高中數(shù)學：12余弦定理2課件必修五

1、1.2. 1.2. 余弦定理余弦定理 （2 2）知知 識識 改改 變變 命命 運運, ,勤勤 奮奮 成成 就就 未未 來來. . 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。abccbacos2222baccabcos2222cabbaccos2222余弦定理余弦定理222222222coscoscos222bcaacbabcabcbcacab公式變形：公式變形：課前復習課前復習例例1.在長江某渡口處，江水以在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江的速度向東流，一渡船

2、在江南岸的南岸的a碼頭出發(fā)預定要在碼頭出發(fā)預定要在0.1h后到達江北岸的后到達江北岸的b碼頭（如圖），碼頭（如圖），設設 為正北方向，已知為正北方向，已知b碼頭在碼頭在a碼頭的北偏東碼頭的北偏東 ， 并與并與a碼頭相距碼頭相距1.2km,該渡船應按什么方向航行？該渡船應按什么方向航行？速度是多少（角度精確到速度是多少（角度精確到 ，速度精確到，速度精確到0.1km/h ）？）？an150.1acdbn15解：船按解：船按 方向開出，方向開出， 方向為水流方向，方向為水流方向，adac以以ac為一邊，為一邊，ab為對角線作平行四邊形為對角線作平行四邊形abcd,其中其中,ab=1.2km,ac=

3、50.1=0.5kmabc在中，由余弦定理，得2221.20.52 1.2 0.5cos 90150.33bc 1.171.170.111.7/adbckmkm h船的速度為abc 在中，由正弦定理，得159.4dandabnababc sin0.5sin75sin1.170.4128 24.4acbacabcbcabc例例1.在長江某渡口處，江水以在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江的速度向東流，一渡船在江南岸的南岸的a碼頭出發(fā)預定要在碼頭出發(fā)預定要在0.1h后到達江北岸的后到達江北岸的b碼頭（如圖），碼頭（如圖），設設 為正北方向，已知為正北方向，已知b碼頭在碼頭在a碼

4、頭的北偏東碼頭的北偏東 ， 并與并與a碼頭相距碼頭相距1.2km,該渡船應按什么方向航行？該渡船應按什么方向航行？速度是多少（角度精確到速度是多少（角度精確到 ，速度精確到，速度精確到0.1km/h ）？）？an150.1acdbn159.411.7/km h答：渡船應按北偏西的方向， 并以的速度航行.2. sin2sincosabcabc例在中，已知，.試判斷該三角形的形狀222sin,cossin2aaabccbbab解：由正弦定理和余弦定理，得 222 22aabcbab22bc整理，得 0,0bcbcabc 為等腰三角形思考：想想看有無其它的方法？思考：想想看有無其它的方法？變式訓練：

5、變式訓練： 在在abc中，若中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，試判斷三角形的形狀。，試判斷三角形的形狀。解：由正弦定理，解：由正弦定理，r為為abc的外接圓半徑，將原式化為的外接圓半徑，將原式化為2sinsinsinabcrabc4r2sin2bsin2c+4r2sin2csin2b =8r2sinbsinccosbcosc， 所以所以8r2sin2bsin2c=8r2sinbsinccosbcosc， 因為因為sinbsinc0，所以，所以sinbsinc=cosbcosc， 即即cos(b+c)=0， 從而從而b+c=90，a=90，故故abc為直角三角形。為直

6、角三角形。 解解2：將已知等式變形為：將已知等式變形為b2(1cos2c)+c2(1cos2b)=2bccosbcosc，由余弦定理得由余弦定理得變式訓練：變式訓練： 在在abc中，若中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，試判斷三角形的形狀。，試判斷三角形的形狀。222222222222()()22abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab即得，即得， 2222222222()()4abcacbbca得得b2+c2=a2，故故abc是直角三角形。是直角三角形。 變式訓練：變式訓練： 在在abc中，若中，若b2sin2c+c2sin2b=2bc

7、cosbcosc，試判斷三角形的形狀。，試判斷三角形的形狀。2223. 12-2amabcbcamabacbc例如圖，為中邊上的中線，求證：bac22212-2amabacbc,180ambamc證明：設則222 2cosambabambmam mb在中，由余弦定理，得222 2cos 180amcacammcam mc在中，由余弦定理，得1cos 180cos ,2mbmcbc 2222122abacambc變式訓練變式訓練： 試用余弦定理證明平行四邊形的試用余弦定理證明平行四邊形的兩條對角線平方的和等于四邊平方的和兩條對角線平方的和等于四邊平方的和. a b c d例例4. abc中，中，

8、（1）若）若 求求a；（2）若）若 求最大的內(nèi)角。求最大的內(nèi)角。 sin:sin:sin( 31):( 31): 10abc 222sinsinsinsinsinabcbc解：（解：（1）由正弦定理得）由正弦定理得a2=b2+c2+bc， 即即b2+c2a2=bc，所以，所以2221cos,22bcaabc 故故a=120； 解：（解：（2）因為，）因為， 所以所以c為最大角，為最大角，313110 設設a=( 1)k，b=( +1)k，c=10k，33222222222( 31)( 31)10cos22( 31)( 31)abckkkcabk12 故最大內(nèi)角故最大內(nèi)角c為為120.例例4. abc中，中，（1）若）若 求求a；（2）若）若 求最大的內(nèi)角。求最大的內(nèi)角。 sin:sin:sin( 31):( 31): 10abc 222sinsinsinsinsinabcbc6. 在在abc中，中，4 3,2 3,abacadbc已知為邊上的中線，30 ,.badbc且求的長abcd4 32 3