數(shù)理方程與特殊函數(shù)12格林函數(shù)ppt課件

1、1/14第六章2、4付里葉變換回想付里葉變換回想泊松方程的根本解泊松方程的根本解高斯公式與格林公式高斯公式與格林公式積分表達(dá)式與格林函數(shù)積分表達(dá)式與格林函數(shù)2/14正變換正變換: defxfxi )(21)(dxexffxi )()(逆變換逆變換: 核函數(shù)核函數(shù):xjexk ),(1核函數(shù)核函數(shù):xjexk 21),(2 1 j其中其中:付里葉變換公式付里葉變換公式3/14付里葉變換的常規(guī)習(xí)題分類付里葉變換的常規(guī)習(xí)題分類第第I類：利用公式證明付里葉變換性質(zhì)；類：利用公式證明付里葉變換性質(zhì)；第第II類：直接積分求象或原象；類：直接積分求象或原象；第第III類：利用特殊積分求象或原象類：利用特殊積

2、分求象或原象 cdxecx/2 一個常用積分公式一個常用積分公式 c 0 dxeIcx2證證 令令 dyeIcy2 020)(2222drreddxdyeIcryxc cceccr 21221202cI/ 4/14習(xí)題習(xí)題5.1第第3題題(2) 求求 的付氏變換的付氏變換)exp()(2xxf 解解:利用定義利用定義 dxedxeexfFxixxix)(22)( 對二次多項式配方對二次多項式配方2222224)2()2()2( ixiixxix所以所以 dxeexfFix22)2(4)( 4422/ ee5/14例例3 3 用付氏變換求解用付氏變換求解0 yxy由由 得得)()( fixfF

3、dxexffixi )()( dxexfixfiddxi )()()()()()( fffddxfxF 對方程對方程 作付里葉變換作付里葉變換, , 得得0 yxy0)(2 yyyi 2211 eCy deeCyxi221112yy)1(2 6/14二維泊松問題根本解二維泊松問題根本解:),(yxu 2221)(1 urrurrru 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下思索對稱情況思索對稱情況 有有0 u),()(1yxrurrr 在半徑為在半徑為 r 的圓域內(nèi)對兩端積分的圓域內(nèi)對兩端積分1)(020 rdud 12 rur rru 21 ru1ln21 7/14三維泊松問題根本解三維泊松問題根本解:),

4、(zyxu ururrurrru222222sin1)(sinsin1)(1),()(122zyxrurrr 在半徑為在半徑為 r 的球域內(nèi)對兩端積分的球域內(nèi)對兩端積分思索球?qū)ΨQ情況思索球?qū)ΨQ情況 有有0 u0 u1)(sin02020 rdudd 142 rur 241rru ru141 8/14 SVzyxRdxdyQdzdxPdydzdxdydzRQP)(高斯公式高斯公式RkQjPiA 記記kzjyix dSAAdxdydzV取取vuA vuvuvuA )(第一格林公式第一格林公式 dSvuvdxdydzuvdxdydzuVV取取uvA dSuvvdxdydzuudxdydzvVV9/1

5、4第二格林公式第二格林公式 dSuvvudxdydzuvvuV)()(dsuuudSuzyx)coscoscos( dsnu dsnuvnvudxdydzuvvuV)()(取取202020)()()(110zzyyxxrvMM 0 v當(dāng)當(dāng)0MM 時時, 有有10/14第三格林公式第三格林公式 VMMMMMMudxdydzrdsrnunurMu000141)1(141)(0 當(dāng)當(dāng)fu 得積分表達(dá)式得積分表達(dá)式 VMMMMMMfdxdydzrdsrnunurMu000141)1(141)(0 ( I )11/14重新思索第二格林公式重新思索第二格林公式0 vfu 假設(shè)假設(shè) dsnuvnvudxdy

6、dzuvvuV)()(0)( Vvfdxdydzdsnvunuv VMMMMMMfdxdydzvrdsvrnunuvrMu)41()41()41()(0000 結(jié)合積分表達(dá)式結(jié)合積分表達(dá)式(I)，得，得12/14vrMMGMM 041),(0 記記0 v假設(shè)假設(shè)在邊境上在邊境上0),(0 SMMG那么有新的積分表達(dá)式那么有新的積分表達(dá)式vrMMGMM 041),(0 稱稱為格林函數(shù)為格林函數(shù) VfdxdydzMMGdsMMGnuMu),(),()(000( II )( 泊松方程狄里克雷問題的格林函數(shù)泊松方程狄里克雷問題的格林函數(shù) )13/14當(dāng)當(dāng)M在區(qū)域邊境上取值時在區(qū)域邊境上取值時, 格林函

7、數(shù)為零格林函數(shù)為零;當(dāng)當(dāng)M在區(qū)域內(nèi)變化在區(qū)域內(nèi)變化(MM0)時時, 格林函數(shù)滿足拉普拉格林函數(shù)滿足拉普拉斯方程斯方程;格林函數(shù)是兩個函數(shù)的和格林函數(shù)是兩個函數(shù)的和,第一個是根本解第一個是根本解,第二個第二個是調(diào)和函數(shù)是調(diào)和函數(shù)(對特殊區(qū)域可利用幾何方法求得對特殊區(qū)域可利用幾何方法求得).特殊區(qū)域的格林函數(shù)要用到泊松方程根本解特殊區(qū)域的格林函數(shù)要用到泊松方程根本解,二維二維根本解和三維根本解不同：根本解和三維根本解不同：二維二維:三維三維:r1ln21 22|yxMOr r141 222|zyxMOr 格林函數(shù)格林函數(shù)G(M, M0)的特點的特點:14/14思索題思索題1. 泊松方程的第一積分表達(dá)式與第二積分表達(dá)式有泊松方程的第一積分表達(dá)式與第二積分表達(dá)式有何區(qū)別；何區(qū)別；2. 泊松方程的根本解有哪