信號與系統(tǒng)第四版吳大正 第六章 離散系統(tǒng)z域分析

1、第六章第六章 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)z z域分析域分析 6.1 z 6.1 z 變換變換一、從拉普拉斯變換到一、從拉普拉斯變換到z變換變換二、收斂域二、收斂域6.2 z 6.2 z 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)6.3 6.3 逆逆z z變換變換6.4 z 6.4 z 域分析域分析一、差分方程的變換解一、差分方程的變換解二、系統(tǒng)的二、系統(tǒng)的z域框圖域框圖三、利用三、利用z變換求卷積和變換求卷積和四、四、s域與域與z域的關(guān)系域的關(guān)系五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的

2、通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動機(jī)，也可以通過一種稱為動機(jī)，也可以通過一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。 6.1 z6.1 z變換變換一、從拉氏變換到一、從拉氏變換到z變換變換對連續(xù)信號進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號對連續(xù)信號進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號: kTSkTtkTfttftf)()()()()(取樣信號取樣信號兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 kkTsSbkTfsFe)()(令令z = esT，上式將成為復(fù)變量，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用的函數(shù)，用F(z)表示；表示；f(kT

3、) f(k) ，得，得kkzkfzF)()(稱為序列稱為序列f(k)的的雙邊雙邊z變換變換0)()(kkzkfzF稱為序列稱為序列f(k)f(k)的的單單邊邊z z變換變換若若f(k)為為因果序列因果序列，則單邊、雙邊，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)榈取＝窈笤诓恢禄煜那闆r下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換變換。 F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)二、收斂域二、收斂域 z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即數(shù)收斂，即kkzkf)(時，其時，其z變換才存

4、在。上式稱為變換才存在。上式稱為絕對可和條件絕對可和條件，它是，它是序列序列f(k)的的z變換存在的變換存在的充分必要條件充分必要條件。 收斂域的定義收斂域的定義： 對于序列對于序列f(k)，滿足，滿足 kkzkf)(所有所有z值組成的集合稱為值組成的集合稱為z變換變換F(z)的收斂域的收斂域。 例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z變換變換(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解解(1) 1)()()(1kkkkzkzkzF 可見，其單邊、雙邊可見，其單邊、雙邊z變換相等。與變換相等。與z 無關(guān)，無關(guān)，所以其收斂域為所以其收斂域為整個整個

5、z 平面平面。 (2) f2(k)的雙邊的雙邊z 變換為變換為 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收斂域收斂域為為0 z 0 對有限序列的對有限序列的z變換的收斂域一般為變換的收斂域一般為0 z ，有時，有時它在它在0或或/和和也收斂。也收斂。 例例2 求求因果序列因果序列 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z變換（式中變換（式中a為常數(shù)）。為常數(shù)）。 解：解：代入定義代入定義 1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可見，僅當(dāng)可見，僅當(dāng) az-1 a =時，其時，其z變換存在。變換存在。 azzzFy)(Rez

6、jImz|a|o收斂域收斂域為為|z|z|a|例例3 求求反因果序列反因果序列 的的z變換。變換。解解 ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkfzbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(可見，可見， b-1z 1,即即 z b 時，其時，其z變換存在，變換存在， bzzzFf)(收斂域收斂域為為|z|z| |b|b|RezjImzo例例4 雙邊序列雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解解 0,0,kakbkk的的z變換。變換。azzbzzzFzFzFfy)()()(可見，其收斂域為可見，其收斂域為 a z b （顯然要求（顯然要求 a 2 f2(

7、k)= 2k ( k 1)F2(z)=2zz, z 0 (k)1zz， z 1， z 1 ( k 1)一、線性一、線性 6.2 z6.2 z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 本節(jié)討論本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適用于單邊也適用于雙邊用于單邊也適用于雙邊z變換。變換。 若若 f1(k)F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(k) 2 z 1二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 單邊、雙邊差別大！單邊、雙邊差別大！雙邊雙邊z變換的移位：變換的移位： 若若 f(k) F(z) , z 0，則，則 f(k m) z mF(z), z ，且有整數(shù)，且有整數(shù)m0,

