中考復(fù)習(xí)：將軍飲馬類(lèi)題型大全

1、“將軍飲馬”類(lèi)題型大全一.求線段和最值1 （一）兩定一動(dòng)型例1:如圖，AMI± EF, BNL EF,垂足為 M N, MN= 12ml AMh 5m, BN= 4m P 是 EF上任意一點(diǎn)，則PA+ PB的最小值是 m分析：這是最基本的將軍飲馬問(wèn)題，A, B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬 型，根據(jù)常見(jiàn)的“定點(diǎn)定線作對(duì)稱(chēng)”，可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',根據(jù)兩 點(diǎn)之間，線段最短，連接 A B,此時(shí)A' P+ PB即為A' B,最短.而要求A B, 則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',過(guò)點(diǎn)A'彳A C

2、，BN的延長(zhǎng)線于C.易知A M A隹NC= 5m BO9m, A C= MN= 12m 在 RQA' BC中，A B= 15m,即 PA+ PB的最小值是15m變式: 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,E, F, G為各邊中點(diǎn)，P為線段EF上 動(dòng)點(diǎn)，則4 BPG長(zhǎng)的最小值為 .分析：考慮到BG為定值是1,則BPG勺周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為求BP+ PG的最小值，又是 兩 定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出 來(lái)到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接 AG則AGL BC再連接EG根據(jù)“直角三角形 斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AE= EG則點(diǎn)A就是點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).最

3、后計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，別忘了加上 BG的長(zhǎng)度.解答：連接AG 易知PG= PA, BP+ PG= BP+ PA 當(dāng)B, P, A三點(diǎn)共線時(shí)，BP+ P氏BA, 此時(shí)最短，BA= 2, BG= 1,即BPGra長(zhǎng)最短為3.B G C2（二）一定兩動(dòng)型例2:如圖，在 ABC中，AB= AO5, D為BC中點(diǎn)，AA5, P為AD上任意一點(diǎn)，E 為AC上任意一點(diǎn)，求P8 PE的最小值.分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，P, E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于 ABC 是等腰三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B, PC+ P已PB+ PE,顯然當(dāng)B, P, E三點(diǎn)共線時(shí)，BE更短.

4、但止匕時(shí)還不是最短， 根據(jù)“垂線段最短”只有當(dāng)BE! AC時(shí)，BE最短.求BE時(shí)，用面積法即可.解答：作BE! AC交于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)P,易知ADL BC, BA 3, BO 6,WJ AD- BO BE - AC4X6=BE 5, BE= 4.8AB D C變式：如圖，BD平分/ ABC E, F分別為線段BC BD上的動(dòng)點(diǎn)，AB= 8, AABC的周長(zhǎng) 為20,求EF+ CF的最小值.BEC分析: 這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，F(xiàn), E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于 “定點(diǎn)定線作對(duì)稱(chēng)”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.因?yàn)辄c(diǎn) C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'必然在AB上，但由于BC長(zhǎng)度未知，BC長(zhǎng)度

5、也未知，則C'相對(duì)的也是不確定點(diǎn)， 因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn) E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).解答：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',連接E' F,則EF+ CF= E' F+CF,當(dāng)E', F, C三點(diǎn)共線時(shí)，E' F+ C已E' C,此時(shí)較短.過(guò)點(diǎn)C作CE '，AB于E'', 當(dāng)點(diǎn)E'與點(diǎn)E''重合時(shí)，E' ' C最短，E' ' C為AB邊上的高，E' ' O 5.（三）兩定兩動(dòng)型例3:如圖，/ AO由30° , OC= 5,。氏12,點(diǎn)E

6、, F分別是射線 OA OB上的動(dòng)點(diǎn), 求C斗EF+ DE的最小值.分析：這里的點(diǎn)C,點(diǎn)D是定點(diǎn)，F(xiàn), E是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊 可以用“定點(diǎn)定線作對(duì)稱(chēng)”來(lái)考慮.作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于OA的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn).解答：作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D',連接C' D' . CF + EF+ DE= C' F+ EF+ D' E,當(dāng) C' , F, E, D'四點(diǎn)共線時(shí)，C斗 EF+ D已 C D'最短.易知/ D' OC =90° , OD =12, OC =5, C D

