2018年考研數(shù)學(xué)一試題答案

1、2017考研數(shù)學(xué)一答案及解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 符合題目要求，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。1 cos x(i)若函數(shù)f(X) ax ,x 0在x 0連續(xù)，則()。 b,x 0“.1A. ab 一21B. ab2C. ab 0D. ab 2【答案】A由連續(xù)的定義可得lim f (x) x 0-lim+ f (x)x 0+f(0),而lim+ f(x)x 0+lim 1x 0+cos xax2(. x)2lim -+x 0 ax1.1,lim f(x) b ,因此可得b ,故選2a x o2a擇Ao(2)設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，

2、且f(x)f'(x) 0,則(A. f(1) f( 1)B. f(1) f( 1)C. | f(1)| | f( 1)D. | f(1)| | f( 1)【答案】C【解析】令 F(x) f2(x),則有 F'(x) 2f(x)f'(x),故 F(x)單調(diào)遞增，則 F(1) F( 1), 即f(1)2 f( 1)2,即 | f (1)| | f ( 1),故選擇 Co(3)函數(shù) f (x,y, z) x2y z2在點(diǎn)r(1,2,0)處沿向量n (1,2,0)的方向?qū)?shù)為()【解析】gradf22 xy,x , 2z,因此代入(1,2,0)可得 gradf |(1,2,0)

3、 (4,1,0),則有g(shù)rad京(中叫：2(4)甲乙兩人賽跑，計(jì)時開始時，甲在乙前方10 (單位：m)處，圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線v V1(t)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線 v V2(t),三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10, 20, 3,計(jì)時開始后乙追上甲的時刻記為t0 (單位：s),則()。A. t0 10B. 15 t0 20C. t025D. t025【答案】C一，t0, t0，、一一 一-一，一、【解析】從0到t0時刻，甲乙的位移分別為0 V1(t)dt與o v2(t)dt,由定積分的幾何意義25可知，0 (V2 M(t)dt 20 10 10,因此可知 t025。(5)設(shè)

4、 為n維單位列向量，E為n維單位矩陣，則()。A. ET不可逆B. ET不可逆C. E 2T不可逆D. E 2T不可逆【答案】A【解析】因?yàn)榈奶卣髦禐? （n-1重）和1,所以ET的特征值為1 (n-1 重)和 0,2 1 00 2 0 ,C0 0 12 0 0(6)已知矩陣A 0 2 1 ,B 0 0 1與C相似，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C. A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【解析】A和B的特征值為2,2,1，但是A有三個線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個，所依A可對角化，B不可，因此選擇 Bo（7）設(shè)A, B為隨機(jī)事件，若0P(A) 1,0 P(B)

5、1,且 P(A|B)P（A| B）的充分必要條件是（）。A. P(B| A) P(B| A)B. P(B| A) P(B| A)C. P(B| A) P(B | A)D. P(B| A) P(B| A)【答案】A【解析】P(A) P(AB) 即 p(ab) P(A)P(B),因 1 P(B)由 P(A|B) P(A|B)得 P(AB) P(AB) P(B) P(B)此選擇Ao(8)設(shè) X1,X2,L Xn(n 2)來自總體 N(1,1）的簡單隨機(jī)樣本，記 X nnXi ,則下列i 1結(jié)論中不正確的是（）A.n(Xi )2服從2分布i 1B.n2 (Xn X1)2服從 2分布i 1C.n(Xi

6、i 1X)服從2分布D. n(X22)2服從2分布【解析】XiN(0,1),(Xi)2 2(n) , Xn XiXn Xiir，,XN(0,1),故(一n Xi)22(1),故B錯誤，由S2(Xi X)2 可得,1(n 1)S2n 22(Xi X) (n 1),i 1N(0,1),則有 Vn(X n此n(X22)(1)。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上o(9)已知函數(shù)f (x) -11，則 f (0)= xf '''(x)1 x2(1)nx2n ,因此0(1)n2n(2nn 01)(2n2)x2n 3，代入可得f (0)0。(1

