平穩(wěn)時(shí)間序列ppt課件

1、9.2 9.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型隨機(jī)時(shí)間序列分析模型一、時(shí)間序列模型的根本概念及其適用性一、時(shí)間序列模型的根本概念及其適用性二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn) 經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型 確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型模型一、時(shí)間序列模型的根本概念及其適用性一、時(shí)間序列模型的根本概念及其適用性1 1、時(shí)間序列模型的根本概念、時(shí)間

2、序列模型的根本概念 隨機(jī)時(shí)間序列模型隨機(jī)時(shí)間序列模型time series modeling是指僅是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來的模型，其用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來的模型，其普通方式為普通方式為 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立詳細(xì)的時(shí)間序列模型，需處理如下三個(gè)問題：建立詳細(xì)的時(shí)間序列模型，需處理如下三個(gè)問題： (1)模型的詳細(xì)方式模型的詳細(xì)方式 (2)時(shí)序變量的滯后期時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的構(gòu)造隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的構(gòu)造 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)項(xiàng) t =t，模型將是一個(gè)，模型將是一個(gè)1階自

3、回歸過程階自回歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t這里，這里， t特指一白噪聲。特指一白噪聲。 普通的p階自回歸過程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(t=t)，那么稱(*)式為一純AR(p)過程pure AR(p) process，記為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)假設(shè)t不是一個(gè)白噪聲，通常以為它是一個(gè)q階的挪動(dòng)平均moving average過程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式給出了一個(gè)純MA(q)過程pure MA(p) proc

4、ess。 將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)普通的自回歸挪動(dòng)平均autoregressive moving average過程ARMAp,q： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式闡明：1一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以經(jīng)過一個(gè)自回歸挪動(dòng)平均過程生成，即該序列可以由其本身的過去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來解釋。2假設(shè)該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以經(jīng)過該序列過去的行為來預(yù)測未來。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢所在。 經(jīng)典回歸模型的問題：經(jīng)典回歸模型的問題： 迄今為止，對一個(gè)時(shí)間序列迄今為

5、止，對一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)展解釋或預(yù)測，的變動(dòng)進(jìn)展解釋或預(yù)測，是經(jīng)過某個(gè)一方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)展的，是經(jīng)過某個(gè)一方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)展的，由于它們以因果關(guān)系為根底，且具有一定的模型構(gòu)造，因由于它們以因果關(guān)系為根底，且具有一定的模型構(gòu)造，因此也常稱為構(gòu)造式模型此也常稱為構(gòu)造式模型structural model。 然而，假設(shè)然而，假設(shè)Xt動(dòng)搖的主要緣由能夠是我們無法解釋的動(dòng)搖的主要緣由能夠是我們無法解釋的要素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，那么利用構(gòu)造式模要素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，那么利用構(gòu)造式模型來解釋型來解釋Xt的變動(dòng)就比較困難或不能夠，由于要獲得相應(yīng)的變動(dòng)

6、就比較困難或不能夠，由于要獲得相應(yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人稱心的回歸模型是很困難的。的量化數(shù)據(jù)，并建立令人稱心的回歸模型是很困難的。 有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為稱心的因果關(guān)系回歸方有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為稱心的因果關(guān)系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預(yù)測本身就非常困難，程，但由于對某些解釋變量未來值的預(yù)測本身就非常困難，甚至比預(yù)測被解釋變量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的甚至比預(yù)測被解釋變量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了?；貧w模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了。2 2、時(shí)間序列分析模型的適用性、時(shí)間序列分析模型的適用性 例如，時(shí)間序列過去能否有明顯的增長趨勢，假設(shè)增長

7、趨勢在過去的行為中占主導(dǎo)位置，能否以為它也會(huì)在未來的行為里占主導(dǎo)位置呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要經(jīng)過序列過去的變化特征來預(yù)測未來的變化趨勢。 運(yùn)用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)緣由在于： 假設(shè)經(jīng)濟(jì)實(shí)際正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)構(gòu)造 ， 那 么 這 一 構(gòu) 造 可 以 寫 成 類 似 于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的方式。 在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測途徑：經(jīng)過時(shí)間在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測途徑：經(jīng)過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)

