最新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)概況

1、現(xiàn)代數(shù)學(xué)概況初等教育學(xué)院初等教育學(xué)院趙世恩趙世恩一一 現(xiàn)代數(shù)學(xué)概況現(xiàn)代數(shù)學(xué)概況二二 數(shù)學(xué)的分類數(shù)學(xué)的分類一一 現(xiàn)代數(shù)學(xué)概況現(xiàn)代數(shù)學(xué)概況1 第三次數(shù)學(xué)危機2 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3 哥德爾的不完全性定理4 二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展1 第三次數(shù)學(xué)危機 1.1 對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的思考 自古希臘以來，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格基礎(chǔ)嚴(yán)格基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)家們追求的目標(biāo)，而這樣的追求在20世紀(jì)前，曾經(jīng)歷過兩次巨大的考驗兩次巨大的考驗： 古希臘不可公度量的發(fā)現(xiàn)（無理數(shù)）古希臘不可公度量的發(fā)現(xiàn)（無理數(shù)） 微積分基礎(chǔ)的爭論（無窮小量）微積分基礎(chǔ)的爭論（無窮小量） 19世紀(jì)末世紀(jì)末，嚴(yán)格的微積分理論的建立，數(shù)學(xué)史上的第二次危機基本解決。 1900年年在巴黎舉

2、行的第二屆國際數(shù)學(xué)第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上家大會上，龐加萊高興的指出：“今天我們可以宣稱，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達到了！完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達到了！” 但事實上，集合論集合論的相容性相容性（無矛盾性無矛盾性）沒有得到證明！ 要想使我的集合論完美無缺，就不能不能研究一切一切集合所組成的集合！集合所組成的集合！ 康托康托微積分理論微積分理論集合論集合論實數(shù)理論實數(shù)理論 1.2 悖論的出現(xiàn) 1901年，英國數(shù)學(xué)家羅素以一個簡單明了的集合論悖論打破了人們的希望，引起了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的新爭論。 對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的更深入的探討，以及由此引發(fā)的數(shù)理邏輯的發(fā)展是20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的又一重要發(fā)展趨勢。 悖論悖論就是指這樣的推理過程推理

3、過程：它看上去它看上去是合理的，但結(jié)果卻得到了矛盾。是合理的，但結(jié)果卻得到了矛盾。 例：設(shè)M=A|A為非空集合，且為非空集合，且A不屬于不屬于A， 問：問：M是否屬于是否屬于M？ 羅素悖論不僅否定了龐加萊關(guān)于“完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達到”，而且直接動搖了把集合論集合論作為分析基礎(chǔ)的信心！作為分析基礎(chǔ)的信心！ 一個科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成的時候它的基礎(chǔ)坍塌了。工作完成的時候它的基礎(chǔ)坍塌了。 費雷格 人們把集合論悖論的出現(xiàn)，和由此引起的爭論稱為第三次數(shù)學(xué)危機第三次數(shù)學(xué)危機。2 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 從20世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)展開激烈的爭論和不懈的探索。按照哲學(xué)觀點的不同，分為以下3大派

4、： 邏輯主義 費雷格和羅素費雷格和羅素 直觀主義 布勞沃布勞沃 形式主義 希爾伯特希爾伯特 2.1 邏輯主義 邏輯主義認為算數(shù)理論不能看成是全部數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的可靠基礎(chǔ)是邏輯。 （1）從少數(shù)的邏輯概念出發(fā)去定義全部、或大部分數(shù)學(xué)概念； （2）從少數(shù)的邏輯法則出發(fā)去演繹全部、或大部分數(shù)學(xué)理論。 功績：成功的將古代數(shù)學(xué)納入到一個統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，雖然這個系統(tǒng)不是純邏輯的，但卻是近代（現(xiàn)代）公理化方法發(fā)展中的一個重要起點。 不足：隔離了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)系，企圖沒有實現(xiàn)，也不可能實現(xiàn)。 2.2 直觀主義 直觀主義者認為數(shù)學(xué)的出發(fā)點不是集合論，而是自然數(shù)：（1）在無限觀的問題上徹底采用潛無限，排斥實無

5、限； 例：拒絕無窮集合，集合論不是數(shù)學(xué)，而是玄學(xué)！ （2）否定傳統(tǒng)邏輯的普遍有效性，重新建立直觀主義的邏輯規(guī)則。 例：不允許將排中律用到無窮集合。 否定用排中律得到的存在性定理就相當(dāng)于全部放棄了數(shù)學(xué)的科學(xué)性。 希爾伯特 （3）批判古典數(shù)學(xué)，排斥非構(gòu)造數(shù)學(xué)； 例： 不承認中值定理 功績：他們指出，數(shù)學(xué)上最重要的進展不是通過完善邏輯形式，而是通過變革其基本原理得到了，不是數(shù)學(xué)依賴邏輯，而是邏輯依賴數(shù)學(xué)； 排中律的使用。 不足：把古代數(shù)學(xué)搞的支離破碎！整個公理體系太少，使得數(shù)學(xué)的任務(wù)“非常艱巨”！最終失敗了！ 2.3 形式主義 (1)邏輯和數(shù)學(xué)中的基本概念和公理系統(tǒng)都是一行行毫無意義的符號。 數(shù)學(xué)是

