機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)--01信號及描述ppt課件

1、教學講稿教學講稿 1河北工程大學Hebei University of Engineering 第一章第一章 信號及描述信號及描述 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)2河北工程大學Hebei University of Engineering 第一章第一章 信號及描述信號及描述第一節(jié)第一節(jié) 信號的分類與描述信號的分類與描述第二節(jié)第二節(jié) 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜第三節(jié)第三節(jié) 瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜第四節(jié)第四節(jié) 隨機信號隨機信號 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)3河北工程大學Hebei University of Engineering 信號無處

2、不在，應用于生產(chǎn)生活各方面。通信古老通信方式：烽火、旗語、信號燈。近代通信方式：電報、電話、無線通訊?，F(xiàn)代通信方式：計算機網(wǎng)絡(luò)通信、視頻電視傳播、衛(wèi)星傳輸、移動通信。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)4河北工程大學Hebei University of Engineering 心電圖波形心電圖波形醫(yī)學 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)5河北工程大學Hebei University of Engineering 序序機械設(shè)備運行狀態(tài)監(jiān)測與分析 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)6河北工程大學Hebei University of Engineering 第一節(jié)第一節(jié) 信號的

3、分類與描述信號的分類與描述按照不同的分類標準，常見有三種分類方法：確定性信號和隨機信號確定性信號和隨機信號連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號和離散信號1.能量信號和功率信號能量信號和功率信號一、信號的分類一、信號的分類 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)7河北工程大學Hebei University of Engineering 1. 確定性信號和隨機信號確定性信號和隨機信號 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)8河北工程大學Hebei University of Engineering 確定性信號：能用明確的數(shù)學關(guān)系式或圖像表達的信號稱為確定性信號。 )cos()(0tmkAtx0 x(t

4、) 0 0Atmx(t)k例：單自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)作無阻尼自由振動。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)9河北工程大學Hebei University of Engineering 周期信號：按一定的時間間隔周而復始、重復出現(xiàn)，無始無終的信號。)/(0mk周期：滿足上式的最小T 值。頻率：周期的倒數(shù)，f = 1/T，單位：（Hz 赫茲）圓頻率（角頻率）：頻率f 乘以2, 即 =2 f =2 /T 實際應用中，n 通常取為正整數(shù)。數(shù)學表達：), 2, 1()()(0nnTtxtxT0 = 2 / 0 =1/ f0 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)10河北工程大學Hebei Univ

5、ersity of Engineering 1. 可以是頻率單一的正弦信號，如2. 也可以是多個頻率成分組成的復雜周期信號，如 x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 tx(t)t0)sin()(00tAtx如周期方波信號x(t)0tT0000( )(),1,2,3,(02)( )(20)x tx tnTnAtTx tATt 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)11河北工程大學Hebei University of Engineering 非周期信號分為準周期信號與瞬變非周期信號。準周期信號：由多個頻率成分疊加而成，但不存在公共周期。ttAtAtx31sin9sin)(

6、例：例：瞬變非周期信號：在有限時間段存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號。：在有限時間段存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號。x(t)tttxtsine)(例如質(zhì)量彈簧系統(tǒng)有阻尼振動的位移方程：例如質(zhì)量彈簧系統(tǒng)有阻尼振動的位移方程： 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)12河北工程大學Hebei University of Engineering 隨機信號：又稱為非確定性信號，是無法用明確的數(shù)學關(guān)系式表達的信號。如：加工零件的尺寸、機械振動、環(huán)境的噪聲等。隨機信號具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預估性，采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。0tx(t

7、)隨機信號：白噪聲隨機信號：白噪聲t0 x(t)隨機信號：隨機信號：疊加白噪聲的正弦信號疊加白噪聲的正弦信號根據(jù)是否滿足平穩(wěn)隨機過程的條件，非確定性信號又可以分為平穩(wěn)隨機信號和非平穩(wěn)隨機信號。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)13河北工程大學Hebei University of Engineering 2. 連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號和離散信號與獨立變量均離散）數(shù)字信號（信號的幅值量離散）一般離散信號（獨立變離散信號量連續(xù)）一般連續(xù)信號（獨立變與獨立變量均連續(xù)）模擬信號（信號的幅值連續(xù)信號t0連續(xù)信號連續(xù)信號t0離散信號離散信號實際應用中，連續(xù)信號與模擬信號不于區(qū)分，離散信號與數(shù)字信

