線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型(共31頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型 摘  要  在實(shí)際問題中常常遇到簡單的變量之間的關(guān)系，我們會(huì)遇到多個(gè)變量同處于一個(gè)過程之中，它們之間互相聯(lián)系、互相制約這些問題中最簡單的是線性回歸線性回歸分析是對客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析方法，被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往用一個(gè)變量無法描述，故本篇在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下，又詳細(xì)地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)和其顯著性檢驗(yàn)等全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系，準(zhǔn)確測定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動(dòng)以提高預(yù)測和控制的準(zhǔn)確度 本文中詳細(xì)的

2、闡述了線性回歸的定義及其線性模型的簡單分析并應(yīng)用了最小二乘法原理具體介紹了線性回歸分析方程參數(shù)估計(jì)辦法和其顯著性檢驗(yàn)并充分利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測 但復(fù)雜的計(jì)算給分析方法推廣帶來了困難，需要相應(yīng)的操作軟件來計(jì)算回歸分析求解操作過程中的數(shù)據(jù)以提高預(yù)測和控制的準(zhǔn)確度從而為工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及研究起到強(qiáng)有力的推動(dòng)作用  關(guān)鍵詞：線性回歸；最小二乘法；數(shù)學(xué)模型        目     錄  第一章  前言1 第二章  線性模型2 第一節(jié)  一

3、元線性模型2 第二節(jié)  多元線性模型4 第三章 參數(shù)估計(jì) 5 第一節(jié)  一元線性回歸方程中的未知參數(shù)的估計(jì)5 第二節(jié)  多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)8 第四章 顯著性檢驗(yàn)13 第一節(jié)  一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 13 第二節(jié)  多元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 20 第五章 利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測21 第六章 總結(jié)26 致謝 27 參考文獻(xiàn)     第一章  前  言  回歸分析是對客觀事物數(shù)量依存關(guān)系的分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)常用的方法是處理多個(gè)變量之間相互關(guān)系的一種

4、數(shù)學(xué)方法 在現(xiàn)實(shí)世界中，我們常與各種變量打交道，在解決實(shí)際問題過程中，我們常常會(huì)遇到多個(gè)變量同處于一個(gè)過程之中，它們之間互相聯(lián)系、互相制約常見的關(guān)系有兩種：一類為“確定的關(guān)系”即變量間有確定性關(guān)系，其關(guān)系可用函數(shù)表達(dá)式表示例如：路程s,時(shí)間t,與速度v之間有關(guān)系式：s=vt 在圓體給與半徑r之間有關(guān)系式v= 另外還有一些變量他們之間也有一定的關(guān)系，然而這種關(guān)系并不完全確定，不能用函數(shù)的形式來表達(dá)，在這種關(guān)系中至少有一個(gè)變量是隨機(jī)的例如：人的身高與體重有一定的關(guān)系，一般來講身高高的人體重相對大一些但是它們之間不能用一個(gè)確定的表達(dá)式表示出來這次變量（或至少其中有一個(gè)是隨機(jī)變量）之間的關(guān)系我們稱之為

5、相關(guān)關(guān)系又如環(huán)境因素與農(nóng)作物的產(chǎn)量也有相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樵谙嗤h(huán)境條件下 農(nóng)作物的產(chǎn)量也有區(qū)別，這也就是說農(nóng)作物的產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量回歸分析就是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，是尋找不完全確定的變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的一種方法它能幫助我們從一個(gè)變量取得的值去估計(jì)另一個(gè)變量的值在這種關(guān)系中最簡單的是線性回歸 線性回歸分析是對客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析方法，被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往用一個(gè)變量無法描述， 故本篇在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下，又詳細(xì)地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)和其顯著性檢驗(yàn)

6、等全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系，準(zhǔn)確測定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動(dòng)以提高預(yù)測和控制的準(zhǔn)確度                   第二章 線性模型 第一節(jié) 一元線性模型 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科研中最常遇到的配直線問題，就是回歸分析的統(tǒng)計(jì)推斷方法來求經(jīng)驗(yàn)公式（線性回歸）的問題如： 例1  今有某種大豆脂肪含量x（%）與蛋白質(zhì)含量y（%）的測定結(jié)果如下表所示：試求它們之間的關(guān)系（檢驗(yàn)公式） x 165 175 185 195