6、關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)。 柯瑞 （2）數(shù)學(xué)的真理性等價于系統(tǒng)的相容性，無矛盾性是對數(shù)學(xué)系統(tǒng)的唯一要求。 數(shù)學(xué)本身就是一堆形式系統(tǒng)，各自建立自己的邏輯，同時建立自己的數(shù)學(xué)；各有各的概念；各有各的公理系統(tǒng)；各有各的推到訂立的法則，各有各的定理。把每個演繹系統(tǒng)發(fā)展起來，就是數(shù)學(xué)的任務(wù)！ 功績：為數(shù)學(xué)家提供了創(chuàng)造任意數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的自由； 使數(shù)學(xué)研究從“實在”的舒服下解放了出來； 利用新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，人們完全可以稱之為證明論，我們將可以解決世界上所有的基礎(chǔ)性問題。希爾伯特（1928年，國際數(shù)學(xué)家大會） 不足：希爾伯特認為能夠解決相容性以及完備性問題。類比類比 公交車表示公理體系 乘客表示數(shù)學(xué)內(nèi)容邏輯主義直觀主義

7、形式主義給予數(shù)學(xué)足夠給予數(shù)學(xué)足夠思考和思考和研究的空間！研究的空間！3 哥德爾的不完全性定理 1931年在數(shù)學(xué)物理月刊上發(fā)表了一篇題為論和有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題的論文，作者哥德爾。它被認作數(shù)學(xué)和邏輯的基礎(chǔ)方面的劃時代文獻。 功績： 它摧毀了數(shù)學(xué)的所有重要領(lǐng)域能被完全公理化這一強烈的信念！ 它撲滅了沿著希爾伯特曾設(shè)想的路線證明數(shù)學(xué)的內(nèi)部相容性的全部希望！ 它是的人們不得不必須重新評價普遍認可的數(shù)學(xué)哲學(xué)！ 它把一個新的、強有力且豐富的分析級數(shù)引到了基礎(chǔ)研究中。 皮亞諾關(guān)于自然數(shù)系建立的公設(shè)集不是完全的。 哥德爾第一定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，存在F中不可判定問題；即存在F中

8、的命題S，使得S和非S都在F中不可證。 例：哥德巴赫猜想，還沒有被證明或推翻！ 是否有方法確定一個命題是否可判斷呢？ 車敕定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，不存在有效的方法，決定F中的哪些命題在F中是可證的。 哥德爾第二定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，F(xiàn)的相容性不能在F中證明。 數(shù)學(xué)不再是精確論證的頂峰，不再是真理的化身，任何公理體系都有局限性。 相容就不完備，完備一定有矛盾！4 二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展數(shù)論：古典數(shù)論 解析數(shù)論，代數(shù)數(shù)論，超越數(shù)論, 模型式與模函數(shù)論代數(shù)學(xué)：線性代數(shù) 群論, 群表示論, 李群, 李代數(shù), 代數(shù)群, 典型群, 同調(diào)代數(shù), 代數(shù)K理論, Kac

9、-Moody代數(shù), 環(huán)論, 代數(shù), 體, 格, 序結(jié)構(gòu). 域論和多項式 拓撲群 矩陣論 向量代數(shù) 張量代數(shù)幾何學(xué)：（整體，局部）微分幾何, 代數(shù)幾何, 流形上的分析, 黎曼流形與洛侖茲流形, 齊性空間與對稱空間, 調(diào)和映照, 子流形理論, 楊-米爾斯場與纖維叢理論, 辛流形. 凸幾何與離散幾何 歐氏幾何 非歐幾何 解析幾何拓撲學(xué)：微分拓撲, 代數(shù)拓撲, 低維流形, 同倫論, 奇點與突變理論, 點集拓撲. 流形和胞腔復(fù)形 大范圍分析,微分拓撲 同調(diào)論復(fù)流形泛函分析：（非）線性泛函分析, 算子理論, 算子代數(shù), 差分與泛函方程, 廣義函數(shù). 變分法，積分變換 積分方程微分方程：泛函微分方程, 特征

10、與譜理論及其反問題, 定性理論, 穩(wěn)定性理論、分支理論,混沌理論, 奇攝動理論,動力系統(tǒng), 常微分方程非線性橢圓(和拋物)方程,偏微分方程, 微局部分析與一般偏微分算子理論, 調(diào)混合型及其它帶奇性的方程, 非線性發(fā)展方程和無窮維動力系統(tǒng).20世紀(jì)誕生的數(shù)學(xué)：分形幾何、混沌學(xué)、數(shù)學(xué)實驗 概率論的發(fā)展歷史概率論起源于博弈問題。15-16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利、塔塔利亞和卡爾丹的著作中都曾討論過倆人賭博的賭金分配等概率問題。1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯發(fā)表了論賭博中的計算，這是最早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標(biāo)志著概率論的誕生。而概率論最為一門獨立的數(shù)學(xué)分支，真

