曲線積分與曲面積分(解題方法歸納)

1、v1.0 可編輯可修改第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計算方法1. 曲線積分與曲面積分的計算方法歸納如下(1)利用性質(zhì)計算曲線積分和曲面積分 .(2)直接化為定積分或二重積分計算曲線或曲面積分(3)利用積分與路徑無關(guān)計算對坐標的曲線積分(4)利用格林公式計算平面閉曲線上的曲線積分(5)利用斯托克斯公式計算空間閉曲線上的曲線積分2. 在具體計算時，常用到如下一些結(jié)論：( 1)若積分曲線 L 關(guān)于 y軸對稱，則0f 對 x為奇函數(shù)L f(x, y)ds2 L f (x,y)dsL1f 對 x為偶函數(shù)0P對x為奇函數(shù)L P(x, y)dx2L P(x,y)dyP對x為偶函數(shù)0Q對x為偶函

2、數(shù)L Q(x,y)dyL1是 L 在右半平面部分 .2 L Q(x,y)dyL1Q對x為奇函數(shù)若積分曲線 L關(guān)于 x軸對稱，則0f 對 y為奇函數(shù)L f(x, y)ds2 L f (x,y)dsL1f 對 y 為偶函數(shù)0P對y為偶函數(shù)L P(x,y)dx2 L P(x, y)dyL1P對y為奇函數(shù)0Q對y為奇函數(shù)L Q(x,y)dy2 Q(x,y)dyQ對y為偶函數(shù)利用高斯公式計算閉曲面上的曲面積分 .(6)其中其中 L1是 L在上半平面部分 .11 / 14v1.0 可編輯可修改(2)若空間積分曲線 L 關(guān)于平面 y x 對稱，則f (x)ds f(y)ds.(3)若積分曲面 關(guān)于 xOy

3、面對稱，則0f 對 z為奇函數(shù)f (x,y,z)dS 2 R(x, y, z)dS f對z為偶函數(shù)10R對 z為偶函數(shù)R(x, y, z)dxdy 2 R(x, y, z)dxdy R對z為奇函數(shù)1其中 1是 在xOy面上方部分 .若積分曲面 關(guān)于 yOz 面對稱，則0f 對 x為奇函數(shù)f (x,y,z)dS 2 R(x, y, z)dS f對x為偶函數(shù)10P對 x為偶函數(shù)P(x,y,z)dydz 2 P(x,y,z)dydz P對x為奇函數(shù)1其中 1是 在 yOz面前方部分 .若積分曲面 關(guān)于 zOx面對稱，則f (x,y,z)dSf 對 y為奇函數(shù)R(x, y, z)dS f 對y為偶函數(shù)

4、Q(x, y, z)dzdxQ對y為偶函數(shù)Q(x, y, z) dzdx Q對y為奇函數(shù)其中 1是 在zOx面右方部分 .x4)若曲線弧 L: xyx(t)y(t)t ) ，則L f(x,y)dsx(t), y(t) x 2(t) y 2(t)dt ( )若曲線弧 L :r r( )(極坐標)，則L f(x, y)dsf r( )cos , r( )sinr2( ) r 2( )d22 / 14v1.0 可編輯可修改x x(t) 若空間曲線弧 : y y(t) ( t ) ，則z z(t)f ( x, y,z)dsf x(t), y(t),z(t) x2(t) y2(t) z2(t)dt (

5、)(5)若有向曲線弧 L: x x(t) (t:)，則y y(t)L P(x,y)dx Q(x, y)dy P x(t),y(t) x(t) Q x(t),y(t) y(t) dtx x(t) 若空間有向曲線弧 : y y(t) (t : ) ，則z z(t)P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x, y, z)dzP x(t),y(t),z(t) x(t) Q x(t),y(t),z(t) y (t) R x(t),y(t),z(t) z(t) dt6)若曲面 : z z(x,y) (x, y) Dxy)，則f (x,y,z)dS22x,y,z(x,y) 1 zx (x,y) zy

6、 ( x, y)dxdyDxy其中 Dxy為曲面 在 xOy面上的投影域 .若曲面 : x x(y,z)( y,z) Dyz)，則f (x,y,z)dSf x(y,z), y,z 1 xy2(y,z) xz2( y, z)dydz Dyz其中 Dyz 為曲面 在 yOz面上的投影域 .若曲面 : y y(x,z)(x,z) Dzx) ，則f (x,y,z)dSf x, y( x, z), z 1 yz2(y,z) yx2( y, z)dzdx Dzx其中 Dzx為曲面 在 zOx面上的投影域 .7)若有向曲面 : z z(x, y) ，則R(x,y,z)dxdyRx, y, z(x, y) d

