八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 18.1勾股定理第四課時(shí)教案 人教新課標(biāo)版 教案

1、18.1 勾股定理（四） 教學(xué)時(shí)間 第四課時(shí) 三維目標(biāo) 一、知識(shí)與技能 1利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn) 2進(jìn)一步學(xué)習(xí)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題 二、過程與方法 1經(jīng)歷在數(shù)軸上尋找表示地理數(shù)的總的過程，發(fā)展學(xué)生靈活勾股定理解決問題的能力 2在用勾股定理解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新精神 3在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的意識(shí) 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1在用勾股定理尋找數(shù)軸上表示無理數(shù)點(diǎn)的過程中，體驗(yàn)勾股定理的重要作用，并從中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意

2、志，建立自信心 2在解決實(shí)際問題的過程中，形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣 教學(xué)重點(diǎn) 在數(shù)軸上尋找表示，這樣的表示無理數(shù)的點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段 教具準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 活動(dòng)1 【例1】飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4 800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5 000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？【例2】如右圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，向B點(diǎn)到物體A的像A的距離是多少？ 【例3】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面

3、3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動(dòng)的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？ 設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)勾股定理在生活中的應(yīng)用的廣泛性，同時(shí)經(jīng)歷勾股定理在物理中的應(yīng)用，由此可知數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ)，方程的思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想 師生行為： 先由學(xué)生獨(dú)立思考，完成，后在小組內(nèi)討論解決，教師可深入到學(xué)生的討論中去，對不同層次的學(xué)生給予輔導(dǎo) 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： 學(xué)生是否自主完成上面三個(gè)例題； 學(xué)生是否有綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，特別是學(xué)生是否有在解決數(shù)學(xué)問題過程中的方程的思想 師生共析：例1：分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢茫珻、B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)

4、刻飛機(jī)的位置，C是直角，可以用勾股定理來解決這個(gè)問題 解：根據(jù)題意，得RtABC中，C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米由勾股定理，得AB2=AC2+BC2即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米 飛機(jī)飛行1 400米用了10秒，那么它1小時(shí)飛行的距離為1 400×6×60=50 400米=504千米，即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時(shí) 評(píng)注：這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，經(jīng)過分析，問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形等三邊的問題，這雖是一個(gè)一元二次方程的問題，學(xué)生可嘗試用學(xué)過的知識(shí)來解決同時(shí)注意，在此題中小孩是靜止不動(dòng)的 例2：分析：此題要用到

5、勾股定理，軸對稱及物理上的光的反射知識(shí) 解：如例2圖，由題意知ABA是直角三角形，由軸對稱及平面鏡成像可知： AA=2×6=12米，AB=5米； 在RtAAB中，AB2=AA2+AB2=122+52=169=132米 所以AB=13米，即B點(diǎn)到物體A的像A的距離為13米 評(píng)注：本題是以光的反射為背景，涉及到勾股定理、軸對稱等知識(shí)由此可見，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ)例3：分析：在此問題中，要注意水草的長度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時(shí)和吹到一邊，它的長度是不變的 解：根據(jù)題意，得到右圖，其中D是無風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，

6、BCAD所以在RtACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以這里的水深為4.5分米 評(píng)注：在幾何計(jì)算題中，方程的思想十分重要 二、講授新課 活動(dòng)2 問題：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎？的點(diǎn)呢？ 設(shè)計(jì)意圖： 上一節(jié)，我們利用勾股定理可以解決生活中的不少問題在初一時(shí)我們只能找到數(shù)軸上的一些表示有理數(shù)的點(diǎn)，而對于象，這樣的無理數(shù)的數(shù)點(diǎn)卻找不到，學(xué)習(xí)了勾股定理后，我們把，可以當(dāng)直角三角形的斜邊，只要找到長為，的線段就可以，勾股定理的又一次得到應(yīng)用 師生行為： 學(xué)生小組