8、號往往混用。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)14河北工程大學Hebei University of Engineering )()(2txtPdttxdttPtE)()()(2dttxtE)()(2ttxttttPttd )(1),(2121221信號的瞬時功率：信號能量：時，稱信號為能量（有限）信號，2. 當信號在有限區(qū)間（t1, t2）上的平均功率 如各類瞬變信號。3. 能量信號和功率信號能量信號和功率信號1. 當稱信號為功率（有限）信號，如周期信號、準周期信號、隨機信號等。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)15河北工程大學Hebei University of Engi

9、neering 1. 信號的時域描述 以時間為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征， 反映信號幅值隨時間變化的關(guān)系。 時域波形圖：時間為橫坐標的幅值變化圖。 優(yōu)點：形象、直觀。 缺點：不能明顯揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（頻率組成關(guān)系）。二、信號的描述二、信號的描述 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)16河北工程大學Hebei University of Engineering 2. 信號的頻域描述應用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換，對信號進行變換（分解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的函數(shù)關(guān)系。頻譜圖：以頻率為橫坐標的幅值、相位變化圖。l 幅頻譜（幅值譜）：幅值-頻率圖l 相頻譜（相位譜）：相

10、位-頻率圖頻域描述抽取信號內(nèi)在的頻率組成及其幅值和相角的大小，描述更簡練、深刻、方便。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)17河北工程大學Hebei University of Engineering 信號時域與頻域描述的關(guān)系： 時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換， 兩者蘊涵的信息相同。 時域描述與頻域描述各有用武之地。 工程中直接測得的通常是時域信號，將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域稱為頻譜分析，屬于信號的變換域分析。 采用頻譜圖描述信號，需要同時給出幅頻譜和相頻譜。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)18河北工程大學Hebei University of Engineering )

11、02()20()(, 3, 2, 1),()(000tTATtAtxnnTtxtx例：周期方波信號的時域、頻域描述例：周期方波信號的時域、頻域描述時域描述一種方式是數(shù)學表達式另一種方式是時域波形圖 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)19河北工程大學Hebei University of Engineering 頻域描述tnnAtttAtxn00000) 12sin(12145sin513sin31sin4)(002T，幅值譜幅值譜相位譜相位譜用傅里葉級數(shù)展開，數(shù)學表達式變?yōu)椋嚎偨Y(jié)：若( )sin()x tAt，則它在頻率軸上處有幅值，幅值為A。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)2

12、0河北工程大學Hebei University of Engineering 周期方波信號的時域、頻域描述 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)21河北工程大學Hebei University of Engineering 在有限的區(qū)間上，凡滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)（信號）可以展開成傅立葉級數(shù)。 狄里赫利（狄里赫利（Dirichet）條件）條件: 在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。 在一在一個個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。 在一在一個個周期內(nèi)，信號絕對可積，即周期內(nèi)，信號絕對

13、可積，即: Tttttx00d| )(|一、傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式第二節(jié)第二節(jié) 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)22河北工程大學Hebei University of Engineering )sincos()(0010tnbtnaatxnnnttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000其中其中則可以展開為則可以展開為常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)23河北工程大學Hebei University of E

14、ngineering )3sin()2sin()sin()sin()(032021010010nnnntAtAtAAtnAAtx22nnnbaAnnnbaarctan式中式中進一步，可以改寫為進一步，可以改寫為An：第n次諧波的幅值； n：第n次諧波的初相角 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)24河北工程大學Hebei University of Engineering 例：周期性三角波的傅里葉級數(shù)例：周期性三角波的傅里葉級數(shù) , 3, 2, 1),()()20(2)02(2)(00000nnTtxtxTttTAAtTtTAAtx0T0/2-T0/2Ax(t)t. . . . . 機械工

15、程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)25河北工程大學Hebei University of Engineering 解：解：2d)2(2d)(12/0002/2/00000AttTAATttxTaTTT2/00002/2/00000dcos)2(4dcos)(2TTTnttntTAATttntxTa), 6, 4, 2(0), 5, 3, 1(42sin422222nnnAnnA0sin)(22/2/0000TTndttntxTb 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)26河北工程大學Hebei University of Engineering ), 5, 3, 1(cos142)(1022