7、0)微分方程y'' 2y'3y 0的通解為y =【答案】ex(cicos、.2xC2 sin、-、2x)【解析】由y'' 2y' 3y0 ,所以2 23 0 ,因此e x(G cos(11)若曲線積分 x* aydy在區(qū)域D (x,y)|x2 y2 1內(nèi)與路徑無關(guān)，則 L x y 1a =o【答案】1【解析】設(shè)P(x,y) 一上一,Q(x,y) -32，因此可得： x y 1x y 12 警2,2 2axy2 ,根據(jù)上 _Q,因此可得a 1。y (x y 1) x (x y 1)y x(12)哥級數(shù) n1( 1)n1nxn1在區(qū)間(1,1)內(nèi)的和

8、函數(shù)S(x)=。1(1 x)2(13)設(shè)矩陣A1(1 x)2n 1 n 1n 1 nx Xl1( 1) nx n 1( 1) x '(-)'1 x1 0 11 1 2 ,1, 2, 3為線性無關(guān)的3維向量，則向量組A 1,A 2,A 30 1 1的秩為【答案】2【解析】因?yàn)?A 1, A 2, A 3)A( 1, 2, 3 ),而101101A112011011011的秩2。1 0 10 1 1 ,因此r(A) 2,所以向量組A 1,A 2,A 30 0 0(14)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)x 40.5 (x) 0.5 ()，其中2(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則EX =，,

9、1f(x) F'(x) 0.5e2x20.5 ex21, 0"2一2e一)2110.5e 222(x 4)2222因此可得EX2。三、解答題:1523小題，共94分,請將解答寫在答題紙指定位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f (u,v)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),x 、 dyy f(e ,cosx),求|x dxg10, , 2 |xdxd2y dx2汽 0 f1(1,1),叁 dxdx因?yàn)?y f (ex,cosx),一 ''x(fueJ'.、xf12 sin x)e|x 0所以口(1,1) G。/) f2(1,

10、1)dydx'xfef2 sin x ,因此.|x 0 dxfi(1,1)一 'x 一 '' xf1ex (f21exf22 sin x)sin xf2 cosx因此得：察x0 f；1。1) 3) 3)(16)(本題滿分10分)求limnk 21n(11 nk) nlimn4由定積分的定義可知,n k Tln(1k 1 nk) n1oxln(1 x)dx ,然后計(jì)算定積分,10 xln(1x)dx2 x2 11ln(1 x)d(x2 1) ln(1 x) |0 2(x2 1) 一1- dx x10(x 1)dx已知函數(shù)y(x)由方程x3 y3 3x 3y 2 0

11、確定，求y(x)的極值。【答案】極大值為 y(1) 1 ,極小值為y( 1) 0?！窘馕觥?對x3 y3 3x 3y 2 0關(guān)于x求導(dǎo)得：3x2 3y2y' 3 3y' 0,令y' 0得3x2 3,因此x 1,當(dāng)x 1時，y 1,當(dāng)x 1時，y 0。對 3x2 3y2y' 3 3y' 0關(guān)于 x再次求導(dǎo)得：6x 6y(y')2 3y2y'' 3y'' 0,將 y' 0代入可得6x (3y2 3)y'' 0當(dāng)x 1時，y 1時，代入可得y''1,當(dāng)x 1時，y 0時，代入可得y

12、'' 2 ,因此有函數(shù)的極大值為 y(1) 1 ,極小值為y( 1) 0。(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間0,1上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f(1) 0,(I)方程f (x) 0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一個實(shí)根;2(n)萬程f(x)f'(x) (f'(x)0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個不同實(shí)根。(I)證：因?yàn)?l30 ,由極限的局部保號性知，存在x 0 xc (0,),使得f(c)0,而f(1) 0,由零點(diǎn)存在定理可知，存在(c,1),使得 f()0。(n )構(gòu)造函數(shù) F(x) f (x) f '(x),因此 F (0)f(0) f '