7、205 215 225 y 435 426 426 406 403 387 372  首先將這組數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系上描成點(diǎn)，如下圖：            一般的，按此方法描點(diǎn)所得的圖成為散點(diǎn)圖 從圖上可以看出：這些數(shù)據(jù)描出的點(diǎn)分布在一條直線附近于是推出他們大致可以表示為線性關(guān)系 這里再y上加“ ”是為了區(qū)別于他的實(shí)際值y，因?yàn)閥與x一般不具有確定的函數(shù)關(guān)系，這樣，在散點(diǎn)圖的啟發(fā)下，我們選定了回歸方程是線性的然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷方法來估計(jì)出未知數(shù) 和 從而確定所求的經(jīng)驗(yàn)公式一般的，

8、設(shè)隨機(jī)變量y與x之間的相關(guān)關(guān)系可以用線性模型                         ,  N(0, )                     （1） 來表示這

9、里x是試驗(yàn)或觀察中可以控制或精確觀測的變量即非隨機(jī)變量,y是可觀測的隨機(jī)變量  是不可觀測的隨機(jī)變量（它表示模型誤差，是除去x對Y的先行影響之外的且不能測出的其它各個(gè)隨機(jī)因素對Y的影響的總和）  通過實(shí)驗(yàn)觀測可得到關(guān)于變量x和Y的一組數(shù)據(jù)（ ， ），（ ， ），（ ， ）因?yàn)閷τ谌我庖粋€(gè) （i=1,2,n），在 的觀測值在取定前不能精確預(yù)言它一定能取什么值，故把 看作是隨機(jī)變量Y的觀測值而相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ， ， 為Y的樣本我們知道，樣本與樣本觀測值之間的區(qū)別是：前者是隨機(jī)變量，后者為取定的數(shù)值，但為了敘述方便，今后把樣本觀察值也成為樣本在符號上均用 ， ， 來表示具體表

10、示的意義也可由上下文分析清楚，設(shè)觀測值 與樣本 之間滿足關(guān)系式：   =      （i=1,2,n）              （2） 其中    （i=1,2,n）且相互獨(dú)立     如果兩個(gè)變量間的關(guān)系用上述線性模型描述，則它們之間存在線性相關(guān)關(guān)系由（1）有：    E(Y)=   我們希望根據(jù)觀測的數(shù)據(jù) ，求出 , 的估

11、計(jì)量 ，   這樣就可以利用方程                               （3） 去估計(jì)隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)也就是說，將 ， 代入方程 （1）并略去誤差 ，就得到了隨機(jī)變量Y和變量x的線性關(guān)系式（3）方程（3）通常稱為Y對x的線性回歸方程或回歸方程，其圖形稱為回

12、歸直線 對于（1）和（2）所確定的線性模型，所考慮的統(tǒng)計(jì)推斷主要問題是：未知參數(shù) 和 的估計(jì)：檢驗(yàn)x和Y之間的關(guān)系是否可確信是線性關(guān)系，即對假設(shè)（1）進(jìn)行檢驗(yàn)，對Y進(jìn)行預(yù)測等     第二節(jié) 多元線性模型  一般來講，影響結(jié)果Y的因素往往不止一個(gè)設(shè)有 ， 共p個(gè)元素這時(shí)要用圖來確定它們的關(guān)系是困難的?？筛鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)做出假設(shè)其中最簡單的是假設(shè)它們之間有線性關(guān)系：                 

13、0;          （4） 式中 ， 都是可精確測量或可控制的一般變量，Y是可觀測的隨機(jī)變量， ， ， 都是未知參數(shù)， 是服從 分布的不可觀測的隨機(jī)誤差我們對（4）獲得了n組相互獨(dú)立的觀測值（樣本） （ ； ， ， ）  （i=1,2,n）               （5） 于是由（4）式可知 具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：     i