8、而對時(shí)間序列未來行為進(jìn)展推斷。對時(shí)間序列未來行為進(jìn)展推斷。 例如，對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：例如，對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型： 這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國民收入。 Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的變化決議的。tttCYC12110tttICY上述模型可作變形如下： 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng)It的行為。 假設(shè)It是一個(gè)白噪聲，那么消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸挪動(dòng)平均過程ARMA(1,1)。ttttI

9、CC1111011211111tttttIIYY11121101121111111二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 自回歸挪動(dòng)平均模型ARMA是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍方式，自回歸模型AR和挪動(dòng)平均模型MA是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類模型的研討，是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別和模型的估計(jì)。 1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可經(jīng)過它所生成的隨機(jī)時(shí)間隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可經(jīng)過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判別。序列的平穩(wěn)性來判別。 假設(shè)一個(gè)假設(shè)一個(gè)p階自回歸模型階自回歸模型AR(p)

10、生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說該就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的，模型是平穩(wěn)的， 否那么，就說該否那么，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。模型是非平穩(wěn)的。思索p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*) 引入滯后算子lag operator L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p (*)式變換為 (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 記(L)= (1-1L- 2L2-pLp),那么稱多項(xiàng)式方程 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristic equa

11、tion)。 可以證明，假設(shè)該特征方程的一切根在單位圓外根的模大于1，那么AR(p)模型是平穩(wěn)的。 例9.2.1 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對1階自回歸模型AR(1)tttXX1方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xt的方差)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于Xt僅與t相關(guān)，因此，E(Xt-1t)=0。假設(shè)該模型穩(wěn)定，那么有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：22201X在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |1。 而AR(1)的特征方程01)(zz的根為 z=1/ AR(1)穩(wěn)定，即 | 1，意味著特征根大于1。例例9.2.2 AR(2)9.2.2 AR

12、(2)模型的平穩(wěn)性。模型的平穩(wěn)性。 對對AR(2)AR(2)模型模型 ttttXXX2211方程兩邊同乘以Xt，再取期望得： )(22110ttXE又由于222211)()()()(tttttttEXEXEXE于是 222110同樣地，由原式還可得到0211212011于是方差為 )1)(1)(1 ()1 (21212220由平穩(wěn)性的定義，該方差必需是一不變的正數(shù)，于是有 1+21, 2-11, |2|1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為-2,-1，2,-1，0,1的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 圖圖 9.2.1 AR(2)模模型型的

13、的平平穩(wěn)穩(wěn)域域 對應(yīng)的特征方程1-1z-2z2=0 的兩個(gè)根z1、z2滿足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2 ttttXXX2211AR(2)模型解出1，22121zz21211zzzz 由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1|z2|1，有1)11)(11 (112121212121zzzzzzzz0)11)(11 (21zz于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同樣的結(jié)果。 對高階自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)那么可用來檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是：模型穩(wěn)定的必要條件是： 1

14、+2+p1 (2)由于由于i(i=1,2,p)可正可負(fù)，可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是：模型穩(wěn)定的充分條件是： |1|+|2|+|p|1 對于挪動(dòng)平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一個(gè)白噪聲，于是 2、MA(q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1 (varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX 當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此:有限階挪動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。 由于ARMA (p,q)模型是

15、AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，那么該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否那么，不是平穩(wěn)的。 最后最后 1 1一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型；一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型； 2 2一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通常可以經(jīng)過差分的方法將它變換為一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通?？梢?/p>

16、經(jīng)過差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。 因此，假設(shè)我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列經(jīng)過因此，假設(shè)我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列經(jīng)過d d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，那么我們就說該原模型作為它的生成模型，那么我們就說該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整挪動(dòng)平均始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整挪動(dòng)平均autoregressive integrated autoregressive integrated

17、moving averagemoving average時(shí)間序列，記為時(shí)間序列，記為ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。 例如，一個(gè)例如，一個(gè)ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)次，然后用一個(gè)ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。模型作為它的生成模型的。 當(dāng)然，一個(gè)當(dāng)然，一個(gè)ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)過程表示了一個(gè)純過程表示了一個(gè)純AR(p)AR(p)平穩(wěn)過程；一個(gè)平穩(wěn)過程；一個(gè)ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純

18、表示一個(gè)純MA(q)MA(q)平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程。三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對于一所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的適宜的隨個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的適宜的隨機(jī)過程或模型，即判別該時(shí)間序列是遵照一純機(jī)過程或模型，即判別該時(shí)間序列是遵照一純AR過程、還是遵照一純過程、還是遵照一純MA過程或過程或ARMA過程。過程。 所運(yùn)用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)所運(yùn)用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)autocorrelation function，ACF及偏自相關(guān)及偏自相關(guān)函數(shù)函數(shù)partial a

