數(shù)列求和技巧與策略

1、1、2、3、4、5、數(shù)列求和的基本方法和技巧 就幾個歷屆高考數(shù)學和數(shù)學競賽試題來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法 .n(n 1) d2d(q 1)等差數(shù)列求和公式： Sn等比數(shù)列求和公式： SnSnSnSnnk k1 nk2k1nk3 k11n(n 1)216n(nn(a1 an )2 na1 a1(11)(2nna1例 1 已知 log3 x12n(n11)2解：由 log 3 xlog231nqn)1qa11anq q(q 1)，求 x1)的前 n 項和.log23 log3 xlog3 2由等比數(shù)列求和公式得S

2、nx3利用常用公式)例 2 設 Sn1+2+3+n，nN *, 求f (n)解：由等差數(shù)列求和公式得Sn f (n)(n 32)Sn 1164n 34 當 n ，即8x(1 xn)1x12(1Sn(n 32)Sn 11 n(n 1)，2n2n2 34n 64Snn8時，1( n 8 )2 50 n1這種方法是在推導等比數(shù)列的前 n a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例 3 求和： Sn解：由題可知，設 xSn得1n)2n)1 11 1 2n2的最大值 .1Sn 1 (n 1)(n 2)2150f (n)max max 50 二、錯位相減法求和 項和公式時所用的方法，這種方法主要用于

3、求數(shù)列(2n 1)xn 11 3x 5x2 7x3n1 (2n 1)xn 1 的通項是等差數(shù)列 (2n 2x3利用常用公式)a n· bn 的前 n 項和，其中1x 3x2 5x3 7x 4(1 x)Sn 1 2x 2x22n 1的通項與等比數(shù)列1)xn2x4再利用等比數(shù)列的求和公式得： (1x)Sn 的通項之積 (設制錯位) (錯位相減). 1)xn2xn 1 (2nn12x 1 xn 1 (2n 1x (2n 1)xn (1 x)1)xnn1S (2n 1)xn 1Sn2(1 x) 例 4 求數(shù)列 2, 42 , 63 , ,2nn , 前 n 項的和 .2 22 232n2n1

4、 2nn 的通項是等差數(shù)列 2n 的通項與等比數(shù)列 1n 的通項之積 2n2n4224231)Sn223解：由題可知，設 Sn2Sn22222623624得 (1Sn22212n1n2n 2n 2n 2n 1 2232n2n12n122422n2n2n設制錯位)(錯位相減 )練習：2求： Sn=1+5x+9x 2+······2解： Sn=1+5x+9x +···· 兩邊同乘以 x ，得 2+9x3+······ +(4n -3)x1-

5、x ) Sn=1+4( x+ x 2+x3+·· Sn=1+5+9+····· 1 4x(1-x n)Sn= 1-x 1-xx Sn=x+5 x- 得， 當 x=1 時，當 x 1時，這是推導等差數(shù)列的前 可以得到 n個 (a1 an). 例 5 求證： Cn0 3C1n 證明： 設 Sn Cn0n-1+(4n -3)x n-1·· +(4n -3)xn-1nx )- ( 4n-3 ) xn 項和公式時所用的方法，+2· +( 4n-3 ) =2n2 -n +1- (4n-3 )xn 三、反序相

6、加法求和 就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)nn(2n5Cn2(2n 1)C3Cn1 5Cn2把式右邊倒轉過來得Sn (2n 又由 Cnm Sn (2n+得 2Sn Sn 例 6 求 sin2 1 sin 2 2 解：設 S sin2 11)Cnn (2nnmCn1)Cn0(2n1)Cnn 1可得(nsin2 3sin 2 21)(2n2)(Cn02n1)C1nCn1sin 2 88 sin2 3將式右邊反序得2S sin 2 89 又因為 sinx +得 2S (sin 21 S 44.5 練習：已知 lg(xy)=a ，求 S， 解 : 將和式 S 中各項反序排列，得 s lg yn lg(

7、xn 1y) lg(xn 2y2) 將此和式與原和式兩邊對應相加， 2S= lg(xy) n+lg(xy)n+ · (n+1) 項sin2 88cos(90cos2 1 )(n 1)2n1)Cnn 3C1nCn03Cnn 1Cn1 nsin2 892sin2 88sin2 322 x ), sin 2 x cos2(sin 2 2 cos2 2其中 S=lg xnsin 2 21lg(xn1y)Cnn . Cnn ) 2(n 1) 2n的值2sin2 89sin21. ，再把它與原數(shù)列相加，就(反序)反序相加)(反序)反序相加)22(sin 2 89cos2 89 ) 89lg(xn

8、 2y2) ? lgyn? lg得+ lg( xy)n =n(n+1)lg(xy)1 lg( xy)=a S= 2 n(n+1)a四、分組法求和 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列， 然后分別求和，再將其合并即可 .11 例 7 求數(shù)列的前 n 項和： 1 1, 4, 2 7, aa211解：設 Sn (1 1) ( 4) ( 2 7)aa將其每一項拆開再重新組合得1n1a3n 2 ，1(a1n 1 3n 2) aSn1(1a當 a 1 時，Sn1n 1 ) (1 a(3n 1)n473n 2)(3n 1)n(分組)分組求和)當