7、xdy (上“ +”下“ - ”) D xy其中 Dxy為 在 xOy面上的投影區(qū)域 .33 / 14v1.0 可編輯可修改若有向曲面 :x x(y,z) ，則P(x,y,z)dydzPx(y,z), y, z dydz (前Dyz+”后“- ”)其中 Dyz 為 在 yOz面上的投影區(qū)域 .若有向曲面 : y y(x,z) ，則Q(x,y,z)dzdxQ x, y ( x , z), z dzdx (右Dzx+”左“- ”)其中 Dzx為 在 zOx面上的投影區(qū)域 .8) Pdx Qd y與路徑無關(guān) ?Pdx Qdy 0c為 D內(nèi)任一閉曲線)du(x,y) Pdx Qdy (存在 u(x,y

8、)PQyx其中 D是單連通區(qū)域， P(x, y), Q(x, y)在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù) .9)格林公式?L P(x,y)dx Q(x,y)dyQ P dxdyDxy其中 L為有界閉區(qū)域 D 的邊界曲線的正向， P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù).10)高斯公式Rdv zò(P cosQcos Rcos )dSdvòP( x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy其中 為空間有界閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，的邊界曲面的外側(cè)， P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x, y,z)在 cos ,cos ,cos 為曲面

9、 在點(x,y,z) 處的法向量的 方向余弦 .11)斯托克斯公式44 / 14v1.0 可編輯可修改dydz dzdx dxdy?Pdx Qdy RdzxyzPQR其中 為曲面 的邊界曲線，且 的方向與 的側(cè)（法向量的指向）符合右手螺旋法則， P,Q,R在包含 在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù) .1. 計算曲線積分或曲面積分的步驟：（1）計算曲線積分的步驟：1 ）判定所求曲線積分的類型（對弧長的曲線積分或?qū)ψ鴺说那€積分） ；2 ）對弧長的曲線積分，一般將其化為定積分直接計算；對坐標的曲線積分： 判斷積分是否與路徑無關(guān)， 若積分與路徑無關(guān)， 重新選取特殊路徑積分； 判斷是否滿足或添加輔助線后

10、滿足格林公式的條件， 若滿足條件， 利用 格林公式計算（添加的輔助線要減掉） ； 將其化為定積分直接計算 . 對空間曲線上的曲線積分， 判斷是否滿足斯托克斯公式的條件， 若滿足條件，利用斯托克斯公式計算；若不滿足，將其化為定積分直接計算 .（2）計算曲面積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對面積的曲面積分或?qū)ψ鴺说那娣e分） ；2 ）對面積的曲面積分，一般將其化為二重積分直接計算；對坐標的曲面積分： 判斷是否滿足或添加輔助面后滿足高斯公式的條件，若滿足條件，利用高斯公式計算（添加的輔助面要減掉） ； 將其投影到相應的坐標面上，化為二重積分直接計算 .例 1 計算曲線積分 I L dx dy

11、 2 ，其中 L 為 x y 1 取逆時針方向 .L x y xdx dydxdydxdyLx y x2L12 xL 1 x2L 1 x55 / 14v1.0 可編輯可修改1由于積分曲線 L 關(guān)于 x 軸、 y 軸均對稱，被積函數(shù) P Q 1 2 對 x 、 y 均為偶 1xdx函數(shù)，因此dyL 1 x2L 1 x2dx dyL x y x2方法技巧 對坐標的曲線積分的對稱性與對弧長的曲線積分對稱性不 同，記清楚后再使用 . 事實上，本題還可應用格林公式計算 .例2計算曲面積分I(ax by cz n)2 dS ，其中 為 球面2 2 22xyzR.解I2(ax by cz n) dS2 2

12、2 2 2 2 2(a x b y c z n 2abxy 2acxz 2bcyz 2anx 2bny 2cnz)dS由積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性知xydSxzdS yzdS xdS ydS zdS 0又由輪換對稱性知x2dSy2dSz2dSI a2 x2dSb2 y2dS2cz2dS n2 dS(a2 b2 c2)x2dS n2dS222abc3(x22y2z2)dS224 R n2 2 2a2 b2 c2 R23dS4 R2n22 R 2 2 2 24 R2R3 (a2 b2 c2) n2方法技巧 對面積的曲面積分的對稱性與對坐標的曲面積分的對稱性不同，理解起來更容易些 . 若碰到

