離散非周期信號(hào)頻域分析

1、離散信號(hào)頻域分析、快速傅里葉變換與采樣定理一、 離散信號(hào)頻域分析（一） 周期離散方波信號(hào)頻域分析與周期模擬信號(hào)一樣，周期離散信號(hào)同樣可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)形式，并得到離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）上式可以看成周期離散信號(hào)x(n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。上式是DFS的反變換，記作IDFS并且稱(chēng)與構(gòu)成一對(duì)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)。（以上兩式中）在MTALAB中，DFS通過(guò)建立周期延拓函數(shù)語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)：function Xk=DFS(n,x,N)if N>length(x) n=0:N-1; x=x zeros(1,N-length(x);endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n

2、9;*k;WNnk=WN.nk;Xk=x*WNnk;end建立一個(gè)離散非周期方波信號(hào)通過(guò)周期延拓后所得的周期序列利用DFS計(jì)算實(shí)現(xiàn)代碼如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*8,abs(X) abs(X) abs(X),'-');hold on;stem(-4:7,abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1),'LineWidth',2);grid;fig

3、ure(2);plot(-1023:2048)/2048*16,abs(X) abs(X) abs(X),'-');hold on;stem(-8:15,abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2),'LineWidth',2);grid;set(gcf,'color','w');運(yùn)行后得到的是分別以4和8為周期延拓后的頻譜：即第一幅圖表示的是周期序列 的頻譜，第二幅圖表示的是周期序列的頻譜。兩圖中的包絡(luò)線表示的是通過(guò)快速傅里葉變換（FFT）所得到的頻譜線。（二）非周期離散方波信號(hào)頻域分析對(duì)于非周期離散方波信號(hào)，可采用離散

4、時(shí)間傅里葉變換DTFT進(jìn)行分析。上式為離散時(shí)間信號(hào)x(n)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）。上式為的離散時(shí)間傅里葉反變換（IDTFT）。由于：所以序列x(n)絕對(duì)可和，意味著DTFT存在，而非穩(wěn)定序列（比如周期序列）不滿足絕對(duì)可和條件，所以其DTFT不存在。在MTALAB中，DTFT可以用以下語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)：w=-3*pi:0.01:3*pi;K=length(w);X=x*exp(-j*n'*w*K);建立一個(gè)離散非周期方波信號(hào)的離散傅里葉變換利用DTFT計(jì)算實(shí)現(xiàn)代碼如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);w=-3*pi:0.01:3*pi

5、;X=x*exp(-j*n'*w);figure(1);plot(w/pi,abs(X);grid;figure(2);plot(w/pi,angle(X);grid;set(gcf,'color','w');運(yùn)行后分別得到該離散非周期方波信號(hào)的幅頻特性與相頻特性：幅頻特性相頻特性（三） 兩種變換DFS的DTFT的性質(zhì)DFS主要具有如下性質(zhì)：1. 線性性質(zhì)2. 周期卷積性質(zhì)3. 復(fù)共軛4. 帕斯瓦爾定理DTFT同連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換相似，具有如下性質(zhì)：1. 線性性質(zhì)2. 時(shí)域頻域平移性質(zhì)3. 時(shí)間翻轉(zhuǎn)性質(zhì)4. 共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)5. 時(shí)域頻域卷積性質(zhì)6. 調(diào)

6、制性質(zhì)7. 頻域微分性質(zhì)8. 帕斯瓦爾定理從DTFT的推導(dǎo)過(guò)程，說(shuō)明DTFT是DFS當(dāng)?shù)臉O限情況。共同點(diǎn)：在時(shí)域都是離散的，在頻域都是以為周期，周而復(fù)始。不同點(diǎn)：離散時(shí)間周期信號(hào)頻譜是離散的，具有諧波性，是諧波復(fù)振幅，適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。而離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻譜則是連續(xù)的，不具有諧波性， 表示的是諧波密度，是連續(xù)變量的函數(shù)，所以不便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析計(jì)算。（四） 離散傅里葉變換（DFT）由于DTFT不便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，所以需要建立一種時(shí)域和頻域都是離散的傅里葉變換對(duì)，這就是離散傅里葉變換（DFT）上式為離散時(shí)間非周期信號(hào)的離散傅里葉變換（DFT）上式為DFT的反變換，記作IDFT。和稱(chēng)為離散傅