7、交流討論 教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找象，這樣的包含在直角三角形中的線段 此活動(dòng)，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： 學(xué)生能否找到含長為，這樣的線段所在的直角三角形； 學(xué)生是否有克服困難的勇氣和堅(jiān)強(qiáng)的意志； 學(xué)生能否積極主動(dòng)地交流合作 師：由于在數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以只需畫出長為的線段即可 我們不妨先來畫出長為的線段 生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊 師：長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？ 生：設(shè)c=，兩直角邊為a，b，根據(jù)勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13若a，b為正整數(shù)，則13必須分解為兩個(gè)平方數(shù)的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，則a=2，b=3所以長為的線

8、段是直角邊為2，3的直角三角形的斜邊 師：下面就請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn) 生：步驟如下： 1在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA=3； 2作直線L垂直于OA，在L上取一點(diǎn)B，使AB=2；3以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn) 活動(dòng)3 練習(xí)：在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn) 設(shè)計(jì)意圖： 進(jìn)一步鞏固在數(shù)軸上找表示無理數(shù)的點(diǎn)的方法，熟悉勾股定理的應(yīng)用 師生行為： 由學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師巡視 此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： 學(xué)生能否積極主動(dòng)地思考問題； 能否找到斜邊為，另外兩個(gè)角直邊為整數(shù)的直角三角形生：是兩直角邊為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)如右圖： 三、鞏固提高

9、 活動(dòng)4 問題：（1）根據(jù)勾股定理，還可以作出長為無理數(shù)線段，你能做出哪些長為無理數(shù)的線段呢？（2）欣賞下圖，你會(huì)得到什么啟示？ 設(shè)計(jì)意圖： 進(jìn)一步熟悉直角三角形的三邊關(guān)系，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中欣賞和創(chuàng)造美 師生行為： 學(xué)生分組活動(dòng)，交流討論 教師參與于學(xué)生的小組活動(dòng)中去 本活動(dòng)教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： 能否將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)直角三角形的斜邊長 能否積極參與，欣賞數(shù)學(xué)美生：在上述方程找到了長度為，、，的線段，因此在數(shù)軸上便可以表示出來，教學(xué)時(shí)可以先畫出，之后，再畫，畫法不唯一，如下圖： 四、課時(shí)小結(jié) 活動(dòng)5 問題：你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)？會(huì)利用勾股定理得到一些無理數(shù)并理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng) 設(shè)計(jì)

10、意圖： 這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)機(jī)會(huì)，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要，從而使小結(jié)活動(dòng)不流于形式而具有實(shí)效性，為學(xué)生提供了更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲 小結(jié)活動(dòng)既要注重引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)體系化又要從能力、情態(tài)態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對課堂的整體感受 師生行為： 學(xué)生小組內(nèi)交流、反思 教師巡視指導(dǎo) 在活動(dòng)5中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： 不同層次學(xué)生對本節(jié)知識(shí)的認(rèn)知程度； 學(xué)生獨(dú)立面對困難，克服困難的能力 板書設(shè)計(jì) 181 勾股定理（四） 1在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，

11、分以下四步完成； （1）將在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為畫出長為的線段的問題。 （2）由長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊 （3）通過嘗試發(fā)現(xiàn)，長為的線段是直角邊為2，3的直角三角形的斜邊 （4）畫出長為的線段，從而在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn) 活動(dòng)與探究河海濱館在重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪設(shè)紅地毯，主樓梯寬4米，購貨員在市場中選中一種寬度合適的地毯，每平方米50元，幫他計(jì)算一下，購買鋪這段樓梯的地毯，大約需多少錢？ 過程：此題看似是在一個(gè)直角三角形中求斜邊，其實(shí)不然，由于樓梯的水平方向和豎直方向都需要鋪，所以水平方向長度和即為

12、6.4m，豎直方向長度和即為4.8m 結(jié)果：地毯共需：4.8+6.4=11.2（m） 面積為11.2×4=44.8（m2） 44.8×50=2 400（元） 所以購買地毯共需2 440元 習(xí)題詳解 習(xí)題181 1AC=17 2解：設(shè)旗桿折斷之前有xm，根據(jù)勾股定理，得 （x-6）2=62+82， （x-6）2=100 因?yàn)閤-6>0，所以x-6=10， x=16 所以旗桿折斷之前的高度為16m 3解：根據(jù)勾股定理，得 AB=2.5， 即AB的長為2.5cm 4解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39（cm） 根據(jù)勾股定理，得 AB=43.4（mm） 即兩