13、(0)0,F()f ( ) f '()0,因?yàn)閘im上區(qū)x 0 xf(1) f(0)1 00 ,所以f '(0) 0 ,由拉格朗日中值定理知,存在(0,1),使得f'( ) 0 ,所以f '(0) f'( ) 0 ,因此根據(jù)零點(diǎn)定理可知存在1 (0,),使得 f '( 1) 0 ,所以F( 1) f( 1)f'( 1) 0,所以原方程至少有兩個不同實(shí)根。【解析】略(19)(本題滿分10分)設(shè)薄片型物體S時圓錐面z Jx2 y2被柱面z2 2x割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的弧度為u(x, y,z) 9收y2 z2，記圓錐與柱面的交線為 C ,

14、(I)求C在xOy平面上的投影曲線的方程；(n )求S的質(zhì)量M。(x 1)2z 01 ，、；(n) 64。【解析】(I)C的方程為'x y ,投影到xOy平面上為(x 1) y2xz 0(n) Mu(x, y, z)dS9- x2dS dS J1 (寧寧2dxdy因此有M 95、x2y2 . 2dxdy2cos(20)(本題滿分11分)182 .r dr144 y 32 cos3264。三階行列式A (3)有3個不同的特征值,2 2,(I)證明 r(A)2;(H)如果3,求方程組Ax的通解?！敬鸢浮?I)略;(H)k(1,2, 1)T(1,1,1T,k Ro【解析】(I )證：因?yàn)锳有

15、三個不同的特征值，所以A不是零矩陣，因此r(A)r(A) 1,那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此 r(A) 2,又根據(jù) 31 2 2,所以r(A) 2 ,因此r(A) 2。(n)因?yàn)閞(A) 2,所以Ax 0的基礎(chǔ)解系中只有一個解向量，又 31 2 2，即1 2 2 3 0 ,因此基礎(chǔ)解系的一個解向量為 (1,2, 1)T。因?yàn)?1 2 3,故Ax的特解為(1,1,11 因此 Ax的通解為 k(1,2, 1)T (1,1,1T,k R。(21)(本題滿分11分)222設(shè) f(x1，x2,x3) 2x1 x2 ax3 2xiX2 8x1x3 2x2x3在正交變換 x Qy 下的標(biāo)準(zhǔn)型為22

16、iYi2 y2 ,求a的值及一個正交矩陣Q?！敬鸢浮縜 2,正交矩陣Q,3 3 避3二32.,6巧"6"0J6二3 一6一262y22,所以A 0,從0 ,解得 0, 3,6 ;1!，對應(yīng)的特征向量為11,對應(yīng)的特征向量為01I ，對應(yīng)的特征向量為【解析】2二次型對應(yīng)的矩陣為 A 14而a 4 6 ,即a 2,代入得2當(dāng) 0時，0E A 14Tki 1,2,1；5當(dāng) 3時，3E A 14Tk2 1, 1,1 ;4當(dāng) 6時，6E A 1414211,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型為1丫11 a214E A 1114121 41 111 ,化簡得 01 ：1200(1 41221 ,化簡得 011

17、5001 41 771,化簡得 011 40 0k31,0,1從而正交矩陣Q-6-6 - 6-3 -6-6-2-2 o -2-2-3-3 -3-3 -3-3(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X的概率分布為P(X0) P(X12) 一，Y的概率密 22y,0 y 1 度為f(y)y 0,其他(I)求 PY EY;(n)求Z X Y的概率密度。1 _(n) fz z-Fy(z)21”z 1)(i )由數(shù)字特征的計(jì)算公式可知：EYyf (y)dy22 i2y2dy ,則 3223 f (y)dy032ydy(n)先求Z的分布函數(shù),由分布函數(shù)的定義可知：由于X為離散型隨機(jī)變量,則由

18、全概率公式可知Fz z P X1P Y 21 Fy (z) 2X Y z|X 0 P X 1 P1 P Y z 12z|X 1(其中Fy12FY(z 1)z為Y的分布函數(shù)：Fy z P Y z )(23)(本題滿分11分)某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做 n次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)n次測量結(jié)果 X1,X2,L ,Xn相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布 N( , 2),該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差 乙|Xj|,(i 1,2,L ,n),利用 Zi,Z2,L ,Zn估計(jì)(I)求Zi的概率密度;(n)利用一階矩求的矩估計(jì)量;(出)求 的最大似然估計(jì)量。21(I) f (z) F' z1z0,z 0(n)2：乙i 1(m)1nzi2n i