7、' =13, CF+ EF+ DE最小值為13.變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面 AB寬1.78m,白球E距AD邊0.22m,距CD 邊1.4m,有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD4 0.1m,若要使白球E經(jīng)過(guò)邊AD DC兩次反彈擊中紅球F,求白球E運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度.FC分析：本題中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題 的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) F',即可畫(huà)出白球E的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為 兩定兩動(dòng)將軍飲馬型.解答：作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F',連接E&

8、#39; F', 交AD于點(diǎn)G交CD于點(diǎn)H,則運(yùn)動(dòng)品&線長(zhǎng)為EJ GH HF長(zhǎng)度之和，即E' F' 長(zhǎng)，延長(zhǎng) E' E交 BC于 N,交 ADT M 易知 E' M= E隹0.22m, E' N= 1.78+0.22 =2m NF' =NUCF' = 1.4+0.1 = 1.5m,則 RtE' NF 中，E' F' = 2.5m,即白球運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度為2.5m.B x rcr小結(jié)：以上求線段和最值問(wèn)題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)” “一定兩 動(dòng)” “兩定兩動(dòng)”類(lèi)的將軍飲馬型問(wèn)題，基本方法還是“定點(diǎn)

9、定線作對(duì)稱(chēng)”， 利用“兩點(diǎn)之間線段最短” “垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來(lái)求解.當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn) 對(duì)稱(chēng).(二)求角度例1:P為/AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M N分別為射線OA OB上一點(diǎn)，當(dāng) PMN長(zhǎng)最小時(shí)， /MPN= 80° .(1) / AO氏°(2)求證：OP平分/ MPN分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題,我們應(yīng)該先將M N的位置找到,再來(lái)思考/ AOB 的度數(shù)，顯然作點(diǎn) P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'',連接 P&#

10、39; P'',其與OA交點(diǎn)即為M,。皎點(diǎn)即為N,如下圖，易知/ DPCt/AOBS 補(bǔ)，則求出/ DPC的度數(shù)即可.解答：(1)法 1：如圖，Z 1 + 7 2=100° , /1 = /P' + /3 = 2/3, /2=/P' ' +/4 = 2/4, 則/3+/4 = 50° , /DPC= 130° , / AO氏50° .再分析：考慮到第二小問(wèn)要證明 OP平分/ MPN我們就連接OP則要證/ 5=76,顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對(duì)稱(chēng)性，我們?cè)龠B接 OP , OP ',則/ 5=/7, /6 =/

11、8,問(wèn)題迎刃而解.解答：(1)法 2:易知 OP =OP ' , /7+/8=/5+ / 6 = 80° , / P' OP ' =100° ,由對(duì)稱(chēng)性知，/9=/11, /10=/12, /AOB /9+ / 10= 50°(2)由 OP =OP ' , / P' OP ' =100° 知，/7= /8 = 40° , / 5=/6 = 40° , OP平分/ MPN如圖，在五邊形 ABODES, / BA& 136° , / B= / E= 90° ,在

12、BG DE上分別 找一點(diǎn)M N,使得AAMN勺周長(zhǎng)最小時(shí)，則/ AMN- / ANM勺度數(shù)為.E分析:這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，必然是作A點(diǎn)關(guān)于BG DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、 A，連接A A ,與BG DE的交點(diǎn)即為 AMNR長(zhǎng)最小時(shí)M N的位置.如圖,. /BAE= 136° , ./MA A+ /NA A= 44°由對(duì)稱(chēng)性知，/ MAA = M MA A,/ NAA = / NA' A, ZAMNF / ANM=2/MA A+ 2/NA' A= 88思考題：1. （2017 安順）如圖所示，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為6, 4ABE是等邊三角形， 點(diǎn)E在正方形ABC時(shí)，在又t角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE勺和最小，則這個(gè)最 小值為.