6.3等比數(shù)列前n項(xiàng)的和

1、1等比數(shù)列的定義一般地，假如一個數(shù)列從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)ana1·qn1.3等比中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam·qnm(n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等

2、比數(shù)列5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn.6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_qn_.【思考辨析】判定下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)滿意an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列(×)(2)G為a，b的等比中項(xiàng)G2ab.(×)(3)假如數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列(×)(4)假如數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列(

3、15;)(5)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anan，則其前n項(xiàng)和為Sn.(×)(6)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列(×)1已知等比數(shù)列an滿意a13，a1a3a521，則a3a5a7_.答案42解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍往)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142.2等差數(shù)列an的公差為3，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則a4_.答案12解析令首項(xiàng)為a，依據(jù)已知條件有(a9)2(a3)·(a21)解得a3，所以a433×312.3等比數(shù)列

4、an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和等于_答案4解析數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a1·a8)4lg(a4·a5)4lg(2×5)44.4(2015·安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于_答案2n1解析由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a11，a48，從而a1q38，q2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n1.5在9與243中間插進(jìn)兩個數(shù)，使它們

5、同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_答案27,81解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插進(jìn)的兩個數(shù)分別為9×327,27×381.題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和已知a2a41，S37，則S5_.(2)在等比數(shù)列an中，若a4a26，a5a115，則a3_.答案(1)(2)4或4解析(1)明顯公比q1，由題意得解得或(舍往)，S5.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，則兩式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.思維升華等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一

6、類基本沖突，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解(1)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，an1an，a2·a86，a4a65，則_.(2)(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.答案(1)(2)3n1解析(1)設(shè)公比為q，則由題意知0q1，由得a43，a62，所以.(2)由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比數(shù)列通項(xiàng)ana1qn13n1.題型二等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2

7、.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1 (n2)，an12an2(an2an1) (n2)bnan12an，bn2bn1 (n2)，故bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan12an3·2n1，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列(n1)·，故an(3n1)·2n2.引申探究例2中“Sn14an2”改為“Sn12Sn(n1)”，其他條件不變探求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由已知得n2時，Sn2Sn1n.Sn

8、1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，又a11，當(dāng)n1時上式也成立，故an1是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，an12·2n12n，an2n1.思維升華(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可(2)利用遞推關(guān)系時要留意對n1時的狀況進(jìn)行驗(yàn)證設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n1時，a12

9、5;12；當(dāng)n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當(dāng)n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.綜上，a24，a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3(1)在等比數(shù)列an中，各項(xiàng)均為正值，且a6a10a3a541，a4a85，則a4a8_.(2)等比數(shù)

10、列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn，若，則公比q_.答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.由于a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412×551.又an>0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q±1，則可得.由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10S5，S15S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5，q.思維升華(1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算沖突中，一般利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，建立方程組求解，但假如能機(jī)敏運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若mnpq，則有amanapaq”，可以削減運(yùn)算量(2)等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成

11、的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，公比為qk(q1)(1)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a92a，a22，則a1_.(2)等比數(shù)列an共有奇數(shù)項(xiàng)，全部奇數(shù)項(xiàng)和S奇255，全部偶數(shù)項(xiàng)和S偶126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1_.答案(1)(2)3解析(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9a2a，q0，a6a5，q，a1.(2)設(shè)等比數(shù)列an共有2k1(kN*)項(xiàng)，則a2k1192，則S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255，解得q2，而S奇255，解得a13.12分類爭辯熟悉在等比數(shù)列中的應(yīng)用典例(14分)已知首項(xiàng)為

12、的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：Sn(nN*)思維點(diǎn)撥(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式；(2)求出前n項(xiàng)和，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明整頓解答(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由于2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an×n1(1)n1·.4分(2)證明由(1)知，Sn1n，Sn1n8分當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1.10分當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而

