2.3函數(shù)的奇偶性與周期性

1、1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yf(*)的定義域?yàn)锳假如對(duì)于任意的*A，都有f(*)f(*)，那么稱(chēng)函數(shù)yf(*)是偶函數(shù) .關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)假如對(duì)于任意的*A，都有f(*)f(*)，那么稱(chēng)函數(shù)yf(*)是奇函數(shù).關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(*)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)*取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(*T)f(*)，那么就稱(chēng)函數(shù)yf(*)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：假如在周期函數(shù)f(*)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(*)的最小正周期【思考辨析】判定下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“&

2、#215;”)(1)偶函數(shù)圖象不確定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象確定過(guò)原點(diǎn)(×)(2)若函數(shù)yf(*a)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(*)關(guān)于直線*a對(duì)稱(chēng)()(3)函數(shù)f(*)在定義域上滿意f(*a)f(*)，則f(*)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)()(4)若函數(shù)yf(*b)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(*)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱(chēng)()(5)假如函數(shù)f(*)，g(*)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(*)f(*)g(*)是偶函數(shù)()(6)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期()1(2015·福建改編)下列函數(shù)中，y；y|sin *|；ycos *；ye*e*為奇函數(shù)的是_(

3、填函數(shù)序號(hào))答案解析對(duì)于，f(*)e*e*的定義域?yàn)镽，f(*)e*e*f(*)，故ye*e*為奇函數(shù)而y的定義域?yàn)?|*0，不具有對(duì)稱(chēng)性，故y為非奇非偶函數(shù)y|sin *|和ycos *為偶函數(shù)2已知f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，f(*1)是偶函數(shù)，則f(1)f(2)f(3)f(4)_.答案0解析由f(*1)是偶函數(shù)得f(*1)f(*1)，又f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(*1)f(*1)，即f(*1)f(*1)，所以f(*2)f(*)，即f(*)f(*2)0，所以f(1)f(3)0，f(2)f(4)0，因此f(1)f(2)f(3)f(4)0.3(2015·天津)已知定義在R

4、上的函數(shù)f(*)2|*m|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)答案cab解析由函數(shù)f(*)2|*m|1為偶函數(shù)，得m0，所以f(*)2|*|1，當(dāng)*0時(shí)，f(*)為增函數(shù)，log0.53log23，所以log25|log23|0，所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)4(2014·天津)設(shè)f(*)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)*1,1)時(shí)，f(*)則f()_.答案1解析函數(shù)的周期是2，所以f()f(2)f()，依據(jù)題意得f()4×()221.5(教材改編)已知函數(shù)f(*)是

5、定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)*0時(shí)，f(*)*(1*)，則*<0時(shí)，f(*)_.答案*(1*)解析當(dāng)*<0時(shí)，則*>0，f(*)(*)(1*)又f(*)為奇函數(shù)，f(*)f(*)(*)(1*)，f(*)*(1*)題型一判定函數(shù)的奇偶性例1判定下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(*)*3*；(2)f(*)(*1) ；(3)f(*)解(1)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(*)(*)3(*)*3*(*3*)f(*)，函數(shù)為奇函數(shù)(2)由0可得函數(shù)的定義域?yàn)?1,1函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(3)當(dāng)*>0時(shí)，*<0，f(*)*2*，f(*)(*)2*2*(*2*)f(

6、*)；當(dāng)*<0時(shí)，*>0，f(*)*2*，f(*)(*)2*2*(*2*)f(*)對(duì)于*(，0)(0，)，均有f(*)f(*)函數(shù)為奇函數(shù)思維升華(1)利用定義判定函數(shù)奇偶性的步驟：(2)分段函數(shù)奇偶性的判定，要留意定義域內(nèi)*取值的任意性，應(yīng)分段爭(zhēng)辯，爭(zhēng)辯時(shí)可依據(jù)*的范圍取相應(yīng)的解析式化簡(jiǎn)，判定f(*)與f(*)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判定(1)設(shè)函數(shù)f(*)，g(*)的定義域都為R，且f(*)是奇函數(shù)，g(*)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào))f(*)g(*)是偶函數(shù)；|f(*)|g(*)是奇函數(shù)；f(*)|g(*)|是奇函數(shù)；|f(*)g(*)|是奇函數(shù)(2)

