矩陣在線性方程組中的應(yīng)用(共22頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 矩陣在線性方程組中的應(yīng)用 摘 要 矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用矩陣解線性方程組的方法基本上是所知的固定幾種：利用矩陣初等變換、克拉默法則、高斯若爾當(dāng)消去法。但是解一個(gè)線性方程組有時(shí)需要幾種方法配合使用，有時(shí)則需要選擇其中的最簡(jiǎn)單的方法。而對(duì)于一些特殊的線性方程組的解法很少有進(jìn)行歸類、講解。我們希望可以通過對(duì)本課題的研究，總結(jié)和歸納用特殊矩陣解幾類特殊線性方程組的解法。關(guān)鍵詞 矩陣；線性方程組；齊次線性方程組；非齊次線性方程組MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR E

2、QUATIONSABSTRACTMatrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations; and Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose

3、one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some spec

4、ial system of linear equations with special matrices.KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations目 錄 專心-專注-專業(yè)引 言矩陣的概念最早在19世紀(jì)由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利提出。在數(shù)學(xué)史上，研究過的著名數(shù)學(xué)家有許多。在文獻(xiàn)1中介紹了英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特于1852年對(duì)矩陣的合同發(fā)現(xiàn)著名的“慣性定理”。在文獻(xiàn)2中英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊發(fā)表了重要文章矩

5、陣論的研究報(bào)告，對(duì)矩陣的基本理論進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。當(dāng)然還有許多數(shù)學(xué)家對(duì)矩陣的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，矩陣已經(jīng)在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的運(yùn)用，是一種非常常用的用具。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中作為解決的工具之一，前人對(duì)此已經(jīng)做了大量的的研究。1693年，的發(fā)現(xiàn)者之一德國(guó)數(shù)學(xué)家建立了論。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆其后又定下了（又稱克萊姆法則）。1800年，高斯和威廉·若爾當(dāng)建立了人們熟知的高斯若爾當(dāng)消去法。 線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。在文獻(xiàn)3中了解到線性方程組在線性代數(shù)的教學(xué)中非常重要，行列式、矩陣、向量組的線性相關(guān)性、線性空間的基變換、坐標(biāo)變換等，都和線性方程組有

6、著非常密切的聯(lián)系。 矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，矩陣和線性方程組是相輔相成的，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用矩陣解線性方程組的方法基本上是所知的固定幾種。對(duì)于一些線性方程組的特殊解法很少有進(jìn)行歸類、講解。本文主要研究用特殊矩陣解一些線性方程組的方法，通過認(rèn)真閱讀本課題相關(guān)文獻(xiàn)，如陳祥云的矩陣的初等變換及其應(yīng)用，辛奎東的關(guān)于線性方程組新解法的探索，劉紅旭的利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組，楊可的用加邊矩陣求解非齊次線性方程組的嘗試等等，分析、總結(jié)和歸納用特殊矩陣解線性方程組的解法。1.矩陣和線性方程組的概述 1.1矩陣的概念由個(gè)數(shù)，排成個(gè)橫行個(gè)豎列的數(shù)表，稱為行列矩陣或級(jí)矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣。數(shù)

7、位矩陣的元素，矩陣常簡(jiǎn)單記為或或，或簡(jiǎn)記為，等。1.2線性方程組的概念 線性方程組的一般形式如下： （1-1） 其中表示個(gè)未知量，是方程組的個(gè)數(shù)，則表示方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng)。假如所有的常數(shù)項(xiàng)都等于0，即為 （1-2） 則方程組（1-2）稱為齊次線性方程組。否則稱為非其次線性方程組。線性方程組（1-1）的解是數(shù)域的一個(gè)有序數(shù)組，當(dāng)未知量分別用代入時(shí)，（1.1）中的每個(gè)方程都成立。這里將方程組（1-1）記為矩陣形式，。在此處把稱為這個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣，假如再將常數(shù)項(xiàng)添加進(jìn)去，讓它稱為矩陣的最后一列：稱其為此線性方程組的增廣矩陣，記為。1.3線性方程組解的情況 在求解線性方程組時(shí)，首先需要討

8、論線性方程組解的情況。它可能無解，可能存在唯一解或者可能存在無窮多組解。在這里，我們討論線性方程組解的情況，以及它的通解表示形式。對(duì)于一般情況下的線性方程組（1-1），將它的增廣矩陣化為行階梯矩陣。這個(gè)階梯形矩陣在適當(dāng)調(diào)動(dòng)前列的順序之后可能有兩種情形：或者 其中。在前一種情況我們判定為原來方程組無解，而在后一種情形方程組有解。我們對(duì)后面一種情況進(jìn)行討論： a：若，則原方程組(1-1)有唯一解。 b：若且，則原方程組(1-1)有無窮多組解。這無窮多組解可以用一般解來表示，其中自由變量有個(gè)，主變量有個(gè)。2.矩陣在線性方程組中的應(yīng)用2.1克拉默法則在這里簡(jiǎn)單介紹了利用克拉默法則解線性方程組?？死?/p>

