn)：；探討：寫出遞推裂項(xiàng)式：結(jié)論：5、考慮遞推形式的等式：出發(fā)點(diǎn)：探討：，將之寫成遞推裂項(xiàng)式：結(jié)論：.6、考慮遞推形式的等式：出發(fā)點(diǎn)：探討：，將之寫成遞推裂項(xiàng)式：結(jié)論：7、引申：對(duì)具有裂項(xiàng)相消功能的式子變形，從而構(gòu)造恒等式或不等式.這樣可以構(gòu)造：特別的，取n=44，88，可得：例13、已知,則參考專題講座三角函數(shù)70分析：利用三角公式將三角恒等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)解，有利于從復(fù)雜的公式變形中抓住代數(shù)本質(zhì)，從而簡(jiǎn)化證明.證明：例14、已知：求證：參考專題講座三角函數(shù)70沈躍虎證明1：證明2：利用不

8、等式的方法來(lái)證明等式，有時(shí)是迫不得已，有時(shí)是出奇制勝.§2三角形中的恒等關(guān)系以下參考高中數(shù)學(xué)專題講座三角函數(shù)沈躍虎編著以下介紹三角形內(nèi)的常見恒等關(guān)系.這是三角形中的一些基本的數(shù)量關(guān)系，從各方面刻畫三角形中的種種不變量.牢固掌握這些恒等關(guān)系，將有益于我們看出問(wèn)題本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的源泉.一、基本恒等式：1、分析：這是三角形中最最基本的恒等關(guān)系，恒等變形中不斷被利用.對(duì)此可進(jìn)一步限定：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，；當(dāng)為直角三角形時(shí)，中恰有一個(gè)角是直角；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，中恰有一個(gè)角是鈍角.2、正弦定理： R為ABC外接圓半徑注：從理論上正弦定理可解決兩類問(wèn)題： 兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；兩邊和

9、其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角?？捎霉角笕切瓮饨訄A的半徑；注意正弦定理與等比性質(zhì)的綜合應(yīng)用；如,等可用角的正弦值表示邊：可用邊表示角的正弦值：3、余弦定理： 注：熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等當(dāng)夾角為90°時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理特例變形 利用余弦定理 可以解決的問(wèn)題：已知三邊，求三角； 已知兩邊一角，求第三邊4、射影定理：以上三定理等價(jià)證明：見高中數(shù)學(xué)專題講座三角函數(shù)-沈躍虎P76： 正弦定理射影定理 射影定理正弦定理 余弦定理射影定理 射影定理余弦定理5、正切定理：證明：利用正弦定理，再由積化和差公式得之： 6、半角公式：說(shuō)明

10、：利用半角公式及余弦定理可得，注意此處7、模爾外德公式：證明：由正切定理由正弦定理：相乘，相除可得之：注：該公式中包含了三邊，及三個(gè)角,通常用來(lái)檢驗(yàn)所解三角形是否正確.8、面積公式：SABC= a·ha=absinC= R是ABC外接圓的半徑=p=a+b+c，r是ABC內(nèi)切圓的半徑=2R2·sinA·sinB·sinC注：三角形的面積公式表達(dá)式很多，此處只是小部分，主要使大家了解三角形的面積是聯(lián)系許多關(guān)系的紐帶.9、幾個(gè)常用長(zhǎng)度的計(jì)算方法：注1：注2：注3：二、三角形中常見恒等式1、證明：2、3、4、5、6、7、8、9、證明：10、11、12、13、證明

11、：14、15、證明1：證明2：16、證明：證明：證明：證明1：證明2：證明3：證明：以上24個(gè)恒等式是三角形中的一些最基本，最常用的恒等式，其中許多均有相似性，有些還是等式鏈，如：，大家可以自行總結(jié)、歸納、使之有條理，更易于理解、記憶和應(yīng)用.也可以自己收錄一些恒等式.一些三角形內(nèi)的恒等變形問(wèn)題的求解解決三角形內(nèi)恒等變形問(wèn)題要時(shí)刻注意隱含條件及其上述的一些基本定理，基本公式的靈活應(yīng)用.例1、在中，已知求的值.分析：考慮從三角形中的基本變換入手.解析：例2、在中，已知求這個(gè)三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)不用反三角函數(shù)表示.分析：條件有倆，由第一個(gè)聯(lián)系射影定理，可以使問(wèn)題打開.解析：例3、在中，已知求A,B,C的大小.分析：由第一個(gè)條件出發(fā)，利用三角形中的基本恒等式構(gòu)造關(guān)系并變形，轉(zhuǎn)化為一元三次方程的根的問(wèn)題.解析：例4、在中，已知，試判斷三角形的形狀.分析：利用條件判斷三角形形狀的基本思路有兩個(gè)：角化邊或者邊化角.解析1：解析2：例5、在中，假設(shè)為三邊上的高，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，試確定三角形的