13、積分曲面是對稱曲面，做題時可先考慮一下對稱性.66 / 14v1.0 可編輯可修改例3計算曲面積分 ò(x2y2 z2)dS ，其中為球面 x2 y2 z2 2ax解乙(x2 y2 z2)dS2axdS 2a乙(xa)dS 2a2 dS02a2 òdS 2a2g4 a2 8 a4方法技巧 積分曲面 是關(guān)于 x a 0對稱的，被積函數(shù) x a是 x a的奇函數(shù)，因此 ò(x a)dS 022例 4 計算曲線積分 ?L xy dy2 x 2ydx ，其中 L 為圓周 x2 y2 a2 (a 0) 的逆 Lx2 y2時針方向 .解法 1 直接計算. 將積分曲線 L 表示

14、為參數(shù)方程形式x acosL:2)( :0y asin代入被積函數(shù)中得22xy dy x ydx0 cos sin2cos2 cossin( sin)d3 2 2 22a sin cos d02a302sin(1 sin2)d3 2 2 48a 2 (sin sin )d8a31g2231g42a3解法 2利用格林公式22xy dy x ydx 蜒Lxy dy x ydx22y1a L xy2dyaLydxaD(x2y 2 )dxdy其中 D : x2y2 a 2，故22xy dy x ydx 1 2?L2 2 a 0x y a2g da3方法技巧 本題解法 1 用到了定積分的積分公式：77

15、/ 14v1.0 可編輯可修改02 sinn dn為奇數(shù)n為偶數(shù)解法 2 中，一定要先將積分曲線 x y a 代入被積函數(shù)的分母中， 才能應用格林公式，否則不滿足 P,Q在 D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)的條件例 5 計算曲線積分(x y)dx (x y)dy L22 xy，其中 L 為沿ycosx 由點A( , )到點 B() 的曲線弧 .解 直接計算比較困難 .由于 Px2 y2 , Q2x y2x y x y22x y 2xy2 2 2(x2 y2 )2因此在不包含原點 O(0,0) 的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān) .取圓周 x2y2 22 上從 A(, ) 到點 B() 的弧段 L 代替原弧段

16、L ，其參數(shù)方程為：xL:ycos(:sin5 ) ，代入被積函數(shù)中得4(x y)dx (xLy)dy22xy122L(xy)dx(xy)dy方法技巧證不經(jīng)過坐標原點 .54 (cos454d4sin )( sin ) (cos sin )cos d本題的關(guān)鍵是選取積分弧段 L ，既要保證 L 簡單，又要保例 6 計算曲面積分 xdydz ydzdx zdxdy，其中 為 x y z 1 的法向量與各坐標軸正向夾銳角的側(cè)面解 由于曲面 具有輪換對稱性， xdydz ydzdx zdxdy ， 投影到xOy 面的區(qū)域 Dxy (x,y) x y 1 ，故88 / 14v1.0 可編輯可修改xdy

17、dz ydzdx zdxdy 3 zdxdy 3 (1 x y )2 dxdy3 (1 x y)2dxdy 3 0dx 0 (1 x y)2dy 21 0(1 x)4dxDxy 201t 1 xt4(1 t)dt1 30方法技巧 由于積分曲面 具有輪換對稱性，因此可以將 dydz, dzdx直接轉(zhuǎn)換為 dxdy ， 只要投影到 xOy 面即可 .例 7 計算曲面積分 (x y 2 )dydz (y z2)dzdx (z x2 )dxdy，其中 為錐 面z2 x2 y2在0 z h部分的上側(cè) .解 利用高斯公式 . 添加輔助面 1 :z h (x2 y2 h2) ，取下側(cè)，則222(x y )d

18、ydz (y z )dzdx (z x )dxdy2 2 2(x y )dydz (y z )dzdx (z x )dxdy12 2 2(x y )dydz (y z )dzdx (z x )dxdy 1223dxdydz (h x )dxdy 3 dxdydz (h x )dxdy1Dxy其中 為 和 1 圍成的空間圓錐區(qū)域，Dxy 為 投影到 xOy 面的區(qū)域，即Dxy (x, y) x2 y2 h2 ，由 Dxy 的輪換對稱性，有x2dxdy(x2y2 )dxdyxyxy2 2 2(x y )dydz (y z )dzdx (z x )dxdy2h gh h dxdy Dxy2D(x2y