9、則：如果含有個(gè)方程的元線性方程組 (2-1) 的系數(shù)矩陣的行列式則方程組（2-2）有唯一解，并且其中是將系數(shù)行列式的第列元，換成常數(shù)項(xiàng)后的行列式。下面運(yùn)用克拉默法則解一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程組。例2.1.1 解線性方程組解： 而 所以即原方程組的解為。例2.2.2 當(dāng)下述方程組有非零解時(shí)，取何值時(shí)：解：該齊次方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)矩陣的行列式所以由上可知，當(dāng)齊次方程組有非零解時(shí)，。2.2高斯消元法高斯消元法也是一種常用的解線性方程組的方法。對(duì)于含有個(gè)方程，個(gè)未知量的元線性方程組首先用初等行變換先把上面方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，然后寫出該階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，逐步回代，即可以求出方程

10、組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了上面方程組的解。這種方法被稱為高斯消元法。例2.2.1 解方程組解：先寫出增廣矩陣，再化成階梯形矩陣，即=根據(jù)最后一個(gè)增廣矩陣可以得出其表示的線性方程組為將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得將其代入第二個(gè)方程，解得再將，代入第一個(gè)方程組，解得因此，方程組的解為其中可以任意取值。2.3非齊次線性方程組新解法的解題步驟在文獻(xiàn)7中介紹了非齊次線性方程組新解法的解題步驟： （1）約化階梯形矩陣。 （2）寫出對(duì)應(yīng)的方程組。 （3）把上面每個(gè)方程中下標(biāo)最小的變量用其他變量表示，其它缺失的變量相應(yīng)的補(bǔ)齊。 （4）寫出方程組解的向量形式。例2.4.1 解線性方

11、程組解：（1）首先約化階梯形矩陣然后對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變化，化為簡(jiǎn)化的階梯型矩陣則原方程有無窮多個(gè)解。（2） 寫出對(duì)應(yīng)的方程組。 （3）把上述每個(gè)方程中下標(biāo)最小的變量用其它變量表示，其它缺失的變量補(bǔ)齊。 （4）寫出方程組的解。 2.4直接通過矩陣變換及運(yùn)算求出方程組的解法下面介紹直接通過矩陣變換及運(yùn)算求出方程組的解法。首先對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變換、零拓展矩陣和轉(zhuǎn)解運(yùn)算，再直接求出齊次方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次方程組的特解，進(jìn)而求出非齊次方程組的通解。定義18 對(duì)于矩陣增加個(gè)維行向量而生成的新矩陣稱做的拓展矩陣；若增加行向量都是零向量，則生成的新矩陣稱為的零拓展矩陣，若增加的行向量組成一個(gè)單位方陣則

12、生成的新矩陣稱為的單位拓展矩陣。定義28 在矩陣中，若，有，則稱為廣義上三角矩陣。定義38 設(shè)是廣義三角矩陣，在中，若，而，構(gòu)造成一個(gè)新矩陣，當(dāng)，有；當(dāng)，令，則定義為歸零運(yùn)算（或稱轉(zhuǎn)解運(yùn)算），生成的矩陣稱為歸零矩陣（或轉(zhuǎn)解矩陣）。定理18 設(shè)實(shí)數(shù)域上非齊次線性方程組，對(duì)進(jìn)行零拓展，使其成為，對(duì)進(jìn)行初等變換，使其成為對(duì)角線上的元素只取1和0的廣義上三角矩陣（若而時(shí)則進(jìn)行行行交換使得所在的行變?yōu)橹械牡谛校涣?，則矩陣中元素只取0或-1值；若當(dāng)說對(duì)應(yīng)的第列為零向量，則所有說對(duì)應(yīng)的第列向量就構(gòu)成方程的基礎(chǔ)解系，而第列向量則是方程組的特解。定理28 對(duì)于方程組（2-1）說對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行拓展和初等變換

13、，得到滿足定理1的；當(dāng)時(shí)，而時(shí)，做轉(zhuǎn)解運(yùn)算生成轉(zhuǎn)解矩陣，使得當(dāng)時(shí)，有，則所對(duì)應(yīng)的列向量的全體即為方程組的基礎(chǔ)解系，矩陣中的第列向量乃是的特解，經(jīng)過若干次轉(zhuǎn)解運(yùn)算存在滿足定理1條件的轉(zhuǎn)解矩陣。例2.5.1 求解方程組解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換，因此由定理1知方程組的解為。2.5利用追趕法解線性方程組本小節(jié)的解法是先把線性方程組的系數(shù)矩陣分解成為下三角陣和上三角陣的乘積，然后運(yùn)用追趕法來求解線性方程組。為了把系數(shù)矩陣分解為一個(gè)下三角陣和一個(gè)上三角陣的乘積，則需要運(yùn)用LU分解法（也稱為三角形分解法）。2.5.1LU分解9令的前n-1個(gè)順序主子矩陣非奇異，那么就存在單位下三角陣，以及上三角陣，使得并且這樣