14、=1,2,n                    （6） 其中各個(gè) （ i=1,2,n）相互獨(dú)立，且均服從 這就是p元線性回歸模型 對于（4）所確定的模型統(tǒng)計(jì)推斷的主要問題是：根據(jù)樣本去估計(jì)未知參數(shù) ， ， 、 ，從而建立Y與 ， 間的數(shù)量關(guān)系式和對比得到的數(shù)量關(guān)系式的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn);檢驗(yàn)各變量 ， 分別對指標(biāo)是否有顯著影響2 第二章   參數(shù)的估計(jì)  第一節(jié) 一元線性回

15、歸方程參數(shù)的估計(jì)  有多種確定回歸方程也就是確定未知參數(shù) , 的估計(jì)量 ， ，的方法其中最常用的是“最小二乘法”     我們將采用“最小二乘法原理”來求出 ， 也就是求，使誤差 （ i=1,2,n）的平方和 Q= =                           （7） 為最小的 ， 值作為參數(shù) ,

16、的估計(jì)量 由（7）知Q是 , 的二元函數(shù)即Q=Q( , )按二元函數(shù)求極值的方法可得聯(lián)立方程組：                             （8） 這個(gè)方程組稱為正規(guī)方程組 即：             &

17、#160;                        （9） 解此方程組由（9）的第一式得 因此 的估計(jì)量為：                     &#

18、160;             （10） 其中 ， 將（10）式代入（9）中的第二式可解得 的估計(jì)量為                        （11） 這樣：利用（10）和（11）確定的 , 使平方和Q達(dá)到最小，從而求出回歸方程  

19、;             這里 ， 分別表示由（10）和（11）確定的 , 的值并稱 為經(jīng)驗(yàn)截距； 為經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)，簡稱為回歸系數(shù)，而 是 的無偏估計(jì)量 由（10）可得回歸方程的另一種形式：                         

20、;       （12） 由此可知，回歸直線通過點(diǎn)（ ， ），即通過由館測值的平均值組成的點(diǎn)，并且回歸方程由回歸系數(shù) 完全確定一般的，把由回歸方程確定的x的對應(yīng)值 稱為回歸值 根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，利用 （10）和（11）來求回歸直線時(shí)，常把（11）中的分子和分母分別記為 和 ，且按下面的公式計(jì)算： 所以（10）和 （11）兩式可記作：                  &#

21、160;            （13）                                  （14） 又有公式:     =

22、 =                           （15） 然而，對總體中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其主要目的還是建立一元線性回歸方程雖然有一個(gè)正規(guī)方程組存在實(shí)際上并不研究它以下是建立一元線性回歸方程的具體步驟： （1）    計(jì)算 ， ， ， ， ； （2）    計(jì)算  &

23、#160;， ， （在回歸方程作顯著性檢驗(yàn)時(shí)用）； （3）    計(jì)算 和 寫出一元線性回歸方程3 序號 1 165 435 27225 189225 71775 2 175 426 30625 181476 74550 3 185 426 34225 181476 78810 4 195 406 38025 164836 79170 5 205 403 42025 162409 82615 6 215 387 46225 149769 83205 7 225 372 50625 138384 83700 8 235 360 55225 129600 84600

24、9 245 340 60025 115600 83300 1845 3555 384225 1412775 721725 從而可求得 =205， =395， =60， =-705， -1175， = - =63588 所求回歸方程為 63588-1175x 例2  設(shè)兩個(gè)變量x與Y由某種相關(guān)關(guān)系，測得它的一組數(shù)據(jù)如下表所示，試求其回歸方程 x 492 500 493 490 490 495 498 499 502 502 Y 167 170 168 166 167 168 168 170 170 171 解：根據(jù)計(jì)算得       &

25、#160;  =4961， =1685， =2461351， =835994 =03293， = - =05129 所以回歸方程為 05129+03293x  第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)  設(shè) ， ，Y有一組觀測值(樣本);（ ， ， ）（i=1，2，n）我們希望由估計(jì) ， ， 所決定出的回歸方程能使一切 與 之間的偏差達(dá)到最小根據(jù)最小二乘法的原理 即：要求  = 所以只要求偏離平方和 達(dá)到最小的 為書寫方便以下把“ ”書寫成“ ” 根據(jù)微積分中值原理和最小二乘法估計(jì)   是下列方程組的解    