16、ntnnAAtxn因此，有：因此，有：1022)2sin(142ntnnAA4A 24A92 4A2520A()03050003050 () A 22 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)27河北工程大學Hebei University of Engineering 二、傅立葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式)ee(2jsin)ee(21cossinjcos00000jj0jj000jtntntntntntntntntne歐拉公式證明思路：歐拉公式建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的的關(guān)系。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)28河北工程大學Hebei University of Engineeri

17、ng 00aC )j(21nnnbaC)j(21nnnbaC，e )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnnnnbabaatx)ee()(00jj10tnntnnnCCCtxtnnnC0je)sincos()(0010tnbtnaatxnnn傅里葉級數(shù)由三角函數(shù)形式展開推導到復指數(shù)形式展開將ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000與歐拉公式代入上式，得令n=0, 1, 2, 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)29河北工程大學Hebei University of Engineering nnnnnCCCCjeImjR

18、e按實頻譜和虛頻譜形式 幅頻譜和相頻譜形式 22)(Im)(RennnCCCnnnCCReImarctan幅頻譜圖：| Cn | - 實頻譜圖： CnR - 虛頻譜圖： CnI - 相頻譜圖： n - nnnnCC, 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)30河北工程大學Hebei University of Engineering 例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。 解：解：)ee(21cos00jj0ttt)ee(2jsin00jj0tttC-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）C-1 = j/2，C1 =

19、 -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, ） 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)31河北工程大學Hebei University of Engineering 1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜雙邊幅頻譜虛頻譜實頻譜時域波形 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)32河北工程大學Hebei University of Engineering 幾點結(jié)論： 復指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（ 從 -

20、 到 +），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（ 從 0 到 +）。 兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系： 00, 2/aCACnn 雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)： nnnnCC, 一般周期函數(shù)的復指數(shù)傅里葉展開式的實頻譜總是偶 對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)33河北工程大學Hebei University of Engineering 綜上所述，周期信號頻譜的特點如下：周期信號的頻譜是離散譜；離散性離散性每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；諧波性諧波性一般周期信號展開成傅里葉級數(shù)后，在頻域上是無限的。工程上常見的周期信號

21、，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小 在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。收斂性收斂性 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)34河北工程大學Hebei University of Engineering 三、周期信號的強度表述 1）峰值 峰值xp是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時值，即xp=| x(t)|max 。 2）峰-峰值 xp-p是一個周期中最大瞬時值和最小瞬時值之差。 3）均值 4）絕對均值 5）有效值 6）平均功率 0001Txx t dtT 02001Trmsxxt dtT 02001Tavpxt dtT 0001Txx t dtT周期信號的強度表述方式有1,4,5,6四種。 機械

22、工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)35河北工程大學Hebei University of Engineering 非周期信號準周期信號 信號中各簡諧成分 的頻率比為無理數(shù) 具有離散頻譜瞬變非周期信號 在一定時間區(qū)間內(nèi) 存在或隨時間的增 長衰減至零準周期信號x(t)0tx(t)0t震蕩衰減0tx(t)脈沖tAtAtx31sin9sin)(ttxtsine)(即通常所說的非周期信號。第三節(jié)第三節(jié) 瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)36河北工程大學Hebei University of Engineering 一一 傅里葉變換傅里葉變換 （f

23、ourier transform，F(xiàn)T）非周期信號可以看成是周期T0 趨于無窮大的周期信號。 02000 TT譜線無限靠近，離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜 。22j0000e )(1TTtnndttxTC 無論周期增大到何種程度，信號能量沿頻率域的分布特征總存在，即非周期信號的頻譜依然存在。 信號存在就必然含有一定的能量，無論信號怎樣分解，其所含總能量應當不變。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)37河北工程大學Hebei University of Engineering 設(shè)周期信號x(t)在一周期內(nèi)的傅里葉級數(shù)表示為ntnnCtx0je)(其中： 22j0000e )(1TTtnndttxTCT0

24、時，周期信號頻譜譜線的頻率間隔=0 0 ，譜線無限靠近。變量連續(xù)取值以至離散譜線的頂點最后變成一條連續(xù)曲線。所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。設(shè)有一個周期信號x(t)在區(qū)間 以傅立葉級數(shù)表示為 00,22TT 0jntnnx tc e 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)38河北工程大學Hebei University of Engineering 00002021TjntjntTnx tx t edt eT 當T0 趨于無窮 時，頻率間隔成為d，離散譜中相鄰的譜線緊靠在一起，n成為連續(xù)變量 ， d=2df=2/T0，求和符號就變?yōu)榉e分符號，則將 代入上式則得 0002021TjntTncx