14、的分解是唯一的。令矩陣有LU分解，即將兩端的第一行元素進(jìn)行對(duì)比可以得出將兩端的第一列元素進(jìn)行對(duì)比可以得出將兩端的第二行其余元素進(jìn)行對(duì)比可以得出將兩端的第二列其余元素進(jìn)行對(duì)比可以得出則對(duì)于一般的用遞推關(guān)系得出 （2-2） 即可求出和，從而實(shí)現(xiàn)的三角分解。這一過程就是矩陣的LU分解。2.5.2追趕法9線性方程組的系數(shù)矩陣，先通過公式(2-2)進(jìn)行LU分解，接著利用追趕法解出該線性方程組，是一個(gè)非常方便快捷的方法。追過程和趕過程是追趕法的關(guān)鍵所在。記a) 分解對(duì)計(jì)算b) 追過程對(duì)于計(jì)算c) 趕過程對(duì)于計(jì)算而對(duì)于線性方程組（1-1）中，可得該線性方程組的Jacobi迭代公式如下：簡(jiǎn)記成：下面我們通過具

15、體的例子來了解用追趕法解線性方程組的解題過程。例2.5.1 用追趕法解線性方程組解：系數(shù)矩陣?yán)霉?2-3)對(duì)進(jìn)行LU分解，所以追過程：解即趕過程：解即即得線性方程組的解。2.6利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組通過文獻(xiàn)10可以得知，假如是一個(gè)階非奇異陣，把進(jìn)行分塊，其中分別是和矩陣。如果是非奇異方陣，則一定可以找到一個(gè)上三角分塊，令，其中，并且是非奇異陣。根據(jù)上面的結(jié)論，得出用來求解個(gè)方程的非其次線性方程組是比較方便的?？梢砸酪韵逻^程求解：對(duì)于非齊次線性方程組 （2-3） 把（2-3）寫成矩陣方程為 此處為系數(shù)矩陣。假如是非奇異陣，即，那么方程組（2-3）有唯一解。把階陣分塊：，并注意為非奇

16、異階陣，同時(shí)把和進(jìn)行對(duì)應(yīng)的分塊，可以使，的行數(shù)等于的行數(shù)，的行數(shù)等于的行數(shù)。那么矩陣方程可以寫成把上面式子的兩邊分別左乘上三角分塊矩陣，即可以得到 （2-4） 其中 。 把方程（2-4）分解成為下面兩個(gè)矩陣方程 （2-5）根據(jù)初等變換的性質(zhì)我們可以知道（2-4）和（2-5）是同解方程。由于，所以存在，且，再把代入中，得到。據(jù)此，得出。 例 2.6.1 解非齊次線性方程組解：將方程寫成矩陣方程并進(jìn)行分塊，有 。這里，。先求出的逆矩陣，計(jì)算，方程左乘，得到，解矩陣方程，解得，故所以所求方程的解為。2.7用加邊矩陣求解非齊次線性方程組在文獻(xiàn)11中主要介紹利用加邊矩陣的初等變換，把非其次線性方程組解的

17、判定和解的結(jié)構(gòu)融于一體，在方程組有解的基礎(chǔ)上，直接找出唯一解或者導(dǎo)出基礎(chǔ)解系和原方程的一個(gè)特解。個(gè)方程個(gè)未知數(shù)的非其次線性方程組的一般形式是： （2-6）其中至少有一個(gè)不為。方程組（2-6）的向量形式為 （2-7）式子中是維向量。（2-7）式子說明假如有一組個(gè)數(shù)滿足那么維向量即為方程組（2-6）的一個(gè)解向量。令方程組（2-6）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，作的轉(zhuǎn)置矩陣，并將的每行順序記為，據(jù)此作出的加邊矩陣：矩陣中即為（2-7）中的。對(duì)矩陣用初等行變換求秩。這里對(duì)所在的行進(jìn)行初等變換時(shí)有如下限制：a:所在的行不與其他行交換；b:其余任意行不作加上或者減去所在行的倍數(shù)的初等變換；c:所在行可以作加上

18、或者減去其余行的倍數(shù)的初等變換。即在整個(gè)變換過程中，所在的行一直保留在矩陣的最后一行。假設(shè)原方程（2-6）系數(shù)矩陣的秩。對(duì)于用初等變換求出秩，最后化出下列矩陣：說明，說明。根據(jù)線性方程組解的判定定理，中有解，中無解。我們可以根據(jù)式最后一行，得到根據(jù)（2-7）得出是方程組（2-6）的一個(gè)特解（或唯一解）。從最后一行上面部分可以找出方程組（2-6）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，在得出原方程組的一般解。例2.7.1 求方程組的解。解：寫出矩陣，并做初等變換：根據(jù)上面可得方程組存在唯一解，由最后一行得，即，所以原方程的唯一解為。3結(jié) 論矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容。而矩陣在線性方程組的求解中應(yīng)用廣泛。本文只是簡(jiǎn)單討論、歸納了應(yīng)用矩陣求解線性方程組解的幾種方式，希望幫助大家今后在求解線性方程組時(shí)可以運(yùn)用多種方法。參考文獻(xiàn)1 Sylvester J. J. ,The