7、函數(shù)f(*)loga(2*)，g(*)loga(2*)(a>0且a1)，則函數(shù)F(*)f(*)g(*)，G(*)f(*)g(*)分別是_(填奇偶性)答案(1)(2)偶函數(shù)，奇函數(shù)解析(1)易知f(*)|g(*)|定義域?yàn)镽，f(*)是奇函數(shù)，g(*)是偶函數(shù)，f(*)|g(*)|f(*)|g(*)|，f(*)|g(*)|為奇函數(shù)(2)F(*)，G(*)定義域均為(2,2)，由已知F(*)f(*)g(*)loga(2*)loga(2*)F(*)，G(*)f(*)g(*)loga(2*)loga(2*)G(*)，F(xiàn)(*)是偶函數(shù)，G(*)是奇函數(shù)題型二函數(shù)的周期性例2(1)定義在R上的函數(shù)f

8、(*)滿意f(*6)f(*)，當(dāng)3*<1時(shí)，f(*)(*2)2；當(dāng)1*<3時(shí)，f(*)*.則f(1)f(2)f(3)f(2 017)等于_(2)已知f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(*2)，當(dāng)2*3時(shí)，f(*)*，則f(105.5)_.答案(1)337(2)2.5解析(1)f(*6)f(*)，T6.當(dāng)3*<1時(shí)，f(*)(*2)2；當(dāng)1*<3時(shí)，f(*)*，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1×336.又

9、f(2 017)f(1)1.f(1)f(2)f(3)f(2 017)337.(2)由已知，可得f(*4)f(*2)2f(*)故函數(shù)的周期為4.f(105.5)f(4×272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由題意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思維升華(1)函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判定，利用函數(shù)周期性求值(2)函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論：若f(*a)f(*)，則T2a，若f(*a)，則T2a，若f(*a)，則T2a (a>0)設(shè)函數(shù)f(*)(*R)滿意f(*)f(*)sin *當(dāng)0*<時(shí)，f(

10、*)0，則f_.答案解析f(*2)f(*)sin(*)f(*)sin *sin *f(*)，f(*)的周期T2，又當(dāng)0*<時(shí)，f(*)0，f0，即ffsin0，f，fff.題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例3(1)已知f(*)是奇函數(shù)，g(*)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)_.(2)(2015·課標(biāo)全國(guó))若函數(shù)f(*)*ln(*)為偶函數(shù)，則a_.答案(1)3(2)1解析(1)f(*)是奇函數(shù)，f(1)f(1)又g(*)是偶函數(shù)，g(1)g(1)f(1)g(1)2，g(1)f(1)2.又f(1)g(1)4，f(1)g(1)4.由，

11、得g(1)3.(2)f(*)為偶函數(shù)，則ln(*)為奇函數(shù)，所以ln(*)ln(*)0，即ln(a*2*2)0，a1.命題點(diǎn)2單調(diào)性與奇偶性、周期性結(jié)合例4(1)已知f(*)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(*)滿意f(*4)f(*)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則f(25)，f(11)，f(80)的大小關(guān)系是_答案(1)(1,4)(2)f(25)<f(80)<f(11)解析(1)f(*)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)<1，f(5)，<1，即

12、<0，解得1<a<4.(2)f(*)滿意f(*4)f(*)，f(*8)f(*)，函數(shù)f(*)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿意f(*4)f(*)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(*)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(*)在R上是奇函數(shù)，f(*)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<f(80)<f(11)思維升華(1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性沖突，要害是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的沖突轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的沖突(2)把握以下兩