13、減小，所以SnS2.12分故對于nN*，有Sn.14分溫馨提示(1)分類爭辯熟悉在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見的分類爭辯有已知Sn與an的關(guān)系，要分n1，n2兩種狀況等比數(shù)列中遇到求和沖突要分公比q1，q1爭辯項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)爭辯等比數(shù)列的單調(diào)性的判定留意與a1，q的取值的爭辯(2)數(shù)列與函數(shù)有親熱的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，可以利用圖象或者數(shù)列的增減性求解，同時留意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)分方法與技巧1已知等比數(shù)列an(1)數(shù)列c·an(c0)，|an|，a，也是等比數(shù)列(2)a1ana2an1amanm1.2判定數(shù)列為等比數(shù)列的方法(1)定義法：

14、q(q是不等于0的常數(shù)，nN*)數(shù)列an是等比數(shù)列；也可用q(q是不等于0的常數(shù)，nN*，n2)數(shù)列an是等比數(shù)列二者的本質(zhì)是相同的，其區(qū)分只是n的初始值不同(2)等比中項(xiàng)法：aanan2(anan20，nN*)數(shù)列an是等比數(shù)列失誤與防范1非凡留意q1時，Snna1這一非凡狀況2由an1qan，q0，并不能馬上斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.3在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，必需留意對q1與q1分類爭辯，防止因忽視q1這一非凡情形而導(dǎo)致解題失誤4等比數(shù)列性質(zhì)中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列，不能忽視條件q1.A組專項(xiàng)前提練習(xí)(時間：40分鐘)1設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn

15、，若S1a2，S2a3，則公比q_.答案4解析S1a2，S2a3，解得或(舍往)，故所求的公比q4.2等比數(shù)列an滿意an0，nN*，且a3·a2n322n(n2)，則當(dāng)n1時，log2a1log2a2log2a2n1_.答案n(2n1)解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3·a2n3a22n，從而得an2n.log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)·(a2a2n2)··(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)3在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n_.答案14解析設(shè)

16、數(shù)列an的公比為q，由a1a2a34aq3與a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14.4在等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，已知a18，a22，b11，b22，那么滿意anbn的n的全部取值構(gòu)成的集合是_答案3,5解析由已知得，an6n14，bn2n1，令anbn，可得6n142n1，解得n3或5，所以滿意anbn的n的全部取值構(gòu)成的集合是3,55已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在mN*，滿意9，則數(shù)列an的公比為_答案2解析設(shè)公比為q，若q1，則2，與題中條件抵觸，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.6

17、等比數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和，a32S21，a42S31，則公比q為_答案3解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，a43a3，q3.7等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，則對任意的nN*，都有an2an12an0，則S5_.答案11解析由題意知a3a22a10，設(shè)公比為q，則a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍往)，則S511.8已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，數(shù)列bn為等比數(shù)列且bn，若b10·b112，則a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3·

18、3;bn1，a21b1b2b3··b20(b10b11)102101 024.9數(shù)列bn滿意：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由bn12bn2，得bn122(bn2)，2，又b12a2a124，數(shù)列bn2是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列bn24·2n12n1，bn2n12.(2)由(1)知，anan1bn12n2 (n2)，an1an22n12 (n>2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，an(222232n)2n22n22n12n.Sn2n2(n2n4)1

19、0已知數(shù)列an和bn滿意a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)(1)證明：對任意實(shí)數(shù)，數(shù)列an不是等比數(shù)列；(2)證明：當(dāng)18時，數(shù)列bn是等比數(shù)列證明(1)假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有aa1a3，即22492490，抵觸所以an不是等比數(shù)列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n·(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故當(dāng)18時，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列B組專項(xiàng)力量提升(時間：20分鐘)11設(shè)*，a1，a2，y成等差數(shù)列，*，b1，b2，y成等比數(shù)列，則的取值范圍是_答案(，04，)解析在等差數(shù)列中，a1a2*y，在等比數(shù)列中，*yb1·b2.2.當(dāng)*y>0時，2，故4；當(dāng)*y<0時，2，故0.12若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析由于a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)