函數(shù)極限二與導數(shù)定義

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 5.2、5.1、5、兩個重要極限 第一章 1xxsinlim0 x e)1(limxx1x 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5.1、 兩個重要極限兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx注 OBAx1DC第一種重要極限的推廣形式第一種重要極限的推廣形式1)()(sinlim0)(xxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsin

2、lim0 1lim0tttsin1目錄 上頁 下頁 返回 結束 20sinlimx2x2x21例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.e)1(lim1xxxe)x1(limx10 x 推廣形式：推廣形式：說明說明 ：若利用, e)1 (lim)()(1)(xxx則 原式111e)1 (limxxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1目錄 上頁 下頁 返回 結束 limx例例7. 求.

3、)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 求.)xx1(limx3x 例例9. 求.)1x23x2(lim41x23x 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表達式目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11

4、(lim. 4nnn0101e第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一章 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 6、無窮小的比較目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0limCk定義定義.,0lim若則稱 是比 高階高階的無窮小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階階無窮小;則稱 是 的等價等價無窮小, 記作目錄 上頁 下頁 返回 結束

5、定理定理2 . 設,且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052目錄 上頁 下頁 返回 結束 設對同一變化過程 , , 為無窮小 ,說明說明:無窮小的性質, (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則. 若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價與且若,則例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則.limlim且！時此結論未必成立注意例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(見下頁例3) 目錄 上頁 下頁

6、 返回 結束 (3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x界, 則)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 目錄 上頁 下頁 返回 結束 231x221x例例4. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 證明: 當 0 x時,.11lnxxx證證:利用和差代替與取大

7、規(guī)則和差代替與取大規(guī)則說明說明時，當 0 x)1ln()1ln(11lnxxxx)(xxx)()(1ln()1ln(xxx不等價與)1ln()1ln(xxxx )1ln( 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無窮小的比較設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小目錄 上頁 下頁 返回 結束 7.2、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 7.1、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 7、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 可見 ,

8、 函數(shù))(xf在點0 x7.1、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;目錄 上頁 下頁 返回 結束 continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),

9、(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內連續(xù).在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的連續(xù)型基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的連續(xù)型基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算結果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)復合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結束 在在二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函

10、數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不連續(xù) :0 x設0 x在點)(xf的某去心鄰域內有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一, 函數(shù) f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點間斷點 . 在無定義 ;目錄 上頁 下頁 返回 結束 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個

11、為振蕩,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點可去間斷點 .為跳躍間斷點跳躍間斷點 .為無窮間斷點無窮間斷點 .為振蕩間斷點振蕩間斷點 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin)2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O目錄 上頁 下頁 返回 結束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .目錄 上頁 下頁

12、返回 結束 內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續(xù)的等價形式目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型.2. 設0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P65 題 3 , *8)(xf為連續(xù)函數(shù).答

13、案答案: x = 1 是第一類可去間斷點 ,目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 確定函數(shù)間斷點的類型.xxxf1e11)(解解: 間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續(xù)xf目錄 上頁 下頁 返回 結束 8.1、最值定理、最值定理 8.2、介值定理、介值定理 8、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立 .8.1、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設, ,)(ba

14、Cxf12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點 ,xyab)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也無最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)(baxf在因此12mM8.2、介值定理、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零點定理 )

15、, ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 證明略 )推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. ( 介值定理 ) 設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)C使.)(Cf至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .xAby

16、a)(xfy BO目錄 上頁 下頁 返回 結束 O1x例例. 證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內至少有則則4321內容小結 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff

17、提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 易證0)()0(a2. 設作業(yè)作業(yè)P74 (習題110） 2 ; 3; 5一點習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf備用題備用題 1e3xx至少有一個不超過 4 的 證證：證明令1e)(3xxxf且)0(f1e3)4(f1e43400e3根據(jù)零點定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證 .)4,0(內至少存在一點在開區(qū)間顯然正根 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 9.1、導數(shù)的定義、導數(shù)的定義9.2、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的幾何意義9.3、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系9.4、單

18、側導數(shù)、單側導數(shù)9 9、導數(shù)的概念、導數(shù)的概念 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 9.1、導數(shù)的定義、導數(shù)的定義定義定義1 . 設函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)若的某鄰域內有定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數(shù)導數(shù). 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0limxx00)()(xx

19、xfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx不存在, 就說函數(shù)在點 不可導. 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數(shù)在開區(qū)間 I 內每點都可導,此時導數(shù)值構成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就稱函數(shù)在 I 內可導. 的導數(shù)為無窮大 .若極限目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導數(shù). 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函數(shù))()(Nnxxfn.處的導數(shù)在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(li

20、max1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明：說明：對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121 xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）目錄 上頁 下頁 返回 結束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數(shù)xxfsin)(的導數(shù). 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh目錄 上頁 下頁 返回

21、 結束 )1(lnxh例例4. 求函數(shù)xxfln)(的導數(shù). 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1目錄 上頁 下頁 返回 結束 則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 證明函數(shù)xxf)(在 x = 0 不可導. 證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可導在即xx例例6. 設)(0 xf 存在, 求極限.2)()(li

22、m000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf目錄 上頁 下頁 返回 結束 9.2、 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyO0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfy

23、y法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0時 xfxyO)(xfy CT0 xMxy0 xO目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyO1111例例7. 問曲線3xy 哪一點有鉛直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應,1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有鉛直切線目錄 上頁 下頁 返回 結束 處可導在點xxf)(9.3、 函數(shù)的可導性與連續(xù)

24、性的關系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)()(lim0 xfxyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 函數(shù)在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為在點處右右 導數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù))(xf)(xf在點0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導,)(baCxf在開區(qū)間 內可導,),(ba在閉區(qū)間 上可導.,ba可導的充分必要條件是且目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點0 x的某

25、個右右 鄰域內9.4、 單側導數(shù)單側導數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導數(shù)導數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(f定義定義2 . 設函數(shù)有定義,存在,xyOxy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例題例題. 點點的的連連續(xù)續(xù)型型與與可可導導性性判判定定函函數(shù)數(shù)0 x0 x)x1ln(0 x00 x,x1sinx)x(f2 解解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 導數(shù)的實質:3. 導數(shù)的幾何意義:4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導;5. 已學求導公式 :6. 判斷可導性不連續(xù), 一定不可導.直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(0