8、則則f(k-1) z-1F(z) + f(-1)f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzFzmkff(k+1) zF(z) f(0)zf(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzFzmkf證明證明：Zf(k m)= mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二項令上式第二項令k m=n)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk特例特例：若若f(k)為因果序列，則為因果序列，則f(k m) z-mF(z)例例1：求周期為求周期

9、為N的有始周期性單位序列的有始周期性單位序列 0)(mmNk 的的z變換。變換。 111)(00NNNmmNmzzzzmNk解解 z 1例例2：求求f(k)= k(k)的單邊的單邊z變換變換F(z). 解解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k) zF(z) zf(0) = F(z) + 1zzF(z)=2) 1( zz三、序列乘三、序列乘a ak k( (z z域尺度變換域尺度變換) ) 若若 f(k) F(z) , z ， 且有常數(shù)且有常數(shù)a 0 則則 akf(k) F(z/a) , a z a 證明證明：Zakf(k)= )()()(azFaz

10、kfzkfakkkkk例例1：ak(k) azz例例2：cos( k)(k) ? cos( k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) jje5 . 0e5 . 0zzzz四、卷積定理四、卷積定理 若若 f1(k) F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(z) 2 z 2 則則 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z) 對單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列其收斂域一般為其收斂域一般為F1(z)與與F2(z)收斂域的相交部分。收斂域的相交部分。 例例：求求f(k)= k(k)的的z變換變換F(z). 解解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1)21) 1(

11、11zzzzzzz五、序列乘五、序列乘k k（z z域微分）域微分） 若若 f(k) F(z) , z 則則 )(dd)(zFzzkkf, z 例例：求求f(k)= k(k)的的z變換變換F(z). 解解：1)(zzk22) 1() 1() 1(1dd)(zzzzzzzzzzkk六、序列除六、序列除(k+m)(z(k+m)(z域積分）域積分） 若若 f(k) F(z) , z 0， 則則zmmdFzmkkf1)()(, z 0，則，則 zdFkkf)()(例例：求序列求序列 的的z變換。變換。 )(11kk解解1)(zzk)1ln()1ln()111() 1()(112zzzzdzdzkkzz

12、z七、七、k k域反轉(zhuǎn)域反轉(zhuǎn)( (僅適用雙邊僅適用雙邊z z變換變換） 若若 f(k) F(z) , z 則則 f( k) F(z-1) , 1/ z a求求a k ( k 1)的的z變換。變換。 解解11) 1(11zazzzkakazkak111) 1(，|z| a，|z| 1/a乘乘a得得 azakak1) 1(，|z| 1/a八、部分和八、部分和 若若 f(k) F(z) , z ，則，則)(1)(zFzzifki, max( ,1) z max(|a|,1)九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理適用于初值定理適用于右邊序列右邊序列，即適用于，即適用于kM(M為整數(shù)為整

13、數(shù))時時f(k)=0的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。，而不必求得原序列。 初值定理初值定理： 如果序列在如果序列在kM時，時，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k)F(z) ， z 則序列的初值則序列的初值)(lim)(zFzMfmz對因果序列對因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz證明：證明：.)2() 1()()()()()2()1(MMMMkkkkzMfzMfzMfzkfzkfzF兩邊乘兩邊乘zM得得zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z

14、-2+)(lim)(zFzMfmz終值定理終值定理： 終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。列的終值，而不必求得原序列。 如果序列在如果序列在kM時，時，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k) F(z) ， z 且且01 則序列的終值則序列的終值 )() 1(lim)(1lim)(lim)(11zFzzFzzkffzzk含單位圓含單位圓6.3 6.3 逆逆z z變換變換求逆求逆z變換的方法有：變換的方法有：冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法、部分分式展開部分分式展開法法和和反演積分（留數(shù)法）反演積分

