2020高中數(shù)學必修1知識點超全

1、2020高中數(shù)學知識點必修1第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集， N 或N 表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a M ,或者a M ,兩者必居其一.(4)集合的表示法自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合描述法： X| X具有的性質(zhì),其中X為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合 .(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做

2、無限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集A B (或B A)A中的任一元素都屬于B(1)A A(2)A若AB且BC,則AC若AB且BA,則AB(A(B)(£)或真子集A B(或 B A)A B ,且B中至 少有一元素不屬于 A(1)A (A為非空子集)若A B且B C,則A C集合 相等A BA中的任一元素都屬 于B ,B中的任一元素 都屬于A(1)A B(2)B AG 'A(B) j(7)已知集合A有n(n 1)個元素，則它有2n個子集，它有2n 1個真子集，它有2n 1個非空子集,它有2

3、 n2非空真子集(8)交集、并集、補集【1.1.3】集合的基本運算名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AI Bx | x A,且x B(1) AI A A(2) AI(3) AI B AAI B BCO：)并集AU Bx|x A,或x B(1) AU A AAU A(3) AUB AAUB BGD補集1Ax|x U,且 x A1AI (ouA)2aU(©A) U癡(AI B) (uA)U(ZB)夢(AU B) ( u A) I (? B)“'v*y1【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法不等式解集|x| a(a 0)x| a x a|x| a(a

4、 0)x | x a 或 x a| ax b | c,| ax b | c(c 0)把ax b看成一個整體，化成|x| a,|x| a(a 0)型不等式來求解(2) 一元二次不等式的解法判別式b2 4ac000二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)的圖象_I f r1.u°”工yDO一元二次方程2.c，c、ax bx c 0(a 0)的根b Jb2 4acx1,22a(其中x1 x2)bx1 x22a無實根2.ax bx c 0(a 0)的解集x| x Xi 或 x x2b1x|x2aR2.c、ax bx c 0(a 0)的解集x | x1x x2R 1.2 1函數(shù)及其表示 【1.2

5、.1 函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的概念設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則 f ,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A, B以及A到B的對應(yīng)法則f ) 叫做集合 A到B的一個函數(shù)，記作 f : A B .函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則.只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法設(shè)a, b是兩個實數(shù)，且a b ,滿足a x b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足a x b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做 (a,b)；滿足a x b,或a x b的實數(shù)x的 集合叫做半開半閉區(qū)間，

6、分別記做 a, b), (a,b；滿足x a, x a, x b, x b的實數(shù)x的集 合分別記做a, ),(a, ),( ,b,( ,b).注意：對于集合x | a x b與區(qū)間(a, b),前者a可以大于或等于b ,而后者必須a b.(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1. y tanx 中，x k (k Z). 2零(負)指數(shù)嘉的底數(shù)不能為零.若f(x)是

7、由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)由不等式a g(x) b解出.對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最

8、值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的 值域或最值.判別式法：若函數(shù) yf(x)可以化成一個系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程.2. . .a(y)x b(y)x c(y) 0,則在a(y) 0時，由于x, y為實數(shù)，故必須有2b (y) 4a(y) c( y) 0,從而確定函數(shù)的值域或最值.不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問題.反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)

9、的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.函數(shù)的單調(diào)性法.【1.2.2 函數(shù)的表示法(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6)映射的概念設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f ,對于集合 A中任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)， 那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A, B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合 A到B的映射，記作f : A B .給

10、定一個集合 A到集合B的映射，且a A,b B .如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素 b的原象.R1.3函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 單調(diào)性如果對于屬于定義域 I內(nèi)某 個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值x1、x2,當x1< x2時，者B 有f(x 1)<f(x 2),那么就說 .,.f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).yy=f(X)f(X ) oHx2優(yōu))-x(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象上升為增)(4)利用復(fù)合函數(shù)如果對于

11、屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值x1、x2,當x1< x2時，者B 有f(x 1) > f(x 2),那么就說 .'".f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).yf(x 1y=f(X)(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)olx1x2x在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).對于復(fù)合函數(shù)y fg(x), 令u g(x),若y f (u)為增，u g(x)為增，則y fg(x)為增；若y f(u)為減，u g(x)為