26、 （ j=1,2,，n）      （16） 經(jīng)整理即得關(guān)于 的一個(gè)線性方程組                                    （17） 此方程組（17）稱為正規(guī)方程組借此方程組就可求得參

27、數(shù) 的回歸值 為了求解方便我們將（17）是寫成矩陣的形式，令     1                                        X=     1 

28、              ，Y=        ， B=                                    

29、                1                                       

30、;     記（17）式的系數(shù)矩陣為A，常數(shù)項(xiàng)矩陣為B，則A恰為 ，B恰為   即：                     1    1        1        1   

31、       =                     1                               

32、0;                                     1               n       &#

33、160;         =                     =A                          &#

34、160;                      1     1        1                    

35、60;  =                            =        =B                    

36、                                                     因此用矩陣的形式可表式為 

37、;    =  在回歸分析中通常 存在這時(shí)最小二乘估計(jì) 可表式為： =                            （18） 當(dāng)我們求出了 的最小二乘估計(jì) 后，就可以建立多元回歸方程5 例 3 某地區(qū)所產(chǎn)原棉的纖維能力Y與纖維的公制支數(shù) ，纖維的成熟度 有關(guān)，現(xiàn)實(shí)測得28組數(shù)據(jù)（見下表）試

38、建立Y關(guān)于 ， 的二元線性回歸方程  i      i    1 5415 158 403 15 6208 170 381 2 5700 138 401 16 5798 159 400 3 5674 157 400 17 5551 161 419 4 5698 155 409 18 6059 157 381 5 6165 152 373 19 6060 153 396 6 5929 160 409 20 6059 155 393 7 7505 114 295 21 6370 145 372 8 5920 150 390 22 6102

39、 149 384 9 7646 118 289 23 6245 150 388 10 6556 127 348 24 6644 145 338 11 6475 150 360 25 6191 158 376 12 5907 150 377 26 6352 150 379 13 5697 154 394 27 5999 159 379 14 6618 12 366 28 5815 17 409 解：先求出方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)向量，再求 =             &

40、#160;       =61567143 =4184                      =14943 =10609                 &

41、#160;    =37889 =                 =72  =630632                    =05423 =04     

42、;           =-15098857 =28                 =-40545386 =1594481                  =0919

43、3 =4045287 求 ， 的正規(guī)方程組為 72 -15098857 =-40545386                      -15098857 +05423 =09193 解得 =-0 ， =02527 ， = =66011 所以 Y的關(guān)于 ， 的二元線性回歸方程為 =66011-0 +02527         &

44、#160;                    第四章 顯著性檢驗(yàn)  第一節(jié)   一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)  由上面的討論知，對于任何的兩個(gè)變量x和Y的一組觀測數(shù)據(jù)（ ）（i=1,2,n）按公式（10）和（11）都可以確定一個(gè)回歸方程   然而事前并不知道Y和x之間是否存在線性關(guān)系，如果兩個(gè)變量Y和x之間并不存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系，那么這樣確

45、定的回歸方程顯然是毫無實(shí)際意義的因此，我們首先要判斷Y和x是否線性相關(guān)，也就是要來檢驗(yàn)線性假設(shè)    是否可信，顯然，如果Y和x之間無線性關(guān)系，則線性模型的一次項(xiàng)系數(shù) =0；否則 0所以檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，歸根到底是要檢驗(yàn)假設(shè)  根據(jù)現(xiàn)行假設(shè)對數(shù)據(jù)所提的要求可知，觀察值 ， ， 之間的差異，是有兩個(gè)方面的原因引起的：（1）自變量x的值不相同;（2）其它因素的影響，檢驗(yàn) 是否成立的問題，也就是檢驗(yàn)這兩方面的影響哪一個(gè)是主要的問題因此，就必須把他們引起的差異從Y的總的差異中分解出來也就是說，為了選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，先導(dǎo)出離差平方和的分解因式6 &#

