高中數(shù)學(xué) 7.6《數(shù)列的通項求法》學(xué)案1（教師用） 新人教A版必修5

1、7.6數(shù)列的通項求法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握求數(shù)列通項公式的常用方法二、自主學(xué)習(xí)：【課前檢測】1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，。求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：，2已知數(shù)列的前項和滿足。求數(shù)列的通項公式。解：由當(dāng)時，有，經(jīng)驗證也滿足上式，所以3已知數(shù)列中，且，其前項和為，且當(dāng)時，（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項公式。解：（）當(dāng)時， 化簡得， 又由，可推知對一切正整數(shù)均有， 數(shù)列是等比數(shù)列 （）由（）知等比數(shù)列的首項為1，公比為，當(dāng)時，又，【考點梳理】通項公式的求法（7種方法）1.定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的

2、定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項觀察出通項公式。2.公式法：在數(shù)列an中，前n項和Sn與通項an的關(guān)系為： (數(shù)列的前n項的和為).3.構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能

3、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵危箚栴}得以解決.4.歸納猜想證明法解法：數(shù)學(xué)歸納法5已知數(shù)列前項之積Tn，一般可求Tn-1，則an（注意：不能忘記討論）.如：數(shù)列中，對所有的都有，則_.6.由遞推式求數(shù)列通項類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 （1）遞推

4、公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，這就是疊（迭）代法的基本模式。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。7.周期數(shù)列解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。（一）數(shù)列的通項公式一個數(shù)列an的 與 之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個公式anf(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式三、合作探究：題型1 周期數(shù)列例1 若數(shù)列滿足，若，則=_。答案：。變式訓(xùn)練1 （2005，湖南文5）已知數(shù)列滿足，則=（ B ）A0 B

5、 C D小結(jié)與拓展：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。題型2 遞推公式為，求通項例2 已知數(shù)列，若滿足，求。答案：變式訓(xùn)練2 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，小結(jié)與拓展：在運用累加法時,要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.題型3 遞推公式為，求通項例3 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，變式訓(xùn)練3 已知， ，求。解： 。小結(jié)與拓展：在運用累乘法時,還是要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.題型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，），求通項例4 在數(shù)列中，當(dāng)時，有，求的通項公式。解法1：設(shè)，即有，對比，得，于是得，數(shù)列是以為

6、首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以有。解法2：由已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。變式訓(xùn)練4 在數(shù)列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數(shù)列的通項an=_2n+1-3_.小結(jié)與拓展：此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項為。二是用做差法直接構(gòu)造，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型.題型5 構(gòu)造法：1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比

7、數(shù)列例5 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.變式訓(xùn)練5 數(shù)列中前n項的和，求數(shù)列的通項公式.解：當(dāng)n2時，令，則，且是以為公比的等比數(shù)列，.小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.題型6 構(gòu)造法：2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式。例6 設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項公式an.解：由題設(shè)得.，.題型7 構(gòu)造法：3）構(gòu)造商式

8、與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.例7 數(shù)列中，前n項的和，求.解： ，題型8 構(gòu)造法：4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵危箚栴}得以解決.例8 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，變式訓(xùn)練5 已知數(shù)列中，n2時，求通項公式.解：，兩邊取倒數(shù)得. 可化為等差數(shù)列關(guān)系式. 題型9 歸納猜想證明例9 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項公式 解：()當(dāng)n1時，x2a1xa10有一根為S11a11于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1 ()由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0 當(dāng)n2時，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10 由()知S1a1，S2a1a2 由可得S3 由此猜想Sn，n1，2，3，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論(i)n1時已知結(jié)論成立 (ii)假設(shè)nk時結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時，由得Sk1，即Sk1