余弦定理的應(yīng)用

1、第42課 正弦、余弦定理的應(yīng)用考試目標(biāo) 主詞填空1.三角形中的邊角關(guān)系三角形內(nèi)角和等于180°；三角形中任意兩邊之和大小第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC，其中R是ABC外接圓半徑.在余弦定理中:2bccosA=.三角形的面積公式有:S=ah,S=absinC,S=其中，h是BC邊上高，P是半周長(zhǎng).2.利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形已知兩角及一邊，求其它邊角，常選用正弦定理.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，常選用正弦定理.已知三邊

2、，求三個(gè)角，常選用余弦定理.已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用余弦定理.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用正弦定理.3.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀常用方法是：化邊為角；化角為邊.4.解斜三角形在實(shí)際中的運(yùn)用常用的方法是:將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問(wèn)題.題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 在ABC中,a、b、c成等差數(shù)列，求證:2cos=cos.【解前點(diǎn)津】 化邊為角，利用三角形內(nèi)角和定理，消去角B,然后向“目標(biāo)”靠攏.【規(guī)范解答】 a、b、c成等差數(shù)列，2b=a+c,由正弦定理得:2(2RsinB)=2RsinA+2RsinC即2sinB=sinA+sinC,

3、因B=-(A+C)故2sin(A+C)=sinA+sinC2·2sin·cos=2·sin·cos而sin>0故2cos=cos.【解后歸納】 在三角形中論證三角等式，關(guān)鍵是確定轉(zhuǎn)化目標(biāo)，即:是化邊為角，還是化角為邊，綜合運(yùn)用三角公式或邊角關(guān)系式進(jìn)行推導(dǎo)論證.【例2】 在ABC中,已知=a,b=,B=45°,求A、C及c.【解前點(diǎn)津】 這是一個(gè)已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的問(wèn)題，可用正弦定理求解，但先要判定ABC是否有解，有幾解，亦可用余弦定理求解.【規(guī)范解答】 B=45°<90°,且b<a,ABC有兩解:

4、由正弦定得:sinA=,A=60°或120°.當(dāng)A=60°時(shí),C=75°C=.當(dāng)A=120°時(shí),C=15°C=.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.【解后歸納】 因sinA=sin(-A),故在解三角形中要考慮多種情況，靈活使用正、余弦定理,關(guān)鍵是將“條件”對(duì)號(hào).【例3】 在ABC中,若a3+b3-c3=c2·(a+b-c),sinA·sinB=,試判定ABC的形狀.【解前點(diǎn)津】 給定的條件既有邊長(zhǎng)關(guān)系式，又有含角度的三角函數(shù)式，可以設(shè)法都化為角度

5、關(guān)系去思考，注意到已知條件與余弦定理的聯(lián)系，可求出C,從而問(wèn)題得解.【規(guī)范解答】 由a3+b3+(-c3)=c2·(a+b-c)得:a3+b3=(a+b)·c2分解之:(a+b)·(a2-ab+b2)=(a+b)·c2a2-ab+b2=c2a2+b2-c2=ab,cosC=,C=,A+B=.又sinA·sinB=,則-·cos(A+B)-cos(A-B)=,cos(A-B)=1故A=B=,因而ABC為正三角形.【解后歸納】 判斷三角形的形狀，通常是兩條思路:對(duì)條件變形后，可計(jì)算各角度或推導(dǎo)角度關(guān)系式，從而判定三角形的形狀.通過(guò)對(duì)條件的

6、變形，推導(dǎo)計(jì)算出各邊之長(zhǎng)，或邊長(zhǎng)滿足的特殊關(guān)系式，從而判斷三角形的形狀.【例4】 飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10250m,速度為180km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°30,經(jīng)過(guò)120秒后又看到山頂?shù)母┙菫?1°,求山頂?shù)暮０胃叨?精確到1m).【解前點(diǎn)津】依據(jù)條件，飛行員的兩次觀測(cè)點(diǎn)和山頂可構(gòu)成一個(gè)三角形，明確了該三角形中的已知量與未知量后，就可以解斜三角形.【規(guī)范解答】設(shè)飛行員的兩次觀測(cè)點(diǎn)依次為A和B，山頂為M，山頂?shù)街本€AB的距離為MD,.例4題圖解在ABM中，由條件知:A=18°30,B=99°,M=62

7、76;30.又AB=180×=6km.根據(jù)正弦定理,可得BM=進(jìn)而求得:MD=MD2120m.山頂?shù)暮０胃叨葹?0250-2120=8130m.【解后歸納】 依據(jù)題目背景，畫(huà)出平面圖形或空間圖形，從中篩選直角三角形或斜三角形，是解此類(lèi)應(yīng)用題的基本要領(lǐng).將實(shí)際問(wèn)題與三角形中的邊、角對(duì)號(hào)，從而明確那些是已知量，那些是未知量.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.在ABC中,已知cosA=,sinB=,則cosC的值為 ( )A. B. C.或 D.-2.在ABC中,若sinB·sinC=cos2,則ABC是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形3