15、（留數(shù)法）等。等。 一般而言，雙邊序列一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列可分解為因果序列f1(k)和反和反因果序列因果序列f2(k)兩部分，即兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k)相應(yīng)地，其相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分變換也分為兩部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| F2(z)=Zf(k) (k 1)= 1)(kkzkf，|z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 解解 （1） 由于由于F(z)的收斂域在半徑為的收斂域在半徑為2的圓外，故的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將為因果序列。用長除法

16、將F(z)展開為展開為z-1的冪級數(shù)：的冪級數(shù)： z2/ /(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0（2） 由于由于F(z)的收斂域為的收斂域為 z 1，故，故f(k)為反因果序為反因果序列。用長除法將列。用長除法將F(z)（按升冪排列）展開為（按升冪排列）展開為z的冪級數(shù)的冪級數(shù): z2/ /( 2 z z2)=5432165834121zzzz10 ,21,41,83,165,)(kkf(3) F(z)的收斂域為的收斂域為1 z 1 232)(2zzzF， z ) )和和F F2 2(z)(z)( z z 2 (2) z 1 (3)

17、 1 z 2，故，故f(k)為因果序列為因果序列 )()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 當(dāng)當(dāng) z 1，故，故f(k)為反因果序列為反因果序列 ) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)當(dāng)當(dāng)1 z 2， ) 1()2(32)() 1(31)(kkkfkk例例2：已知象函數(shù)已知象函數(shù) )3)(2)(1)(21()1294()(23zzzzzzzzzzF,1 z 1，后兩，后兩項滿足項滿足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k)若若 z 1)，則逆變換為，則逆變換為 razz)( 若若 z ,對應(yīng)原序列為對應(yīng)原序列為 )()!1()2).(1(1karrkkkrk以

18、以 z 為例：為例：當(dāng)當(dāng)r=2時，為時，為 kak-1 (k)當(dāng)當(dāng)r=3時，為時，為 )() 1(212kakkk可這樣推導(dǎo)記憶可這樣推導(dǎo)記憶： Zak (k)=azz兩邊對兩邊對a求導(dǎo)得求導(dǎo)得 Zkak-1 (k)= 2)(azz再對再對a求導(dǎo)得求導(dǎo)得Zk(k-1)ak-2 (k)=3)(2azz故故Z0.5k(k-1)ak-2 (k)=3)(azz例例：已知象函數(shù)已知象函數(shù)323) 1()(zzzzF， z 1的原函數(shù)。的原函數(shù)。解解1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF2)() 1(1311zzzFzK3)() 1(dd1312zzzFzzK1)()

19、1(dd21132213zzzFzzK1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzFf(k)=k(k-1)+3k+1 (k)6.4 z6.4 z域分析域分析 單邊單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。 一、差分方程的變換解一、差分方程的變換解 mjjmniinjkfbikya00)()(設(shè)設(shè)f(k)在在k=0時接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為時接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),y(-n)。 取單邊取單邊z變換得變換得 mjjjminiikiinzFzbzikyzYza0

20、010)()()(mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()()()()()()()()()(zYzYzFzAzBzAzMzYfx)()()()()(zAzBzFzYzHf令令稱為系統(tǒng)函數(shù)稱為系統(tǒng)函數(shù)h(k)H(z) 例例1：若某系統(tǒng)的差分方程為若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng)的。求系統(tǒng)的yx(k)、yf(k)、y(k)。 解解方程取單邊方程取單邊z變換變換 Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+

21、y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 12224)(212121)2(2) 1()21 ()(2222212211zzzzzzzzzzFzzzzzyyzzY)() 1()2(2)(122) 1)(2(4)(2kkyzzzzzzzzzYkkxx)(23) 1(212)(12312122)(1kkyzzzzzzzYkkff例例2： 某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=( 1/2)k (k)時，其零時，其零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng) )()21(29)31(4)21(23)(kkykkkf求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。和描述系統(tǒng)的差分方程。 解解312