19、utocorrelation function， PACF 。 1、AR(p)過程過程 (1)自相關(guān)函數(shù)ACF 1階自回歸模型AR(1) Xt=Xt-1+ t 的k階滯后自協(xié)方差為：011)(kkttktkXXE=1,2,因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為 kkk0=1,2, 由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種景象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶infinite memory。 留意， 0時(shí)，呈振蕩衰減狀。 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1, 2分別為階自回歸模型階自回歸模型AR(2) AR(2) 2221100

20、211212011類似地,可寫出普通的k期滯后自協(xié)方差： 22112211)(kktttktkrXXXE(K=2,3,)于是,AR(2)的k 階自相關(guān)函數(shù)為： 2211kkk(K=2,3,)其中 :1=1/(1-2), 0=1假設(shè)假設(shè)AR(2)AR(2)穩(wěn)定，那么由穩(wěn)定，那么由1+1+2121知知| |k|k|衰減趨于零，呈衰減趨于零，呈拖尾狀。拖尾狀。至于衰減的方式，要看至于衰減的方式，要看AR(2)AR(2)特征根的實(shí)虛性，假設(shè)為實(shí)根，特征根的實(shí)虛性，假設(shè)為實(shí)根，那么呈單調(diào)或振蕩型衰減，假設(shè)為虛根，那么呈正弦波型衰那么呈單調(diào)或振蕩型衰減，假設(shè)為虛根，那么呈正弦波型衰減。減。 普通地，p階自

21、回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + tk期滯后協(xié)方差為: pkpkktptpttKtkXXXXE22112211)(從而有自相關(guān)函數(shù) :pkpkkk2211 可見，無論k有多大， k的計(jì)算均與其到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。 假設(shè)AR(p)是穩(wěn)定的，那么|k|遞減且趨于零。 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|p，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。 AR(p)的一個(gè)主要特征是:kp時(shí)，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原那么：一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別

22、原那么：假設(shè)假設(shè)Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，即以后截尾，即kp時(shí)，時(shí)，k*=0，而它的自相關(guān)函數(shù)而它的自相關(guān)函數(shù)k是拖尾的，那么此序列是自回歸是拖尾的，那么此序列是自回歸AR(p)序列。序列。 在實(shí)踐識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kp時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下動(dòng)搖。但可以證明，當(dāng)kp時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，假設(shè)計(jì)算的rk*滿足 需指出的是，需指出的是，我們就有95.5%的把握判別原時(shí)間序列在p之后截尾。nrk2|* 對MA(1)過程 2、MA(q)

23、過程 1tttX可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)： 0)1 (3221220于是，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為：0)1 (3221可見，當(dāng)k1時(shí)，k0，即Xt與Xt-k不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 MA(1)過程可以等價(jià)地寫成過程可以等價(jià)地寫成t關(guān)于無窮序列關(guān)于無窮序列Xt，Xt-1，的線性組合的方式：的線性組合的方式：221ttttXXX或ttttXXX221* (*)是一個(gè)AR()過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 留意: (*)式只需當(dāng)|1時(shí)才有意義，否那么意味著距Xt越遠(yuǎn)的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們

24、把|q時(shí)， Xt與Xt-k不相關(guān)，即存在截尾景象，因此，當(dāng)kq時(shí)， k=0是MA(q)的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)能否從某一點(diǎn)開場不斷為0來判別MA(q)模型的階。 與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)那么：假設(shè)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后，k=0 kq；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，那么此序列是滑動(dòng)平均MA(q)序列。 同樣需求留意的是：在實(shí)踐識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kq時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下動(dòng)搖。但可以證明，當(dāng)kq時(shí)，rk服從如下漸近正態(tài)分布:

25、rkN(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，假設(shè)計(jì)算的rk滿足：nrk2|我們就有95.5%的把握判別原時(shí)間序列在q之后截尾。 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)； 當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看，通常： ARMA(p，q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF能夠在p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱spikes，但從p階滯后項(xiàng)開場逐漸趨向于零； 而它的自相關(guān)函數(shù)ACF那么是在q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從q階滯后項(xiàng)開場逐漸趨向于零。 3 3、ARMA(p, q)ARMA(p

