函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)單調(diào)性概念， 掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法， 會證明一些簡單函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性。 函數(shù)單調(diào)性的概念與判斷 1. 情境: 第 2.1.1 開頭的第三個問題中， =f(t) 2. 問題: 說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是升高的? 怎樣用數(shù)學語言刻畫“隨著時間的增大氣溫逐步升高” 這一特征? 1: 觀察下列函數(shù)的圖象(如圖 1)， 指出圖象變化的趨勢. 觀察得到: 隨著 x 值的增大， 函數(shù)的函數(shù)圖象有的呈逐漸上升的趨勢， 有的呈逐漸下降的趨勢， 有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢， 在另一區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢. 2: 你能明確說出“圖象呈逐漸上升趨勢” 的意思嗎? 討論得到: 在某一區(qū)間

2、內(nèi)， 當 x 的值增大時， 函數(shù)值 y 也增大Û圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢; 當 x 的值增大時， 函數(shù)值 y 反而減小Û圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。 函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性。 3如何用數(shù)學語言來準確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢? 例如， 怎樣表述在區(qū)間(0， +¥) 上當 x 的值增大時， 函數(shù) y 的值也增大? 能不能說， 由于 x=1 時， y=3; x=2 時， y=5 就說隨著 x 的增大， 函數(shù)值 y 也隨著增大? 能不能說， 由于 x=1， 2， 3， 4， 5， 時， 相應(yīng)地 y=3， 5， 7， 9， 就說隨著 x 的增大， 函數(shù)值 y 也隨著增大?

3、 (1) y x O y=2x+1， xR 圖 1 (2) yxOy=(x-1)2-1， -11 2 (4) y 10 xO -2 y=f(x)， x0， 241 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 2 4 6 8 yx Oy=1x， x(0,+) 1 (3) 1 答案是否定的。 例如函數(shù) y=(x-1)2-1(xR)， 當 x=1， 2， 3， 4， 5， 時， 相應(yīng)地 y=-1， 0， 3，8， 15， ， 就不能說隨著 x 的增大， 函數(shù)值 y 也隨著增大. 這是因為 x=-1 時， y=3， 就自變量的值而言， -11， 而相應(yīng)的函數(shù)值卻有 3-1， 即 y

4、 不是隨著 x 的增大而增大. 通過討論， 結(jié)合圖(2) 給出 f(x)在區(qū)間 I 上是單調(diào)增函數(shù)的定義。 從圖 1 中可以看出: 函數(shù) y=2x+1(xR) 的單調(diào)增區(qū)間是(-¥， +¥); 函數(shù) y=(x-1)2-1(xÎR) 的單調(diào)增區(qū)間是1， + )¥ ; 氣溫曲線所表示的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是4， 14。 問題 4: 如何定義單調(diào)減函數(shù)? (結(jié)合圖(3) 敘述) (學生討論回答) 從圖 1 中可以看出: 函數(shù) y=(x-1)氣溫曲線所表示的函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是0， 4， 14， 24。 如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么就說函

5、數(shù) y=f(x)在這個區(qū)間上具， 這個區(qū)間就叫做函數(shù) y=f(x)的如函數(shù) y=2x+1(xR)的單調(diào)區(qū)間是(-¥， +¥)， 函數(shù) y=(x-1)2-1(xÎR) 的單調(diào)減區(qū)間是(-¥， 1; 有。 2-1(xÎR) 的單調(diào)區(qū)間是(-¥， 1和1， + )¥ ， 氣溫曲線所表示的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是0， 4， 4， 14， 14， 24。 1 1 作出下列函數(shù)的圖象， 并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1) y=-x 2+2; (2) y=1x(x0). 解 (1) 函數(shù) y=-x2+2 的圖像如圖 4(1) 所示， 單調(diào)減區(qū)間為(-

6、， 0， 單調(diào)減區(qū)間為0， +. (2) 函數(shù) y=1x(x0)的圖像如圖 4(2) 所示， (-， 0)和(0， +)是兩個單調(diào)減區(qū)間. y y=x2 + 12 圖 2y y=f(x) f(x1) f(x2) x 圖 3 y x y=f(x) f(x1) f(x2) o 1 y x y=x3 圖-2 (2)yxOy = 1x (x0)-11圖 4 (1) xO 1 1 提問: 能不能說， 函數(shù) y=1x(x0)在定義域(-， 0) U (0， +)上是單調(diào)減函數(shù)? 引導討論， 從圖象上觀察或取特殊值代入驗證否定結(jié)論。(如取 x1=-1,x2=21). 2觀察下列函數(shù)的圖象(如圖 5)， 并指出它們是否為定義域上的增函數(shù): y y=(x-1)2 學生總結(jié): 函數(shù) y=(x-1)2與 y=|x-1|-1 的圖象在 x1 時隨著 x 值的增大而上升， 在x1 時隨著 x 的值的增大而下降. 所以， 這兩個函數(shù)在定義域上不是增函數(shù). 1-1 在區(qū)間(-， 0)上是增函數(shù). 3 證明函數(shù) f(x)=-x證明 設(shè) x1x20， 則 x1-x20 且 x1x20. 因為 f(x1)-f(x2)=(-11x-1) -(-21x-1) =21x-11x=2121xxxx -0， 即 f(x1)f(x2)， 所以， 函數(shù) f(x)=-x1-1 在區(qū)間(-，