19、2 )dxdyxyh3 hg h2 1 d 3d2 0 0h4方法技巧 添加輔助面時，既要滿足封閉性，又要滿足對側(cè)的要求 . 本題由于積分錐面取上側(cè)(內(nèi)側(cè)) ，因此添加的平面要取下側(cè)，這樣才能保證封閉99 / 14v1.0 可編輯可修改曲面取內(nèi)側(cè)，使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時，前面要添加負號例 8 計算曲線積分 ? (z y)dx (x z)dy (x y)dz，其中 L:22xyxyz從 z 軸的正向往負向看， L 的方向是順時針方向 .解 應用斯托克斯公式計算2:x y z 2 (x1)取下側(cè)，xOy 面的投影區(qū)域為 Dxy(x,y) x2 y21 ，則dydzdzdxdxdy?L (z

20、y)dx(x z)dy (x y)dzzyyxzxy2dxdy2Dxydxdy 2方法技巧本題用斯托克斯公式計算比直接寫出曲線L 的參數(shù)方程代入要簡單，所有應用斯托克斯公式的題目，曲面 的選取都是關(guān)鍵， 既要簡單， 又要滿足斯托克斯的條件，需要大家多加練習、曲線積分與曲面積分的物理應用1. 曲線積分與曲面積分的物理應用歸納如下(1) 曲線或曲面形物體的質(zhì)量(2) 曲線或曲面的質(zhì)心(形心)(3) 曲線或曲面的轉(zhuǎn)動慣量 .(4) 變力沿曲線所作的功 .(5) 矢量場沿有向曲面的通量(6) 散度和旋度 .2. 在具體計算時，常用到如下一些結(jié)論：1)平面曲線形物體ML (x,y)ds空間曲線形物體ML

21、 (x, y, z)ds曲面形構(gòu)件M(x,y,z)dS1010 / 14v1.0 可編輯可修改2) 質(zhì)心坐標平面曲線形物體的質(zhì)心坐標：L x (x, y)ds xLL (x,y)dsL y (x, y)dsL (x,y)ds空間曲線形物體的質(zhì)心坐標：L x (x, y, z) dsL (x,y)dsL y (x,y,z)dsL (x, y) dszLL (x, y)ds( x, y, z)ds曲面形物體的質(zhì)心坐標：x (x,y,z)dSy (x,y,z)dSz (x,y,z)dS(x, y,z)dS(x,y,z)dS(x, y, z)dS當密度均勻時，質(zhì)心也稱為形心3) 轉(zhuǎn)動慣量平面曲線形物體

22、的轉(zhuǎn)動慣量：L y2 (x, y)ds ,IyL x2 (x,y)ds空間曲線形物體的轉(zhuǎn)動慣量：22xL (y z ) (x,y,z)ds22I y L(z x ) ( x, y,z)ds22Iz L(x2 y2) (x,y,z)ds曲面形物體的轉(zhuǎn)動慣量：2 2 2 2Ix(y2 z2) (x, y, z)dS , Iy(z2 x2) (x,y,z)dS22Iz(x2 y2) (x, y, z)dS其中 (x,y) 和 ( x, y, z)分別為平面物體的密度和空間物體的密度 .(4) 變力沿曲線所作的功平面上質(zhì)點在力 F P(x,y) i+Q(x,y) j作用下，沿有向曲線弧 L從 A點運動

23、 到 B 點， F 所做的功W ?ABP(x,y)dx Q(x,y)dy空間質(zhì)點在力 F P(x,y,z)i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k作用下，沿有向曲線1111 / 14v1.0 可編輯可修改弧 L 從 A 點運動到 B 點， F 所做的功W ?ABP(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x, y, z)dz(2) 矢量場沿有向曲面的通量矢量場 A P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j +R(x,y,z) k 通過有向曲面 指定側(cè)的通P(x,y,z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy3) 散度和旋度矢量場 A P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k的散度div APQRxyz矢量場 A P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k的旋度rot A(RQP Q) i ( P zzRx) j+( Qxxx)kxyzPQR1. 曲線積分或曲面積分應用題的計算步驟：1)根據(jù)所求物理量，代入相應的公式中；2)例9計算曲線積分或曲面積分 .設(shè)質(zhì)點在場力 F k2 y, x 的作用下，沿曲線 L:y cosx 由 A(0, )y2 ,k 為常數(shù))移動到 B( ,0) ，求場力所做的功 . (其中 r x2 解 積分曲線 L 如圖所示 . 場力所做的功為W?ABP(x,y)dx