46、160;一、離差平方和的分解公式 觀察值  （i=1,2,n），與其平均值 的離差平方和，稱為總的離差平方和，記作  因?yàn)?#160;                   =  其中： =2 =2 =2 =2 所以 = 由于   中的 ， 為（10）和（11）所確定即它們滿足正規(guī)方程組（9）的解因此定義項(xiàng)        

47、;                    = 于是得到了總離差平方和的分解公式：                    其中           &#

48、160;                       （19）                            &

49、#160; 是回歸直線 上橫坐標(biāo)為 的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并且  的平均值為 ， 是 這n個(gè)數(shù)的偏差平方和，它描述了 的離散程度，還說明它是來源于 的分散性，并且是通過x對于Y的線性影響而反映出來的，所以， 稱為回歸平方和 而      = 它正是前面討論的 的最小值，在假設(shè)（1）式的條件下它是由不可觀察的隨機(jī)變量 引起的，也就是說，它是由其它未控制的因素及試驗(yàn)誤差引起的，它的大小反映了其它因素以及試驗(yàn)誤差對實(shí)驗(yàn)結(jié)果得影響我們稱 為剩余平方和或殘差平方和7 二、 、 的性質(zhì)及其分布 由以上分析可知，要解決判斷Y和x之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系的問

50、題，需要通過比較回歸平方和和剩余平方和來實(shí)現(xiàn)為了更清楚地說明這一點(diǎn)，并尋求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，考察估計(jì)量 ， 的性質(zhì)及其分布 （一） 的分布  由（14）式可知 = 在 相互獨(dú)立且服從同一分布 的假定下由（2）知 ， ， 是P個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且      （i=1,2,，n）所以他們的平均值 的數(shù)學(xué)期望為： 因?yàn)?是 的線性函數(shù)，且有： 這說明 是 的無偏估計(jì)量且 的方差為 所以 即:            

51、0;    同樣可證，對于任意給定的 其對應(yīng)的回歸值 （它是 的點(diǎn)估計(jì)）適合 ( ， （二） 方差 的估計(jì)及分布 因?yàn)?#160;           = = = 由 、 及 可得 = 又由于  及E(L)，E(U)得 =E(L)+E(U) =（n-2） 從而,說明了 = = 是 的無偏估計(jì)量，由此可見，不論假設(shè) 成立與否， 是 的一個(gè)無偏估計(jì)量，而 僅當(dāng)假設(shè)成立時(shí)，才是 的一個(gè)無偏估計(jì)量，否則它的期望值大于 說明比值     

52、;                                                  

53、0;   （20） 在假設(shè)成立時(shí)有偏大傾向，也就是說，如果F取得值相當(dāng)大，則沒有理由認(rèn)為x和Y之間有線性相關(guān)關(guān)系，也就是下面我們將采用F作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的原因另外，由于 ， 是 的最小二乘估計(jì)，由（8）式可知 =0    ，     =0 這表明 中的n個(gè)變量 ， 之間有兩個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，故 的自由度為n-2因此   8 三、F檢驗(yàn) 由以上討論可知，當(dāng) 成立時(shí) ； 且二者相互獨(dú)立，由此可得  因此可用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量F作為檢驗(yàn)假設(shè) 的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 對給定的顯著性水平 ，查自由度為

54、（1，n-2）的F分布的臨值表，得臨界值 ，如果由實(shí)際觀察值計(jì)算所得的F> 則否定假設(shè) ，即認(rèn)為x,Y之間線性相關(guān)關(guān)系顯著否則不能否定 ，而認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系不顯著     這種采用F檢驗(yàn)法來對回歸方程來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法稱為方差分析     在F檢驗(yàn)中， ， 的計(jì)算公式如下 = =                     

55、0;                 （21） 其中       = 例4 對例1進(jìn)行線性關(guān)系顯著性檢驗(yàn) 解：n=9          =-1175×(-705)=8284          = =8550-8