25、t edtT 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)39河北工程大學Hebei University of Engineering de)de)(21e)d)(2de )de)(1limelim)(limjjjjjj2/2/0j00000000tttttnntnTTTtnnnTTttxtetxttxTCtx Cn 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)40河北工程大學Hebei University of Engineering ttxXtde)()(jd)(21)(j teXtx傅里葉變換（FT） 傅里葉逆變換（IFT） f 2若以代入得ttxfXftde )()(2jffXtxftde

26、 )()(2j記為：x(t)X()FTIFT 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)41河北工程大學Hebei University of Engineering 用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為 )()()(Imj)(Re)(fjefXfXfXfX22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imarctan)(fXfXf 非周期信號的幅頻譜 和周期信號的幅頻譜 很相似，但是兩者量綱不同。 為信號幅值的量綱， 為信號單位頻寬上的幅值，是頻譜密度函數(shù)。)( fXnCnC)( fX 稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它反映了信號能量沿頻域的分布狀況，工程測試中為方便， 仍稱為頻譜。( )X

27、 f( )X f 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)42河北工程大學Hebei University of Engineering )2(0)2(1)(TtTttw例：矩形窗函數(shù)的頻譜例：矩形窗函數(shù)的頻譜 222j2jdede)()(TTftfttttwfWfTfTTeeffTfTsin2 j1jj)(sincfTTW(f)中 T 稱為窗寬，W(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。 sinsinc1-T/2T/2tw(t)0 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)43河北工程大學Hebei University of Engineering W(f )T01T1Tf3T3T(f )01T2T3

28、T1T2T3T2T2Tsinc 以2為周期并隨的增加作衰減振蕩。sinc是偶函數(shù)，在n（n=1, 2, ）處其值為0。最高點值為AT。本例中， sinc = sinc(Tf)，以2/T為周期并隨的增加作衰減振蕩，在n/T（n=1, 2, ）處其值為0。 矩形窗高為A=1，于是最高點值為T。1Ttw(t)0問，右圖窗函數(shù)的幅頻問，右圖窗函數(shù)的幅頻譜？譜？ 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)44河北工程大學Hebei University of Engineering 非周期信號頻譜的特點 l 基頻無限小。 l 頻譜連續(xù)，包含了從 0 的所有頻率分量。l | X () | 與 | Cn| 量

29、 綱 不 同 。 | Cn| 具 有 與 原 信 號 幅 值相同的量綱，|X()|是單位頻寬上的幅值。 l 非周期信號頻域描述的基礎(chǔ)是傅里葉變換。 周期信號有傅里葉級數(shù)，非周期信號有傅里葉變換。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)45河北工程大學Hebei University of Engineering 某齒輪箱各特征頻率值齒數(shù)1X2X3X4X5X6X7X電動機工頻 16.90 33.80 50.70 67.60 84.50 101.40 118.30 II軸轉(zhuǎn)頻3.73 7.46 11.18 14.91 18.64 22.37 26.10 III軸轉(zhuǎn)頻0.95 1.89 2.84

30、3.79 4.73 5.68 6.63 VI軸轉(zhuǎn)頻0.26 0.53 0.79 1.05 1.31 1.58 1.84 V 軸轉(zhuǎn)頻0.08 0.15 0.23 0.31 0.38 0.46 0.54 電動機與II軸嚙合15 / 68253.50 507.00 760.50 1 014.00 1 267.50 1 521.00 1 774.50 II軸與III軸嚙合16 / 6359.65 119.29 178.94 238.59 298.24 357.88 417.53 III軸與VI軸嚙合15 / 5414.20 28.40 42.61 56.81 71.01 85.21 99.41 VI軸

31、與V軸嚙合14 / 483.68 7.36 11.05 14.73 18.41 22.09 25.77 Hz 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)46河北工程大學Hebei University of Engineering 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)47河北工程大學Hebei University of Engineering 二 傅里葉變換的主要性質(zhì) 積 分x(t t0) 時 移 頻域微分x(kt) 尺度變換 時域微分x(-f) X(t) 對 稱 性 X1(f)X2(f)x1(t) x2(t)頻域卷積AX(f)+bY(f) ax(t)+by(t) 線性疊加 X1(f) X