12、減，則y fg(x) 為增；若y f (u)為增，u g(x)為減，則y fg(x)為減；若y f(u)為減,y fg(x)為減.a 一打函數(shù)f(x) x -(a 0)的圖象與性質(zhì) xf (x)分別在(,J-、J-,)上為增函數(shù)，分別在J-,0)、(0, J-上為減函數(shù).(3)最大(小)值定義一般地，設(shè)函數(shù) y f (x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) M滿足：對于任意的x I ,都有f (x) M ；(2)存在 x0I ,使得 f (xo) M那么，我們稱 M是函數(shù)f (x)的最大值，記作fmax(x) M一般地，設(shè)函數(shù) y f(x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) m滿足：(1)對于任意的x I

13、 ,都有f (x) m；(2)存在x0I ,使得f(%) m .那么，我們稱 m是函數(shù)f (x)的最小值，記作fmax(x) m .【1.3.2 奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個x,都有f( - x).= ： f(x).,那么函數(shù)f(x)叫做奇酉 數(shù).V-a)-f (a)(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于原點對稱)17(-a. f C-a)© nk如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個 x,都有 f(.x) = f(x)., 那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).y

14、(-a. fta. f 占)(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于y軸對稱)-a oax若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在 x 0處有定義，則f(0) 0 .奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù)) ，兩個偶函數(shù)(或 奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).R補充知識1函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要

15、準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.平移變換h 0,左移h個單位一yf(x)h。,看移ihi個單位y f(x h)k 0,kyf(x)k0,十移iki個單位yf(x) k伸縮變換y f(x)y f(x)對稱變換y f(x)y f(x)y f(x)y f(x)(2)識圖01伸1,縮0 A 1,縮A 1伸原點yy f( x)y Af (x)f(x)f( x)f(x)f( x)直線y xf1 / y f (x)y f (x)去掉y軸左邊圖象保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象保留x軸上方圖象將x軸下方圖象翻折上去y I f (x)

16、 |y f(|x|)對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義 域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(3)用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了 “形”的直觀性，它是探求解題途徑, 獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.第二章基本初等函數(shù)(I )R2.1 1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)哥的運算(1)根式的概念如果xn a, a R, x R, n 1,且n N ，那么x叫做a的n次方根.當n是奇數(shù)時,(2)a的n次方根用符號 Ua表示；當n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號 &qu

17、ot;a表示，負的n次方 根用符號 £ 表示；0的n次方根是0；負數(shù)a沒有n次方根.式子"甘叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當 n為偶數(shù)時，a 0 .a；當n為奇數(shù)時，nan a；當n為偶數(shù)時，m an 療(a 0,m,n N，且n 1). 0的正分數(shù)指數(shù)根式的性質(zhì)：|a|a (aa (a分數(shù)指數(shù)嘉的概念0)0)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)嘉的意義是:嘉等于0.m 1m1一N ,且 n 1),0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)嘉的意義是：a n ()n n( )m(a 0,m, na a的負分數(shù)指數(shù)嘉沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).(3)分數(shù)指數(shù)嘉

18、的運算性質(zhì)Dar asar s(a 0,r,s R)(ar)s ars(a 0,r,s R)(ab)r arbr(a 0,b 0, r R)【2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y ax(a 0且a 1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a 1/0 a 1V、y 1.xya/(0.1xyay 1k y1)OxOx定義域R值域(0,)過定點圖象過定點(0,1),即當x 0時，y 1 .奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況ax 1 (x 0)ax 1 (x 0)ax 1 (x 0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a

19、越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.R2.2 1對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算(1)對數(shù)的定義若ax N(a 0,且a 1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x loga N ,其中a叫做底數(shù),N叫做真數(shù).負數(shù)和零沒有對數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x loga N ax N (a 0, a 1, N 0).(2)幾個重要的對數(shù)恒等式loga1 0 , loga a 1 , logaab b .(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lg N ,即10g10 N ；自然對數(shù)：ln N ,即loge N (其中e 2.71828 ).(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a 0,a 1,M0, N 0,那么

