簡化解析幾何運算技巧專題(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題：簡化解析幾何運算的5個技巧中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計算能力是一個重要的方面為此，從以下幾個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程技法一巧用定義，揭示本質(zhì)定義是導出其性質(zhì)的“發(fā)源地”，解題時，應善于運用圓錐曲線的定義，以數(shù)形結(jié)合思想為指導，把定量的分析有機結(jié)合起來，則可使解題計算量大為簡化，使解題構(gòu)筑在

2、較高的水平上典例如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()ABC D解析由已知，得F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得解得a22，故a所以雙曲線C2的離心率e答案D方法點撥本題可巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實半軸長a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量對點演練拋物線y24mx(m0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(m,0)，則的最小值為_解析：設(shè)點P的坐標為(x

3、P，yP)，由拋物線的定義，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，則2(當且僅當xPm時取等號)，所以，所以的最小值為答案：技法二設(shè)而不求，整體代換對于直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的中點弦問題，涉及求中點弦所在直線的方程，或弦的中點的軌跡方程的問題時，常?？梢杂么c法求解典例已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的標準方程為()A1 B1C1 D1解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，得0，所以kAB又kAB，所以又9c2a2b2，解得b29，a218，所以橢圓E的方程

4、為1答案D方法點撥本題設(shè)出A，B兩點的坐標，卻不需求出A，B兩點的坐標，巧妙地表達出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題對點演練過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，·，x1x22，y1y22，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，即橢圓C的離心率e答案：技法三巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”，化繁為簡某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方

5、程，使相關(guān)的點的同名坐標為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系后者往往計算量小，解題過程簡捷典例(2016·全國甲卷)已知橢圓E：1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA(1)當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，求k的取值范圍解設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0(1)當t4時，E的方程為1，A(2,0)由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為因此直線AM的方程為yx2將xy2代入1，得7y212y0解得y0或y，所以y1因此AMN的面積SAMN2&#

6、215;××(2)由題意知t>3，k>0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0由x1·()，得x1，故|AM|x1|由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)當k時上式不成立，因此tt>3等價于<0，即<0因此得或解得<k<2故k的取值范圍是(，2)方法點撥本例在第(2)問中可應用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1，這體現(xiàn)了整體思路這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而不求，大大降低了運算量對點演練

7、(2016·蘭州實戰(zhàn)考試)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且經(jīng)過點P，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2(1)求橢圓C的方程；(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若AF2B的內(nèi)切圓半徑為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程解：(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，將點P的坐標代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1(2)由(1)可知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90，顯然判別式大于0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的內(nèi)切圓半徑為r0，則有y1y2，y1y2，r0，所以SAF2BSAF1F2

8、SBF1F2|F1F2|·|y1y2|F1F2|·而SAF2B|AB|r0|BF2|r0|AF2|r0r0(|AB|BF2|AF2|)r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)r0·4a×8×，所以，解得t21，因為所求圓與直線l相切，所以半徑r，所以所求圓的方程為(x1)2y22技法四借“曲線系”，理清規(guī)律利用曲線系解題，往往簡捷明快，事半功倍，所以靈活運用曲線是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一典例已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y224x的準線上，則雙曲線的方程為()A1 B1C1 D1解析由雙曲線1

9、(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，可設(shè)雙曲線的方程為x2(0)因為雙曲線1(a0，b0)的一個焦點在拋物線y224x的準線上，所以F(6,0)是雙曲線的左焦點，即336，9，所以雙曲線的方程為1答案B方法點撥本題利用共漸近線系雙曲線方程，可使問題馬上得到解決避免了復雜的判斷、可能的分類討論、繁雜的解方程組，事半功倍對點演練圓心在直線xy40上，且經(jīng)過兩圓x2y26x40和x2y26y280的交點的圓的方程為()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90 Dx2y24x4y80解析：選A設(shè)經(jīng)過兩圓的交點的圓的方程為x2y26x4(x2y26y28)0，即x2y2xy0

10、，其圓心坐標為，又圓心在直線xy40上，所以40，解得7，故所求圓的方程為x2y2x7y320技法五巧引參數(shù)，方便運算換元引參是一種重要的數(shù)學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍常見的參數(shù)可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件典例設(shè)橢圓1(ab0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點若|AP|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|解法一：依題意，直線OP的方程為ykx，設(shè)點P的坐

11、標為(x0，y0)由條件，得消去y0并整理，得x由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|法二：依題意，直線OP的方程為ykx，可設(shè)點P的坐標為(x0，kx0)由點P在橢圓上，得1因為ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)·a2，解得k23，所以|k|法三：設(shè)P(acos ，bsin )(

12、02)，則線段OP的中點Q的坐標為|AP|OA|AQOPkAQ×k1又A(a,0)，所以kAQ，即bsin akAQcos 2akAQ從而可得|2akAQ|a，解得|kAQ|故|k|方法點撥求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量對點演練(2016·長春市質(zhì)量檢測)橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，點P為橢圓上一動點，F(xiàn)1PF2面積的最大值為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左頂點為A1，過右焦點F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點，連接A1A，A1B并延長分別交直線x4于R，Q兩點，問·是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由解：(1)已知橢圓的離心率為，不妨設(shè)ct，a2t，則bt，其中t0，當F1PF2面積取最大值時，點P為短軸端點，因此·2t·t，