32、2(f)x1(t)x2(t)時域卷積實奇函數(shù)虛奇函數(shù)X*(-f)x*(t)共 軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)X(-f) x(-t) 翻 轉(zhuǎn) 虛奇函數(shù)實奇函數(shù)X(f f0) 頻 移 實偶函數(shù)實偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實性頻 域時 域性 質(zhì)頻 域時 域性 質(zhì)0,1kkfXk02je)(ftfXtftx02je)(nnttxd)(d)(2 jfXfn)(2 jtxtnnnffXd)(dtttxd)(存在ffXfXf)(),(2 j1 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)48河北工程大學Hebei University of Engineering 奇偶虛實性奇偶虛實性 )(Imj)(Rede )()(2jfXfX

33、ttxfXfttfttxfXd2cos)()(RetfttxfXd2sin)()(Im若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)。若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)。若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)。若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)。若x(t)為實函數(shù)，則 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ) 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)49河北工程大學Hebei University of Engineering 對稱性對稱性：若 x (t) X

34、(f )，則X(t) x(-f )證明： 互換 t 和 f從而：X(t) x(-f)ffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(2例：時域矩形窗，頻域例：時域矩形窗，頻域sincf ；時域；時域sinct，頻域矩形窗。，頻域矩形窗。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)50河北工程大學Hebei University of Engineering 證明：j2j2() ()()ed11()d()()ftfktkFT x ktx kttfx kt ektXkkk2j2j1()( )ed11( )edfkfkFT x ktxkfxXkkk（k 0）

35、（k 1，變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）幅值降低；信號在時域中擴展（ 1 k 0）等效于在頻域壓縮（頻帶變窄）幅值增高。尺度改變性尺度改變性 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)51河北工程大學Hebei University of Engineering 尺度改變性質(zhì)舉例尺度改變性質(zhì)舉例000000 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)52河北工程大學Hebei University of Engineering 證明：若 t0為常數(shù) 則 時移結(jié)果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜時移性質(zhì) 02j0e )()(ftfXttx00-j200j2 ()j200 ()()e

36、d()eed()ftf t tftFT x ttx tttx tttt0j201 ()()eftafFT x attXaa設(shè) s=t+t0 ， 00j2j20j2 ()( )eed( )eftfsftFT x ttx ssXf 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)53河北工程大學Hebei University of Engineering (c) 時移的時域矩形窗時移的時域矩形窗 圖圖(c)對應的幅頻和相頻特性曲線對應的幅頻和相頻特性曲線 時移性質(zhì)舉例時移性質(zhì)舉例（a）時域矩形窗）時域矩形窗圖（圖（a）對應的幅頻和相頻特性曲線）對應的幅頻和相頻特性曲線000000 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機

37、械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)54河北工程大學Hebei University of Engineering 例：求三個窗函數(shù)的頻譜。例：求三個窗函數(shù)的頻譜。x(t)tT/2-T/21)(csinsin)(fTTfTfTTfW對于矩形窗函數(shù)對于矩形窗函數(shù)w(t)問題描述為求問題描述為求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的頻譜的頻譜根據(jù)時移性質(zhì)根據(jù)時移性質(zhì)j2j2 ()( )()sin c()(1)sin c()(12cos2)ffFT w tw tw tTfTeeTfTf 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)55河北工程大學Hebei University of Engineering 頻移特性

38、 若 f0為常數(shù))(e )(02j0ffXtxtf0001j200j2()j20j2()()ed()eed( )eftfftf tf tFTX ffX fffX fffx t證明 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)56河北工程大學Hebei University of Engineering 卷積特性 證明： 函數(shù)x(t)與y(t)的卷積定義為( )( )( ) ()x ty txy td)()()()(2121fXfXtxtxj21212 ( )*( )( )()d edftFT x tx txx tt ttxxtffde )(de )()(2j22j1)()(21fXfX同理可得12

39、12( )( )( )( )x t x tXfXf1212( )( )( )( )x t x tXfXf 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)57河北工程大學Hebei University of Engineering nnttxd)(d)(2 jfXfnffXtxftde )()(2jffXfttxftde )()2 j (d)(d2jd ( )(j2 )( )dx tFTf X ftd( )(j2 )( )dnnnx tFTfX ft微分特性：證明：同理： 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)58河北工程大學Hebei University of Engineering 三 幾種