13、個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來(lái)便利：f(*)為偶函數(shù)f(*)f(|*|)若奇函數(shù)在*0處有意義，則f(0)0.(1)若f(*)ln(e3*1)a*是偶函數(shù)，則a_.(2)已知f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)*>0時(shí)，f(*)*24*，則不等式f(*)>*的解集用區(qū)間表示為_(kāi)答案(1)(2)(5,0)(5，)解析(1)函數(shù)f(*)ln(e3*1)a*是偶函數(shù)，故f(*)f(*)，即ln(e3*1)a*ln(e3*1)a*，化簡(jiǎn)得ln 2a*ln e2a*，即e2a*，整理得e3*1e2a*3*(e3*1)，所以2a*3*0，解得a.(2)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.又當(dāng)*<

14、0時(shí)，*>0，f(*)*24*.又f(*)為奇函數(shù)，f(*)f(*)，f(*)*24* (*<0)，f(*)當(dāng)*>0時(shí)，由f(*)>*得*24*>*，解得*>5；當(dāng)*0時(shí)，f(*)>*無(wú)解；當(dāng)*<0時(shí)，由f(*)>*得*24*>*，解得5<*<0.綜上得不等式f(*)>*的解集用區(qū)間表示為(5,0)(5，)2忽視定義域致誤典例(1)若函數(shù)f(*)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k_.(2)已知函數(shù)f(*)則滿意不等式f(1*2)>f(2*)的*的取值范圍是_易錯(cuò)爭(zhēng)論(1)解題中忽視函數(shù)f(*)的定義域，挺直通過(guò)計(jì)算f

15、(0)0得k1.(2)本題易消滅以下錯(cuò)誤：由f(1*2)>f(2*)得1*2>2*，忽視了1*2>0導(dǎo)致解答失誤解析(1)f(*)，f(*)f(*).由f(*)f(*)0可得k21，k±1.(2)畫(huà)出f(*)的圖象，由圖象可知，若f(1*2)>f(2*)，則即得*(1，1)答案(1)±1(2)(1，1)溫馨提示(1)已知函數(shù)的奇偶性，利用非凡值確定參數(shù)，要留意函數(shù)的定義域(2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性沖突時(shí)，應(yīng)高度關(guān)注：對(duì)變量所在區(qū)間的爭(zhēng)辯保證各段上同增(減)時(shí)，要留意左、右段端點(diǎn)值間的大小關(guān)系弄清最終結(jié)果取并集還是交集方法與技巧1判定函數(shù)的奇偶性，首先

16、應(yīng)當(dāng)判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件2利用函數(shù)奇偶性可以解決以下沖突求函數(shù)值；求解析式；求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；畫(huà)函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性3在解決具體沖突時(shí)，要留意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用失誤與防范1f(0)0既不是f(*)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件應(yīng)用時(shí)要留意函數(shù)的定義域并進(jìn)行檢驗(yàn)2判定分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，要以整體的瞧點(diǎn)進(jìn)行判定，不行以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇、偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域的奇偶性. A組專(zhuān)項(xiàng)前提練習(xí) (時(shí)間：40分鐘)1下列函數(shù)中，ylog2|*|；ycos 2*；y；y

17、log2，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增的是_答案解析對(duì)于，函數(shù)ylog2|*|是偶函數(shù)且在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)；對(duì)于，函數(shù)ycos 2*在區(qū)間(1,2)上不是增函數(shù)；對(duì)于，函數(shù)y不是偶函數(shù)；對(duì)于，函數(shù)ylog2不是偶函數(shù)2已知函數(shù)f(*)ln(3*)1，則f(lg 2)f_.答案2解析設(shè)g(*)ln(3*)f(*)1，g(*)ln(3*)lng(*)g(*)是奇函數(shù)，f(lg 2)1f1g(lg 2)g0，因此f(lg 2)f2.3已知f(*)在R上是奇函數(shù)，且滿意f(*4)f(*)，當(dāng)*(0,2)時(shí)，f(*)2*2，則f(2 019)_.答案2解析f(*4)f(*)，f(*)是