9、a 1 時，Sn 例 8 求數(shù)列 n(n+1)(2n+1) 解：1na11a的前 n 項和 .(3n 1)n1 aa a1(3n 1)n2n Snk(kk11)(2kn1)k(2k313k2k)將其每一項拆開再重新組合得nnnSn 2k33k2kk1k1k1 2(13 233 n) 3(1222n2)(1 n2 (n 1)2 n(n1)(2n1) n(n1)k3k2設 ak k(k 1)(2k 1) 2k 322 2 2 n(n 1)2 (n 2)n)(分組)分組求和)2解：Sn112131?(n 1n)2482n? 1n)2n(123 ?1 n) (21122 23112n(n1) 12n練

10、習：求數(shù)列 11,2 1,31 ,?,(n 1n ),? ? 的前 n 項和。2 4 82n五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項 . 通項分解 (裂項) 如：通項)分解，然后重新組合，1) an3) an5) an(6) anf (n 1)1n(n 1)1f (n)2)sin1tan(n 1)tannn(n 1)(n 2)n 2 1n(n 1) 2n1n112 n(n 1) 2(n 1) nn(n 1)cosn cos(n 1)(2n)2(2n 1)(2n11)(n 2)1n 1 nnn 2n 1 (n 1)

11、2nan1)11 2 (2n2n 1)(n12n,則S1(n 1)2n11例 9 求數(shù)列 ,1解：設 an1, 的前 n 項和. n1例 10例 11解：則 Snn n 1111 2 2 3 ( 2 1)n在數(shù)列 a n 中，解：an裂項)11an(3n12n n 122 數(shù)列 b n的前 n 項和1112) (121)n1 bnSn 8(18(1求證：cos0 cos11設Scos0 cos1 sin1cosn cos(n 1)1Scos0 cos11 1 (tan 1sin11(tan 89sin1 原等式成立1 11 5，3 5，1151練習：求 3 ，1解：1312(112 (112(

12、1 9)n n 11 n)裂項求和)(n又 bnan，求數(shù)列 b n的前 n項的和 .an 1118(nnn11)111) (1338nn11cos1 cos21cos1 cos2tan(n 1)cos1 cos2裂項)14)(1nntanntan0 ) (tan2tan0 )sin1n11)裂項求和)cos88 cos891cos1sin21cos88 cos89裂項)cos88 cos89tan1 ) (tan3cos1cot1 2sin21裂項求和)tan2 ) tan 89tan88 163 之和。111 3 3 51 1 1 11) 12(15 17)11571571(1163112

13、(3 5113549179112 7 9)117935113)13) ( ) ( ) ( )1六、合并法求和將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一針對一些特殊的數(shù)列， 起先求和，然后再求 Sn.例12 求 cos1°解：設 Sn cos1°+ cos2 cosn cos(180 n ) (找特殊性質(zhì)項) Sn(cos1°+ cos179 °) +( cos2°+ cos178 °) + (cos3°+ cos177 °) +···+ cos2 &

14、#176;+ cos3 °+··· + cos178 °+ cos179 °的值 °+ cos3 °+··· + cos178 °+ cos179 ° n)合并求和）+(cos89°+ cos91 °) + cos90 0例 13 數(shù)列 a n：a11,a23,a3 2,an 2an 1an ，求 S2002.解：設 S2002 a1a2a3 a2002由a1 1, a2 3,a3 2, an 2an 1an 可得a4 1,a53, a6 2,a

15、7 1, a83, a9 2, a10 1,a113, a12 2a6k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2,a6k 41, a6k 5 3,a6k 62 a6k 1 a6k 2a6k 3a6k 4a6k 5a6k 6 0（找特殊性質(zhì)項） S2002 a1 a2 a3a2002（合并求和）(a1 a2 a3a6)(a7 a8 a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 ) a1999 a2000a2001a2002 a1999 a2000a2001a2002a6k 1a6k 2a6k 3a6k 45例 14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 9

16、,求log 3 a1 log3a2log 3 a10 的值.解：設 Sn log 3 a1 log 3 a2log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì) m npqaman apaq（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) log a MlogaNlog a M N 得Sn (log 3a1 log3 a10)(log 3 a2log3a9)(log3 a5log3a6 ） （合并求和） (log 3 a1 a10 ) (log 3a2 a9 )(log 3 a5 a6 ) log3 9 log39log3910七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析， 找出數(shù)列的通項及其特征， 然后再利用數(shù)列的通

17、項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n 項和，是一個重要的方法 .例 15 求1 11 111解：由于 111k個1 1 11 111111n個1 1 999 91之和.k個1111 1n個19 1(10k91)找通項及特征）11 (101 1)91 1 2 (101 102919(1021031)13(103 1)91(1 19n10n)1n個11(10n91)分組求和）1)1 10(10n 1)9 10109n) 1 (10n 181例 16 已知數(shù)列 a nan(n 1)(n 3),求 n解： (n 1)(a(n111)(anan 1)的值.n an 1) 8(n 1) n n 1 (n 1)(n 3) (n