40、典型信號的頻譜1、單位脈沖函數(shù)(函數(shù)) 的頻譜1）函數(shù)定義)0(0)0()(lim)(0tttt1d)(d)(limd)(lim00tttttt且其面積（強度）： /201/t(t)箭頭表示幅值無限大，但強度有限大，是多少標多少；若沒有箭頭，表示幅值有限大，是多少就標多少。0t(t)1 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)59河北工程大學Hebei University of Engineering 2） 函數(shù)的性質(zhì)（） （1）抽取性（采樣性、篩選性） )()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx)0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d)()(d)()(00

41、00txttttxttttx抽取結(jié)果為x(t)在發(fā)生函數(shù)位置的函數(shù)值(又稱為采樣值) 。（2）卷積性 ( )( )( )()d( )()d( )x ttxtxtx t0000( ) ()( )()d( )()d()x tttxttxttx tt 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)60河北工程大學Hebei University of Engineering 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例 (t)0t1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t0 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)

42、基礎(chǔ)61河北工程大學Hebei University of Engineering 對(t)取傅里葉變換 j2j2 0( )( )ede1ftffttj2j2( )( ) ed1edftfttfff函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜稱為“均勻譜”。 函數(shù)是偶函數(shù)，即，則利用傅立葉變換的對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可得到以下傅里葉變換對： ()( )( )()ttff、02j0e)(fttt)(e02j0fftf0t(t)10f(f )13） 函數(shù)的頻譜 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)62河北工程大學Hebei University of Engineering （幅頻譜是均勻譜1，

43、但各頻率成分分別移相2ft0角） (t t0) （ 函數(shù)時移 t0） (f) （在f=0處有脈沖譜線） 1 （幅值為1的直流量） 1 （均勻頻譜密度函數(shù)） (t) （單位瞬時脈沖） 頻 域 時 域 02jefttf02je)(0ff 單位脈沖函數(shù)的時、頻域關(guān)系單位脈沖函數(shù)的時、頻域關(guān)系 它的幅值為何是1？（復指數(shù)函數(shù)）（將( f )移頻到f 0） 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)63河北工程大學Hebei University of Engineering 2、矩形窗函數(shù)的頻譜222j2jede )()(TTftftdtttwfWfTfTTffTfTsinee2 j1jj)(sincf

44、TTW(f )T01T1Tf3T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)0FTIFT 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)64河北工程大學Hebei University of Engineering 3、常值函數(shù)(又稱直流量) 的頻譜 幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為 f = 0處的函數(shù)。1( )f當矩形窗函數(shù)的窗寬 T 趨于無窮時，矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù)，其對應的頻域為函數(shù)。 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)65河北工程大學Hebei University of Engineering 4、正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件（為啥？），不能直接對之進行傅里葉變換。

45、由歐拉公式知：tftftftftftf0000j2j20j2j20ee212cosee2j2sin000000jsin 2()()21cos2()()2FTf tffffFTf tffff 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)66河北工程大學Hebei University of Engineering 1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f0為啥是箭頭？傅里葉級數(shù)的幅頻譜與振幅同量綱，而傅里葉變換后量綱是振幅除以頻率間隔即頻率密度，所以此處高度無限大，但能量有限。0tsin2f0t0tcos2f0t 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)67河北工

46、程大學Hebei University of Engineering 5、梳狀(comb)函數(shù)（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜 nnTtTt)(),(combssTs為周期；n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) ： ktkfkCTtsj2se),(comb22j2ssssde ),(comb1TTtkfktTtTCs（fs = 1 / Ts）因為在（-Ts /2，Ts /2）區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t)，故s22j2s1de )(1ssTttTCTTtkfks梳狀函數(shù)： 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)68河北工程大學Hebei University of Engi

47、neering ktkfsTTtj2sse1),(comb從而 sss1COMB( ,)comb( ,)()skf fFTt TfkfT所以 kTkfT)(1ss即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù)，且其周期為原時域周期的倒數(shù)（1/Ts），脈沖強度為1/Ts。 .comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts0 1Ts2Ts 1 Ts2Ts 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)69河北工程大學Hebei University of Engineering 第四節(jié)第四節(jié) 隨機信號隨機信號1、隨機信號的概述隨機信號是非確定性信號，具有不重復性、不確定性、不可預估性。（在

48、相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）隨機信號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。相關(guān)概念隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象。樣本函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄，記作xi(t)，i為第i次觀測。樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作x(t)，即 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)， 機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)70河北工程大學Hebei University of Engineering 隨機變量：隨機過程在某一時刻t1的取值x(t1)是一個隨機變量，隨機變量一般