13、孔中心距離為43.4mm 5解：根據(jù)勾股定理，得 =2（m） 所以地面鋼纜固定點(diǎn)A到電線桿底部B的距離是2m6解：根據(jù)勾股定理可知：兩直角邊的長分別為4，2時(shí)，斜邊的長為，如下圖所示： 7解：（1）A=30°，AB=10，所以BC=5，因?yàn)镃=90°，根據(jù)勾股定理，得 AC=58.66 （2）A=45°，所以ABC為等腰直角三角形，即BC=AC 根據(jù)勾股定理，得2BC2=2AC2=100， 所以BC=AC=57.07 8解：在ABC中，C=90° （1）ABC的面積=×2.1×2.8=2.94（cm2）； （2）根據(jù)勾股定理：AB=3

14、.5（cm）； （3）因?yàn)镃D×AB=AC×BC， 所以CD=1.68（cm） 即高CD為1.68cm 9解：根據(jù)題意，得 L=82（mm） 10解：設(shè)水的深度為x尺，這根蘆葦?shù)拈L度為（x+1）尺，根據(jù)題意，設(shè)： （x+1）2=x2+（10÷2）2 解這個(gè)方程得x=12 x+1=13 所以水的深度為12尺，這根蘆葦?shù)拈L度為13尺 11解；以AB為直徑的半圓的面積為××（）2=AB2；以BC為直徑的半圓的面積為××（）2=BC2； 以AC為直徑的半圓的面積為×（）2=AC2 因?yàn)镃=90°，所以AB2=BC

15、2+AC2 AB2=BC2+AC2 即以直角三角形斜邊為直徑的半圓的面積等于兩直角邊為直徑的半圓的面積和 12解：陰影部分的面積=以AC為直徑的半圓的面積+以BC為直徑的半圓的面積+RtABC的面積-以AB為直徑的半圓的面積，根據(jù)11題的結(jié)論可知： 陰影部分的面積=RtABC的面積=20cm213解：根據(jù)題意，可知：OB=1.6÷2=0.8m，OA=2÷2=1m，在RtOAB中，AB=0.6（m）， 1-0.6=0.40. 2， 所以這輛卡車能通過廠門 備課資料 參考例題 【例1】如右圖所示，ABC中，AB=15cm，AC=24cm，A=60°，求BC的長分析：A

16、BC是一般三角形，若要求出BC的長，只能將BC置于一個(gè)直角三角形中 解：過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D 在RtACD中，A=60°， ACD=90°-60°=30°， AD=AC=12（cm） CD2=AC2-AD2=242-122=432， DB=AB-AD=15-12=3 在RtBCD中， BC2=DB2+CD2=32+432=441， BC=21cm 評(píng)注：本題不是直角三角形，而要解答它必須構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來解 【例2】如右圖，A、B兩點(diǎn)都與平面鏡相距6米，且A、B兩點(diǎn)相距6米，一束光線由A射向平面鏡反射之后恰巧經(jīng)過B點(diǎn)，求B點(diǎn)到入射點(diǎn)的距離 分析：此題要用到勾股定理，全等三角形，軸對稱及物理上的光的反射的知識(shí)解：作出B點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B，連結(jié)AB，交CD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)就是光的入射點(diǎn) 因?yàn)锽D=DB 所以BD=AC BDO=OCA=90°，B=CAO 所以BDOACO（SSS） 則OC=OD=AB=×6=3米 連結(jié)OB，在RtODB中， OD2+BD2=OB2 所以O(shè)B2=32+42=52， 即OB=5（米） 所以點(diǎn)B到入射點(diǎn)的距離為5米 評(píng)注：這是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及到許多幾何知識(shí)，由此可見，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)【例3】如下圖