7、里葉變換（DFT）對(duì)。在MTALAB中，DFT通過(guò)建立函數(shù)實(shí)現(xiàn)：function Xk=DFT(n,x,N)if N>length(x) n=0:N-1; x=x zeros(1,N-length(x);endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.nk;Xk=x*WNnk;End建立一個(gè)離散非周期方波信號(hào)的離散傅里葉變換利用DFT計(jì)算實(shí)現(xiàn)代碼如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);X=fft(x,1024);Xk2=DFT(n,x,16);figure(1);plot(-1023:20

8、48)/2048*32,abs(X) abs(X) abs(X),'-');hold on;stem(-16:31,abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2),'LineWidth',2);grid;figure(2);plot(-1023:2048)/2048*32,angle(X) angle(X) angle(X),'-');hold on;stem(-16:31,angle(Xk2) angle(Xk2) angle(Xk2),'LineWidth',2);grid;set(gcf,'color'

9、,'w');運(yùn)行后分別得到該離散非周期方波信號(hào)的幅頻特性與相頻特性：幅頻特性相頻特性?xún)蓤D中的包絡(luò)線表示的是通過(guò)快速傅里葉變換（FFT）所得到的頻譜線。離散傅里葉變換是傅里葉變換在時(shí)域、頻域均離散化的形式，因而與其他傅里葉變換有著相似的性質(zhì)。但是它又是從傅里葉級(jí)數(shù)派生而來(lái)的，所以又具有一些與其他傅里葉變換不同的特性，最主要的是圓周位移性質(zhì)和圓周卷積性質(zhì)。二、 快速傅里葉變換（FFT）快速傅里葉變換，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT，是計(jì)算DFT的快速算法，習(xí)慣上是指以庫(kù)利和圖基算法為基礎(chǔ)的一類(lèi)高效算法。根據(jù)快速傅里葉變換基本思路以及基2FFT算法，在MTALAB中，F(xiàn)FT通過(guò)建立函數(shù)實(shí)現(xiàn)：functi

10、on y=fft(x)m=nextpow2(x); N=2m;if length(x)<Nx=x,zeros(1,N-length(x); endnxd=bin2dec(fliplr(dec2bin(1:N-1,m)+1;y=x(nxd); for mm=1:m Nmr=2mm; u=1;WN=exp(-i*2*pi/Nmr); for j=1:Nmr/2 for k=j:Nmr:N kp=k+Nmr/2; t=y(kp)*u; y(kp)=y(k)-t; y(k)=y(k)+t; end u=u*WN; end end建立一個(gè)離散非周期方波信號(hào)的快速傅里葉變換利用FFT計(jì)算實(shí)現(xiàn)代碼如下

11、：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);fx=fft(x,512);z=abs(fx);k=0:length(z)-1;plot(k,z);運(yùn)行后得到該離散非周期方波信號(hào)的幅頻特性：分別利用FFT和DFT進(jìn)行相同運(yùn)算：clear all;close all;clc;K=input('K=');N=2K;n=0:N-1;x=randn(1,2K);tic,X=fft(x,N),toctic,X=DFT(n,x,N),toc運(yùn)行結(jié)果如下： Columns 1 through 4069Elapsed time is 0.218536 seconds.

12、 Columns 1 through 4069Elapsed time is 16.726921 seconds.由此可見(jiàn)，采用DFT計(jì)算時(shí)間為16.726921秒，而采用FFT計(jì)算只需要0.218536秒；說(shuō)明，F(xiàn)FT在計(jì)算速度上，明顯優(yōu)于其他算法。三、采樣定理（一）時(shí)域采樣定理為了驗(yàn)證時(shí)域采樣定理，可以把原始采樣序列每隔D-1點(diǎn)取一個(gè)值，形成一個(gè)新的序列。在MATLAB中，通過(guò)以下程序?qū)崿F(xiàn)：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);D=2;xd=x(1:D:length(x);fx=fft(x,512);fxd=fft(xd,512);z=abs(fx);s=

13、abs(fxd);k=0:length(z)-1;plot(k,s,k,z);D=2時(shí)得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。D=3時(shí)得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。 D=4時(shí)得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。D=0.5時(shí)得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。由此可見(jiàn)，采樣周期在D大于2的范圍內(nèi)，出現(xiàn)明顯的混疊現(xiàn)象，有失真產(chǎn)生，而在小于1的范圍內(nèi)，采樣過(guò)于密集，增加運(yùn)算系統(tǒng)負(fù)擔(dān)。因此，可驗(yàn)證時(shí)域采樣定理。（二）頻域采樣定理為了驗(yàn)證頻域采樣定理，可以把原始采樣序列每隔D-1點(diǎn)取一個(gè)值，形成一個(gè)新的序列。在MATLAB中，通過(guò)以下程序?qū)崿F(xiàn)：clear all;close all;clc;x=-10:0.001:1