26、, q)過程過程 表表 9.2.1 ARMA(p,q)模模型型的的 ACF 與與 PACF 理理論論模模式式 模型 ACF PACF 白噪聲 0k 0*k AR(p) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾：0*k，kp MA(q) q階后截尾： ，0k，kq 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） ARMA(p,q) q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p階后衰減趨于零 （幾何型或振蕩型） 圖圖 9.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF與與 PACF理論模式理論模式 ACF PACF 模型模型 1： tttXX17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.2

27、0.40.60.812345678PACF1 模型 2： tttXX17 . 0 模型 3： 17 . 0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3 模型 4：ttttXXX2149. 07 . 0 模型 5：117 . 07 . 0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.

28、612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多，大體上分為3類： 1最小二乘估計(jì)； 2矩估計(jì)； 3利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 下面有選擇地加以引見。構(gòu)造階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù) AR(p) AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估計(jì)方程估計(jì) 在AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到 pkpkkk2211利用k=-k，得到如下方程組： kpp

29、ppppppp12112211211211 此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,p的關(guān)系， 利用實(shí)踐時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的利用實(shí)踐時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值估計(jì)值 然后利用然后利用Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值值, 12p, 12p12011102120112pppppp由于 ptptttXXX11于是 pjiijjitE1,022從而可得2的估計(jì)值 pjiijji1,02在詳細(xì)計(jì)算時(shí)，k可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。 MA(q) MA(

30、q)模型的矩估計(jì)模型的矩估計(jì) 將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個(gè)量用估計(jì)量替代，得到： qkqkkqkqkkqk當(dāng)當(dāng)當(dāng)01)(0)1 (112222212 首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值，(*)是一個(gè)包含(q+1)個(gè)待估參數(shù) (*)221,q的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。 常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。 1MA(1)模型的直接算法 對于MA(1)模型，*式相應(yīng)地寫成1212120)1 (于是 211021204或0212410有于是有解 )411 (22102)411 (2211211 由于參數(shù)估計(jì)有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|1的MA(q)模

31、型，普通用迭代算法估計(jì)參數(shù)： 由*式得 qkqkkkkq12211222102第一步，給出第一步，給出的一組初值，比如k,21202)0(0)0()0()0(21k代入*式，計(jì)算出第一次迭代值 02) 1 (0) 1 (kk* 第二步，將第一次迭代值代入*式，計(jì)算出第二次迭代值 )1 () 1 () 1 () 1 ()2()1 () 1 (1/()2(11022102qkqkkkq 按此反復(fù)迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時(shí)滿足一定的精度，便停頓迭代，并用第m步的迭代結(jié)果作為*的近似解。 ARMA(p,q) ARMA(p,q)模型的矩估計(jì)模型的矩估計(jì) 在ARMA(p,q

32、)中共有(p+q+1)個(gè)待估參數(shù)1,2,p與1,2,q以及2，其估計(jì)量計(jì)算步驟及公式如下： 第一步，估計(jì)1,2,p 1211112112pqqqpqqqpqpqpqqqqp k是總體自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。 第二步，改寫模型，求1,2,q以及2的估計(jì)值 將模型 tptptttXXXX2211qtqtt2211 改寫為： tptptttXXXX2211qtqtt2211令 ptpttttXXXXX2211于是(*)可以寫成： (*)qtqttttX2211 構(gòu)成一個(gè)MA模型。按照估計(jì)MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,q以及2的估計(jì)值。 AR(p) AR(p)的最小二乘估

33、計(jì)的最小二乘估計(jì) 假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計(jì)值曾經(jīng)得到，即有 tptptttXXXX2211 殘差的平方和為： 21221112)() (nptptptttnpttXXXXS(*) 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值是以下方程組的解： Sj 0即 0)(12211jtnptptptttXXXXXj=1,2,p (*) 解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。 為了與AR(p)模型的Yule Walker方程估計(jì)進(jìn)展比較，將(*)改寫成： nptjttnptjtptpnptjttnptjttXXnXXnXXnXXn111221111j=1,2,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值

34、knpttktkXXn11代入，上式表示的方程組即為： jpjpjj2211或 jpjpjjrrrr2211j=1,2,pj=1,2,p解該方程組，得到： pppppprrrrrrrrrrrr21102120111021即為參數(shù)的最小二乘估計(jì)。 Yule Walker方程組的解12011102120112pppppp比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時(shí)，二者是類似的。 2的估計(jì)值為： pnSpnnptt1221 需求闡明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。 假設(shè)包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，由于經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)