18、以4為周期的周期函數(shù)，f(2 019)f(504×43)f(3)f(1)又f(*)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2×122，即f(2 019)2.4定義在R上的偶函數(shù)f(*)，對(duì)任意*1，*20，)(*1*2)，有<0，則f(2)，f(1)，f(3)的大小關(guān)系是_答案f(3)<f(2)<f(1)解析由題意知f(*)為偶函數(shù)，所以f(2)f(2)，又*0，)時(shí)，f(*)為減函數(shù)，且3>2>1，f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(2)<f(1)5已知f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)*0時(shí)，f(*)*22*，若f(2a2

19、)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(2,1)解析f(*)是奇函數(shù)，當(dāng)*<0時(shí)，f(*)*22*.作出函數(shù)f(*)的大致圖象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知f(*)是R上的增函數(shù)，由f(2a2)>f(a)，得2a2>a，解得2<a<1.6設(shè)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)*0時(shí)，f(*)*2，若對(duì)任意的*t，t2，不等式f(*t)2f(*)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案，)解析當(dāng)*0時(shí)，f(*)*2，且f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，f(*)在R上是增函數(shù)，又f(*t)2f(*)f(*)，*t*，t(1)*.*t，t2，t(1)(t2)，t.7已知定義在

20、R上的偶函數(shù)f(*)在0，)上單調(diào)遞增，且f(1)0，則不等式f(*2)0的解集是_答案(，13，)解析由已知可得*21或*21，解得*3或*1，所求解集是(，13，)8設(shè)定義在R上的函數(shù)f(*)同時(shí)滿意以下條件：f(*)f(*)0；f(*)f(*2)；當(dāng)0*1時(shí)，f(*)2*1，則ff(1)ff(2)f_.答案解析依題意知：函數(shù)f(*)為奇函數(shù)且周期為2，ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)ff(0)fff(1)f(0)1211201.9已知函數(shù)f(*)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(*)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)設(shè)*<0，則*&

21、gt;0，所以f(*)(*)22(*)*22*.又f(*)為奇函數(shù)，所以f(*)f(*)于是*<0時(shí)，f(*)*22*2m*，所以m2.(2)要使f(*)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(*)的圖象知所以1<a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,310設(shè)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)*，恒有f(*2)f(*)，當(dāng)*0,2時(shí)，f(*)2*2.(1)求證：f(*)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)*2,4時(shí)，求f(*)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 016)(1)證明f(*2)f(*)，f(*4)f(*2)f(*)f(*)是周期為4的周期函數(shù)(2)解*2,4，*4，2，4*0,

22、2，f(4*)2(4*)(4*)2*26*8.又f(4*)f(*)f(*)，f(*)*26*8，即f(*)*26*8，*2,4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又f(*)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0.f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(2 016)f(0)0.B組專(zhuān)項(xiàng)力量提升(時(shí)間：20分鐘)11已知f(*)是定義域?yàn)?1,1)的奇函數(shù)，而且f(*)是減函數(shù)，假如f(m2)f(2m3)>0，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析f(*)是定義

23、域?yàn)?1,1)的奇函數(shù)，1<*<1，f(*)f(*)f(m2)f(2m3)>0可轉(zhuǎn)化為f(m2)>f(2m3)，f(m2)>f(2m3)，f(*)是減函數(shù)，m2<2m3，1<m<.12設(shè)f(*)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(*)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_(kāi)答案10解析由于f(*)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，從而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，從而a3b10.13已知f(*)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0*<2時(shí)，f(*)*3*，則函數(shù)yf(*)的圖象在區(qū)間0,6上與*軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)答案7解析由于當(dāng)0*<2時(shí)，f(*)*3*，又f(*)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0.故函數(shù)yf(*)的圖象在區(qū)間0,6上與*軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.14定義在R上的偶函數(shù)f(*)滿意f(*1)f(*)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(*)的結(jié)論：f(*)是周期函