22、21361612)()()(22zzzzzzzzzFzYzHfh(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k (k) ) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky二、系統(tǒng)的二、系統(tǒng)的z z域框圖域框圖 f (k)Df (k -1)F(z)z1)(1zFz另外兩個基本單元：數(shù)乘器和加法器，另外兩個基本單元：數(shù)乘器和加法器，k域和域和z域框圖域框圖相同。相同。例例3： 某系統(tǒng)的某系統(tǒng)的k域框圖如圖，已知輸入域框圖如圖，已知輸入f(k)= (k)。(1) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和零狀態(tài)響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。(2) 若若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，

23、求零輸入響應(yīng)，求零輸入響應(yīng)yx(k)DDf (k)y(k)1332解解:(1)畫畫z域框圖域框圖z-1z-1F(z)Yf(z)設(shè)中間變量設(shè)中間變量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)(2311)(21zFzzzXYf(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)(23131)(211zFzzzzYf21223323131)(22211zzzzzzzzzzzzHh(k) = 2 (2)k (k)當(dāng)當(dāng)f(k)= (k)時，時，F(xiàn)(z)= z/(z-1)2213) 1(2)2() 1() 3(1233)(22222zz

24、zzzzzzzzzzzzzzzYfyf(k) = 2k + 3 2 (2)k (k)(2)由由H(z)可知，差分方程的特征根為可知，差分方程的特征根為 1=1， 2=2yx(k) = Cx1 + Cx2 (2)k由由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yx(k) = 1 2 (2)k三、利用三、利用z z變換求卷積和變換求卷積和 例例：求：求2k (k)*2-k (k)解解：5 . 0| ,5 . 0)(2zzzkk2| ,225 . 0)(211zzzzkk原式象函數(shù)為原式象函

25、數(shù)為2345 . 034)2)(5 . 0(2zzzzzzz原式原式=) 1()2(34)()5 . 0(34kkkk1* 2-k (k)？四、四、s s域與域與z z域的關(guān)系域的關(guān)系 z=esT zTsln1式中式中T為取樣周期為取樣周期如果將如果將s表示為直角坐標(biāo)形式表示為直角坐標(biāo)形式 s = +j ，將將z表表示為極坐標(biāo)形式示為極坐標(biāo)形式 z = ej = e T ， = T由上式可看出由上式可看出： s平面的左半平面（平面的左半平面（ z平面的單平面的單位圓內(nèi)部（位圓內(nèi)部（ z = 0)-z平面的單位圓外部平面的單位圓外部（ z = 1) s平面的平面的j 軸（軸（ =0)-z平面中的

26、單位圓上（平面中的單位圓上（ z = =1) s平面上實(shí)軸（平面上實(shí)軸（ =0)-z平面的正實(shí)軸（平面的正實(shí)軸（ =0)s平面上的原點(diǎn)（平面上的原點(diǎn)（ =0， =0）-z平面上平面上z=1的點(diǎn)的點(diǎn)（ =1， =0） 五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 由于由于z = esT ， s= +j ，若離散系統(tǒng)，若離散系統(tǒng)H(z)收斂域含單收斂域含單位園，則位園，則若連續(xù)系統(tǒng)的若連續(xù)系統(tǒng)的H(s)收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)j)()(jssHHTzzHje)(離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為存在。存在。令令 T = ，稱為數(shù)字角頻率。，稱為數(shù)字

27、角頻率。jej)()(ezzHH)(jjje)(e)(eHH式中式中 H(ej ) 稱為幅頻響應(yīng)稱為幅頻響應(yīng),偶函數(shù)；偶函數(shù)； ( )稱為相頻響應(yīng)。稱為相頻響應(yīng)。 只有只有H(z)收斂域收斂域含單位園才存在含單位園才存在頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)設(shè)設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k),系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其收斂域含單位園，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，其收斂域含單位園，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(k)=h(k)*f(k) )()(ikfihi當(dāng)當(dāng)f(k)=ej k時時iikikifihihky)(e)(ee)()(jj)(j)(eejjHk若輸入若輸入f(k)=Acos( k+ )則