35、項(xiàng)的模型。 下面以普通的ARMA(p,q)模型為例闡明。 對含有常數(shù)項(xiàng)的模型 qtqttptpttXXX1111方程兩邊同減/(1-1-p)，那么可得到 qtqttptpttxxx1111其中piiXx11pttti, 1,五、模型的檢驗(yàn)五、模型的檢驗(yàn) 由于ARMA(p,q)模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲的根底上進(jìn)展的，因此，假設(shè)估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。 假設(shè)經(jīng)過所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪聲，那么闡明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。 在實(shí)踐檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列能否存在自相關(guān)。1 1、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn)、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn) 可用可用Q

36、LB的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)展的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)展2檢驗(yàn)：在給定顯著性程度下，檢驗(yàn)：在給定顯著性程度下，可計(jì)算不同滯后期的可計(jì)算不同滯后期的QLB值，經(jīng)過與值，經(jīng)過與2分布表中的相應(yīng)臨分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來檢驗(yàn)?zāi)芊窕亟^殘差序列為白噪聲的假設(shè)。界值比較，來檢驗(yàn)?zāi)芊窕亟^殘差序列為白噪聲的假設(shè)。 假設(shè)大于相應(yīng)臨界值，那么應(yīng)回絕所估計(jì)的模型，需假設(shè)大于相應(yīng)臨界值，那么應(yīng)回絕所估計(jì)的模型，需重新識(shí)別與估計(jì)。重新識(shí)別與估計(jì)。 2 2、AICAIC與與SBCSBC模型選擇規(guī)范模型選擇規(guī)范 另外一個(gè)遇到的問題是，在實(shí)踐識(shí)別另外一個(gè)遇到的問題是，在實(shí)踐識(shí)別ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有能夠存在不

37、止模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有能夠存在不止一組一組p,qp,q值都能經(jīng)過識(shí)別檢驗(yàn)。值都能經(jīng)過識(shí)別檢驗(yàn)。 顯然，添加顯然，添加p p與與q q的階數(shù)，可添加擬合優(yōu)度，但的階數(shù)，可添加擬合優(yōu)度，但卻同時(shí)降低了自在度。卻同時(shí)降低了自在度。 因此，對能夠的適當(dāng)?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷囊虼?，對能夠的適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，存在著模型的“簡簡約性與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題。約性與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題。 其中，n為待估參數(shù)個(gè)數(shù)p+q+能夠存在的常數(shù)項(xiàng)，T為可運(yùn)用的觀測值，RSS為殘差平方和Residual sum of squares。 在選擇能夠的模型時(shí)，AIC與SBC越小越好 顯然，假設(shè)添加的滯后項(xiàng)沒有解釋才

38、干，那么對RSS值的減小沒有多大協(xié)助，卻添加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此使得AIC或SBC的值添加。 需留意的是：在不同模型間進(jìn)展比較時(shí)，必需選取一樣的時(shí)間段。 常用的模型選擇的判別規(guī)范有：赤池信息法常用的模型選擇的判別規(guī)范有：赤池信息法Akaike information criterion，簡記為，簡記為AIC與施瓦茲貝葉斯法與施瓦茲貝葉斯法Schwartz Bayesian criterion，簡記為，簡記為SBC：)ln()ln(2)ln(TnRSSTSBCnRSSTAIC 由第一節(jié)知：中國支出法由第一節(jié)知：中國支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法差分

39、是平穩(wěn)的，即支出法GDP是是I(1)時(shí)間序列。時(shí)間序列。 可以對經(jīng)過一階差分后的可以對經(jīng)過一階差分后的GDP建立適當(dāng)?shù)慕⑦m當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)模模型。型。 記記GDP經(jīng)一階差分后的新序列為經(jīng)一階差分后的新序列為GDPD1，該新序列的，該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下：樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下：-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1AC-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1PAC 例例9.2.3 中國支出法中國支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估計(jì)。模

40、型估計(jì)。 圖形：樣本自相關(guān)函數(shù)圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關(guān)函數(shù)圖形那么在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判別該序列滿足2階自回歸過程AR(2)。表表 9.2.2 中國中國 GDP一階差分序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)一階差分序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0.216-0.02