8、.在ABC中,A、B、C三個(gè)角的對(duì)邊分別為a、b、c,若a=1,c=,C=40°,則符合題意的b值有 ( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.0個(gè)4.在ABC中,A=60°,b=1,SABC=,則等于 ( )A. B. C. D.25.ABC中,sinAsinBsinC=35,則C為 ( )A.30° B.60° C.45° D.150°6.在ABC中,若a=,=1且ABC的面積為15,則三角形的三個(gè)內(nèi)角為 ( )A.A=90°,B=C=45° B.A=B=C=60°C.A=150°,B=C=1

9、5° D.A=120°,B=C=30°7.在銳角三角形ABC中,C=2·B,則 ( )A.(0,2) B.(,2) C.(,) D.(,2)8.在ABC中,M是BC邊上的一點(diǎn)，AB=12,AM=13,BM=7,C=60°,則AC邊長(zhǎng)等于 ( )A.6 B.6 C.8 D.89.在ABC中,三個(gè)角滿足2A=B+C,且最大邊與最小邊分別是方程:3x2-27x+32=0的兩根，則ABC的外接圓的面積是 ( )A. B. C. D.10.已知A,B,C是ABC的三內(nèi)角，且方程x2+x·cosA·cosB-1+cosC=0的兩根之積是

10、兩根之和的兩倍，則ABC的形狀是 ( )A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形二、思維激活11.設(shè)A是ABC中的最小角，且cosA=,則實(shí)數(shù)a的范圍是 .12.在ABC中,若a2+b2+c2=8R2(R為外接圓半徑)，則ABC的形狀是 . 13.設(shè)D、C、B三點(diǎn)依次在地面同一直線上，DC=a,從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是、,(<),則A點(diǎn)離地面的高AB等于 .14.甲、乙兩樓相距20m,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,甲、乙兩樓的高分別是 .三、能力提高15.在ABC中,已知b=a(-1),c=30

11、76;,求角A,B.16.已知ABC的面積S=,a=2,b=2,解此三角形.17.在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?由此點(diǎn)向塔頂沿直線走30m,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?,再向塔前進(jìn)10m,又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?,求塔高.18.在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,證明:=.第6課 正弦、余弦定理的應(yīng)用習(xí)題解答1.A cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=sinA·sinB-cosA·cosB=×-×=.2.A 由sinB·sinC=-cos(B+C)-cos(B-C)=cos(B-C)=1B-C=0.第4題圖解3.D 由正弦定

12、理得:sinC=sinA,C<A,當(dāng)0<A90°時(shí)sinC<sinAsinA<sinA,<0這是一個(gè)矛盾的式子，當(dāng)A>90°這是不可能的.4.C 由正弦定理:原式=2R由得c=4,再由余弦定理得a=132R=.5.B 由條件不妨設(shè)sinA=3t,sinB=5t,sinC=tsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB從而=3t·解之t2=,sinC=又C最大,C=60°.6.D ab=60,ab=30ab·sinC=30·sinC=15sinC=,B=C=30°. 7.C

13、 C=2B,sinC=2sinBcosB即sinC=2sinBcosB,A+B+C=且C=2B,A+3B=即0<3B<,0<B<,cosB,1<<=.第8題圖解8.D 如圖所示:設(shè)AC=x,AMC=,在ABM中,由余弦定理得:(12)2=72+132-2×7×13·cos(-)cos=,sin=,在AMC中,由正弦定理得:x=,選D.9.B A+B+C=180°,A=60°,B+C=120°又b+c=9,b·c=,sinB+sinC=,sinB·sinC=2sin60°

14、·cos=,-cos(B+C)-cos(B-C)=故:cos=且cos(B-C)=2解之:R=S=R2=.10.B 由條件得:2(-cosAcosB)=-1+cosC即2cosAcosB=1-cosCcos(A+B)+cos(A-C)=1-cosCcos(A-C)=1A=C.11.A最小,0<A60°cosA<1,即:<1-<00<2a3. 12.由正弦定理得:sin2A+sin2B+sin2C=2即cos2A+cos2B=-(1+cos2C)-2cos2C=2cos(A+B)cos(A-B)-2cos2C=-2cosC·cos(A-

15、B)cosC=0或cos(A-B)=cosCABC為直角三角形. 13.如圖所示,在ABC中,AD=.第14題圖解第13題圖解14.如圖所示,設(shè)AB是乙樓，CD是甲樓，在RtACD中,AC=20,CAD=60°,CD=AC·tan60°=20,AD=40.在ABD中,AD=40,BDA=30°,ABD=120°,AB=.15.由余弦定理:cosC=cos30°=，用已知條件將此式變形為:a2+a2(4-2)-c2=·a2(-1),c2=(2-)·a2,c=,由正弦定理得:,sinB=·sin30°

16、;=,B=45°或B=135°,a>b,A>B,故B是銳角,B=45°A=180°-(45°+30°)=105°.16.S=ab·sinC,即=·(2)·2·sinC,sinC=,C=30°或C=150°.若C=30°,則c2=a2+b2-2ab·cosC=12+4-2×2×2×=4,c=2,sinA=,A>B,A=60°時(shí)B=90°舍去,A=120°時(shí)B=30°.若C=150°,則c=12+4-2·2&#