56、184=266 具體檢驗(yàn)在如下的方差分析表上進(jìn)行 方差來源 平方和 自由度 平均平方和 F值 回歸 8284 1 8284 21800 剩余 266 7 038 總和 8548 8   查下表對 =001 ，    今 說明線性關(guān)系極顯著，即回歸方程是有意義的9 例5 某種物質(zhì)在不同的溫度下可以吸附另一種物質(zhì)，如果溫度x（單位：）與吸附重量Y（單位：mg）的觀測值如下表所示： 溫度 15 18 24 30 35 39 44 48 50 重量 48 57 70 83 109 124 131 136 153 試求其回歸方程并作顯著性檢驗(yàn) 解：根據(jù)上

57、述觀測值得到  n=9 =303          =9111 =11511      =34509      =103665 =13100         =38387         =114516 =3367  &

58、#160;        =10122          = =29303 =02569 所求線性回歸方程為 =02569+29303x 因?yàn)?=114516  =112485  所以 =  =2031 由n-2=7   =122           =38769   

59、   F>122 所以回歸方程極顯著 第二節(jié)  多元線性回歸方程的相關(guān)性檢驗(yàn)  由于 的無偏估計(jì)量為 將總的離差平方和 進(jìn)行分解可 得到 + 其中      ， 這里 叫做殘差平方和，其自由度為n， 叫做回歸平方和，自由度為n-p-1 檢驗(yàn)假設(shè) 是否成立    在 成立時(shí)  因此可利用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)線性相關(guān)關(guān)系的顯著性 如果F ，則可認(rèn)為 與 ， 之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著；如果 則可以認(rèn)為 與 ， 之間的線性相關(guān)關(guān)系特別顯著否則可認(rèn)為 與 ， 之間不存在線性相關(guān)關(guān)

60、系，所建立的線性回歸方程是不顯著的 例6 對例1 的回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) 解：經(jīng)過計(jì)算得 =23510 ， = =47346           = （2，10）=756 所以所求二元線性回歸方程線性極其顯著10  第五章 利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測  若線性回歸方程作顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果是拒絕 ，也就是拒絕回歸系數(shù) =0的假設(shè)，便可以利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測這是人們關(guān)注線性回歸的主要原因之一 （1）當(dāng)x=  時(shí)用 預(yù)測 的觀測值 稱為點(diǎn)預(yù)測，根據(jù)  &

61、#160;               得 的觀測值 的點(diǎn)預(yù)測是無偏的 （2）當(dāng)x=  時(shí)用適合不等式  的統(tǒng)計(jì)量G 和H所確定的隨機(jī)區(qū)間 預(yù)測 的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測，而 稱為 的 預(yù)測區(qū)間 若 與樣本的各 相互獨(dú)立，則根據(jù) 服從正態(tài)分布    ,   ，Z與Q 相互獨(dú)立可以導(dǎo)出 因此 的 預(yù)測區(qū)間為 與一元線性回歸一樣，當(dāng)給定 時(shí)，可求出相應(yīng)的 的點(diǎn)估計(jì) 亦可求出區(qū)間估計(jì)，還可以給出相應(yīng)的 的預(yù)測 區(qū)間11 影響

62、預(yù)測精度的主要因素有： （1） ，但  是不可改變的一般的， 越小精度越高 （2） n，n越大精度越高因此，要盡量擴(kuò)大樣本容量 （3）自變量取值 不要太集中；預(yù)測點(diǎn) 離 越近精度越高 例7 一些夏季害蟲的盛發(fā)期與春季溫度有關(guān)，現(xiàn)有1956-1964年間3月下旬至4月中旬平均溫度的累計(jì)數(shù)x和一代三螟蛾盛發(fā)期Y（以5月10日為0）的觀測值如下：  溫度 355 341 317 403 368 402 317 392 442 盛發(fā)期 12 16 9 2 7 3 13 9 -1 試求線性回歸方程并進(jìn)行F檢驗(yàn)；若 =40 ，求 的095預(yù)測區(qū)間 解：根據(jù)上述觀測值得到的  n=9 =3337           =70 =1251749      =24364