41、250.0870.07711-0.282-0.19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002426. 0222|*kr 自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值：自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值： 相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性；相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關(guān)函數(shù)值在偏自相關(guān)函數(shù)值在k2以后，以后，可以為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的可以為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的GDP滿足滿足AR(2)隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。設(shè)序列GDPD1的模型方式為 ttttGDPDGDPDGDPD2211111有如下Yule Wa

42、lker 方程： 622. 0859. 01859. 0859. 01121解為： 442. 0,239. 121用用OLSOLS法回歸的結(jié)果為：法回歸的結(jié)果為： ttttGDPDGDPDGDPD211653. 01593. 11 7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有時(shí)，在用回歸法時(shí)，也可參與常數(shù)項(xiàng)。 本例中參與常數(shù)項(xiàng)的回歸為： ttttGDPDGDPDGDPD211678. 01495. 159.9091 1.99 7.74 -3.58 r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 下表列出三模型的殘差項(xiàng)的自

43、相關(guān)系數(shù)及QLB檢驗(yàn)值。 模型1與模型3的殘差項(xiàng)接近于一白噪聲，但模型2存在4階滯后相關(guān)問題，Q統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)也得出模型2回絕一切自相關(guān)系數(shù)為零的假設(shè)。因此: 模型1與3可作為描畫中國支出法GDP一階差分序列的隨機(jī)生成過程。表表 9.2.3 模模型型殘殘差差項(xiàng)項(xiàng)的的自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)及及 Q檢檢驗(yàn)驗(yàn)值值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893 -0.139 2.0077 -0.040 1.5646 3 -0.132 3.84

44、27 -0.246 3.5677 -0.059 1.6554 4 -0.341 7.0391 -0.529 11.267 -0.328 4.6210 5 -0.170 7.8910 -0.300 13.908 -0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17.541 0.076 10.059 9 -0.019 10.745 0.097 17.914 0.011 10.064 10 -0.146 11.685

45、 -0.036 17.969 -0.123 10.728 11 -0.233 14.329 -0.136 18.878 -0.230 13.319 12 -0.049 14.461 0.064 19.104 -0.012 13.328 用建立的用建立的AR(2)AR(2)模型對中國支出法模型對中國支出法GDPGDP進(jìn)展外推預(yù)測。進(jìn)展外推預(yù)測。 模型1可作如下展開： )()(3222111ttttttGDPGDPGDPGDPGDPGDP3221211)()1 (ttttGDPGDPGDPGDP 于是，當(dāng)知t-1、t-2、t-3期的GDP時(shí)，就可對第t期的GDP作出外推預(yù)測。 模型3的預(yù)測式與此相

46、類似，只不過多出一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。 對2019年中國支出法GDP的預(yù)測結(jié)果億元 預(yù)測值 實(shí)踐值 誤差 模型1 95469 95933 -0.48% 模型3 97160 95933 1.28% 由于中國人均居民消費(fèi)由于中國人均居民消費(fèi)CPC與人均國內(nèi)消費(fèi)總值與人均國內(nèi)消費(fèi)總值GDPPC這兩時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，因此不宜直接建立這兩時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，因此不宜直接建立它們的因果關(guān)系回歸方程。它們的因果關(guān)系回歸方程。 但它們都是但它們都是I(2)時(shí)間序列，因此可以建立它們的時(shí)間序列，因此可以建立它們的ARIMA(p,d,q)模型。模型。 下面只建立中國人均居民消費(fèi)下面只建立中國人均居民消費(fèi)CPC的隨機(jī)時(shí)間序列的隨機(jī)時(shí)間序列模型。模型。 中國人均居民消費(fèi)中國人均居民消費(fèi)CPC經(jīng)過二次差分后的新序列記經(jīng)過二次差分后的新序列記為為CPCD2，其自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)及，其自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)及Q統(tǒng)計(jì)量的值統(tǒng)計(jì)量的值列于下表：列于下表： 例例9.2.4 中國人均居民消費(fèi)的中國人均居民消費(fèi)的ARMA(p,q)模型模型 在5%的顯著性程度下，經(jīng)過Q統(tǒng)計(jì)量容易驗(yàn)證該序列本身就接近于一白噪聲，因此可思索采用零階MA(0)模型: 表表 9 9. .2 2. .4 4 C CP PC CD D2 2 序序列列的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)與與 Q Q 統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量值值 k ACF PAC