11、正的奠基人是雅格布，伯努利。他在遺著猜度術(shù)中首次提出了后來以“伯努利定理”著稱的極限定理，在概率論發(fā)展史上占有重要地位。18世紀(jì)-19世紀(jì)的概率論 伯努利之后，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗把概率論又作了巨大推進，他提出了概率乘法法則，正態(tài)分布和正態(tài)分布率的概念，并給出了概率論的一些重要結(jié)果。 之后法國數(shù)學(xué)家蒲豐提出了著名的“普豐問題”，引進了幾何概率。 另外，拉普拉斯、高斯和泊松等對概率論做出了進一步奠基性工作。特別是拉普拉斯，他是嚴(yán)密的、系統(tǒng)的科學(xué)概率論的最卓越的創(chuàng)建者，在1812年出版的概率的分析理論中，拉普拉斯以強有力的分析工具處理了概率論的基本內(nèi)容，實現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結(jié)

12、果系統(tǒng)化，開辟了概率論發(fā)展的新時期。 泊松則推廣了大數(shù)定理，提出了著名的泊松分布。19世紀(jì)-20世紀(jì)的概率論 19世紀(jì)后期，極限理論的發(fā)展稱為概率論研究的中心課題，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)Υ俗龀隽酥匾暙I。 他建立了關(guān)于獨立隨機變量序列的大數(shù)定律，推廣了棣莫弗拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學(xué)生馬爾可夫發(fā)揚光大，影響了20世紀(jì)概率論發(fā)展的進程。 19世紀(jì)末，一方面概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對概率論基本概念與原理進行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們在這一時期發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含糊之處。這些問題卻強烈要求對概率論的邏輯基礎(chǔ)做出更加嚴(yán)格的考察19世

13、紀(jì)-20世紀(jì)的概率論 1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概率論基礎(chǔ)，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公理出發(fā)建筑起來?？茽柲炅_夫的公理體系逐漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認可。 由于公理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，并通過集合論與其它數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系者?？茽柲炅_夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的貢獻，同時，他還是出色的教育家。由于概率論等其它許多領(lǐng)域的杰出貢獻，科爾莫戈羅夫榮獲80年的沃爾夫獎。 古典概型 幾何概型 統(tǒng)計概型

14、 概率空間的概念泛函分析概論 十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進入了一個新的階段。 由于對歐幾里得第五公設(shè)的研究，引出了非歐幾何這門新的學(xué)科； 對于代數(shù)方程求解的一般思考，最后建立并發(fā)展了群論； 對數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論。 這些新的理論都為用統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準(zhǔn)備了條件。 這時候，函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應(yīng)關(guān)系。 由于分析學(xué)中許多新部門的形成，揭示出分析、代數(shù)、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。 比如，代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法，并

15、且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現(xiàn)得就更為突出了。 泛函分析的產(chǎn)生正是和這種情況有關(guān)，有些乍看起來很不相干的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發(fā)人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬于本質(zhì)的東西。 非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言解釋成多維空間的映像。 這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最后把歐氏空間擴充成無窮維數(shù)的空間。 20世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國數(shù)學(xué)家阿達瑪發(fā)表的著作中，出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的萌芽。 隨后，希爾伯

16、特和海令哲來創(chuàng)了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般分析學(xué)，也就是泛函分析的基本概念。 研究無限維線性空間上的泛函和算子理論，就產(chǎn)生了一門新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。 在二十世紀(jì)三十年代，泛函分析就已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門獨立的學(xué)科了。 度量空間 Banach空間 Hilbert空間 1. 一致有界定理（共鳴定理），該定理描述一族有界算子的性質(zhì)。 2. 譜定理包括一系列結(jié)果，其中最常用的結(jié)果給出了希爾伯特空間上正規(guī)算子的一個積分表達，該結(jié)果在量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理研究了如何將一個算子保范數(shù)地從一個子空間延拓到整個空間。另一個相關(guān)結(jié)果是對

17、偶空間的非平凡性。 4. 開映射定理和閉圖像定理。 泛函分析目前包括以下分支： 軟分析（soft analysis），其目標(biāo)是將數(shù)學(xué)分析用拓撲群、拓撲環(huán)和拓撲向量空間的語言表述。 巴拿赫空間的幾何結(jié)構(gòu)，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。 非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結(jié)果為基礎(chǔ)的。 與量子力學(xué)相關(guān)的理論，狹義上被稱為數(shù)學(xué)物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何

18、化了。比如，不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數(shù)空間。泛函分析對于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運動，實際上需要有新的數(shù)學(xué)工具來描述具有無窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。一般來說，從質(zhì)點力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)?，F(xiàn)代物理學(xué)中的量子場理論就屬于無窮自由度系統(tǒng)。正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求 n維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣，研究無窮自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學(xué)科中。泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最“年輕”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間