20、加法：loga M loga N loga(MN )減法：loga Mloga N數(shù)乘：n log a M loga M n(nR)loga Na N log.bMn nloga M (b 0,n a bR) 換底公式：loga Nlog b N 廠上J(b0,且 b1)logb a【2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù) 名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y log a x( a 0且a 1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a 10 a 1j yi x 1y loga xiyd x 1；y loga xI*1,0)=O/|(1，0)xO定義域(0,)值域R過定點圖象過定點(1,0),即當x 1時，y 0.奇偶性非

21、奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況log ax 0 (x 1)log ax 0 (x 1)log ax 0 (0 x 1)log a x 0 (x 1)log a x 0 (x 1)log a x 0 (0 x 1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)yf (x)的定義域為 A，值域為C ,從式子y f (x)中解出x,得式子x (y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過式子 x (y), x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x ( y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x (y)叫做函數(shù)y

22、f(x)的反函數(shù)，記作x f 1( y),1 ,、習慣上改寫成y f (x).(7)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式 y f(x)中反解出x f 1(y)；11將x f (y)改寫成y f (x),并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)y f (x)與反函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于直線y x對稱.一 一一，、-、.、 - .1 ，、函數(shù)y f(x)的定乂域、值域分別是其反函數(shù)y f (x)的值域、定義域.(右P(a,b)在原函數(shù)y f(x)的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù)y f (x)的圖象上.一般地，函數(shù) y f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).R2.3

23、1募函數(shù)（1）募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y x叫做募函數(shù)，其中 x為自變量，是常數(shù).（2）募函數(shù)的圖象一、二象限（圖象關(guān)于y軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限 （圖象關(guān)于原點對稱）；是非奇非偶 函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 .過定點：所有的募函數(shù)在 （0,）都有定義，并且圖象都通過點 （1,1）.單調(diào)性：如果0,則嘉函數(shù)的圖象過原點，并且在 0,）上為增函數(shù).如果0,則嘉函數(shù)的圖象在（0,）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當 為奇數(shù)時，嘉函數(shù)為奇函數(shù)，當 為偶數(shù)時，募函數(shù)為偶函數(shù).當 q （其中p q互 P 'qq質(zhì)，p和q Z）,若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時

24、，則y xP是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y xPq是偶函數(shù)，若 p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y xp是非奇非偶函數(shù).圖象特征：募函數(shù)y x ,x （0,），當 1時，若0 x 1,其圖象在直線y x下方，若x 1 ,其圖象在直線y x上方，當 1時，若0 x 1 ,其圖象在直線y x上方，若x 1 ,其圖象在直線y x下方.R補充知識1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f (x) ax2 bx c(a 0)頂點式：f(x) a(x h)2 k(a 0)兩根式:f (x) a(x x1)(x x2)(a 0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式.已知拋物線的頂點坐

25、標或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式.f (x)更方便.若已知拋物線與 x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)f (x) ax2 bxc(a 0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為b,頂點坐標是2a/ b 4ac b 、(一，)2a 4a當a 0時，拋物線開口向上,b ,函數(shù)在(，上遞減,2a)上遞增，當xfmin(x)4ac b2 t；當a4a0時，拋物線開口向下,函數(shù)在2ab上遞增，在, 2a)上遞減，當x2>fmax(x)24ac b4a二次函數(shù)f (x) ax2bxc(a20)當 b4ac0時，圖象與x軸有兩個交點Mi(xi,0),M2(x2,0),|MiM2| |xi|a|(4)一元二次方程ax2 bx c0(a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容,這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達定理)的運用, 下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.2設(shè)一元二次方程ax bx c 0( a 0)的兩實根為x1,x2，且x1 x2 .令f(x) ax2bx c,從以下四個方面來分析此類問題： 開口方向：a對稱軸位置：x2a判別式： k