有限元分析課件

1、2021/6/1612021/6/162l了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。l學(xué)習(xí)有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理、等參單元等概念。l初步學(xué)會使用商用有限元軟件分析簡單工程問題。l了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限單元法當(dāng)前的進展情況。 2021/6/163l課程評估作業(yè)25%隨堂測驗25%專題分析與報告50%l課程進度安排第16周，課堂教學(xué)第710周，學(xué)習(xí)ANSYS與上機練習(xí)第1215周，課堂教學(xué)第16周，課程總結(jié)/交流2021/6/164l王勖成,邵敏編著. 有限單元法基本原理和數(shù)值方法 . 北京 : 清華大學(xué)出

2、版社, 1997l朱伯芳著. 有限單元法原理與應(yīng)用（第2版）. 北京: 中國水利水電出版社, 1998lSaeed Moaveni. Finite Element Method Theory and Application with ANSYS. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 19992021/6/165lO.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000l郭和德編. 有限單元法概論，清

3、華大學(xué)，1998 2021/6/1661.1有限單元法的形成1.2有限單元法的基本思路1.3有限單元法的計算步驟1.4有限單元法的進展與應(yīng)用2021/6/167l兩類典型的工程問題第一類問題，可以歸結(jié)為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。2021/6/168平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel塔，由18036個部件組成2021/6/169大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優(yōu)化設(shè)計，由曾攀教授完成。2021/6/1610第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題

4、，電磁場問題等。熱傳導(dǎo)問題的控制方程與換熱邊界條件如下：tTcQzTzyTyxTxTThnTf2021/6/1611300MW汽輪機低壓轉(zhuǎn)子淬火 2021/6/1612l第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計算機技術(shù)。l第二類問題的研究對象稱為連續(xù)系統(tǒng)?？梢越⒚枋鲞B續(xù)系統(tǒng)的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數(shù)問題的解析解。對于許多實際的工程問題，需要用近似算法求解。2021/6/1613在尋找近似解法的過程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩個不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限單元法（Finite Element Method)。有限單元法的形成可以回顧到二十

5、世紀(jì)50年代，它的形成直接得益于土木結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法和在飛機結(jié)構(gòu)分析中所獲得的成果。2021/6/1614l1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。l1956年，M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。l1960年， R.W. Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（Finite Element）這一術(shù)語2

6、021/6/1615從固體力學(xué)的角度來看，桁架結(jié)構(gòu)與分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)體在結(jié)構(gòu)上存在相似性。2021/6/1616l數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。l在1963年前后，經(jīng)過J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認識到有限單元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計算公式。2021/6/1617l1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分

7、形式的所有場問題，都可以用與固體力學(xué)有限單元法的相同步驟求解。l1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。2021/6/1618陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長（廣義變分原理）胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限單元法理論）20世紀(jì)60年代初期，馮康等人在大型水壩應(yīng)力計算的基礎(chǔ)上，獨立于西方創(chuàng)造了有限元方法并最早奠定其理論基礎(chǔ)。-數(shù)學(xué)辭海第四卷2021/6/1619l將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個分區(qū)或單元l用標(biāo)準(zhǔn)方法對每個單元提出一個近似解l將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。2021/6

8、/1620受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，單位長度的重量為q，桿的內(nèi)力為N。試求：桿的位移分布，桿的應(yīng)變和應(yīng)力。2021/6/1621)()(xLqxNEAdxxLqEAdxxNxdL)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()()(xLEAqdxdux)(xLAqExx自重作用下等截面直桿的材料力學(xué)解答2021/6/16221）離散化如圖所示，將直桿劃分成n個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。稱兩段之間的連接點為結(jié)點，稱每個有限段為單元。第i個單元的長度為Li，包含第i，i+1個結(jié)點。2021/6/16232）用單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)

9、部位移第i個單元中的位移用所包含的結(jié)點位移來表示。)()(1iiiiixxLuuuxu第i結(jié)點的位移iuix第i結(jié)點的坐標(biāo)2021/6/1624iiiiLuudxdu1第i個單元的應(yīng)變iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1應(yīng)力內(nèi)力2021/6/16253）把外載荷集中到節(jié)點上把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結(jié)點上2021/6/16264）建立結(jié)點的力平衡方程2)(11iiiiLLqNN對于第i+1結(jié)點，由力的平衡方程可得：1iiiLL令221)11 (2)1 (iiiiiiiLEAquuu)(2)()(11121iiiiiiiiLLqLuuEALuuEA20

10、21/6/1627根據(jù)約束條件，01u對于第n+1個結(jié)點，第n個單元的內(nèi)力與第n+1個結(jié)點上的外載荷平衡，2nnqLN EAqLuunnn221建立所有結(jié)點的力平衡方程，再加上約束條件可以得到由n+1個方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個結(jié)點的位移。2021/6/1628有限單元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：l網(wǎng)格劃分（離散化）l單元分析l整體分析2021/6/1629對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節(jié)點相連接。由單元、結(jié)點、結(jié)點連線構(gòu)成的集合稱為網(wǎng)格。2021/6/1630通常把三維實體劃分成四面體（Tetrahedron）或六面體（Hexa

11、hedron）單元的網(wǎng)格四面體4結(jié)點單元六面體8結(jié)點單元2021/6/1631三維實體的四面體單元劃分三維實體的六面體單元劃分2021/6/1632通常把平面問題劃分成三角形（triangular)或四邊形(quadrilateral)單元的網(wǎng)格三角形3節(jié)點單元 四邊形4節(jié)點單元2021/6/1633平面問題的三角形單元劃分平面問題的四邊形單元劃分2021/6/1634彈性力學(xué)問題的單元分析，就是建立各個單元的節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關(guān)系式。由于將單元的節(jié)點位移作為基本變量，單元分析首先要為單元內(nèi)部的位移確定一個近似表達式，然后計算單元的應(yīng)變、應(yīng)力，再建立單元中節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系式。2021

12、/6/1635單元有三個結(jié)點I、J、M，每個結(jié)點有兩個位移u、v和兩個結(jié)點力U、V。2021/6/1636單元的所有結(jié)點位移、結(jié)點力，可以表示為結(jié)點位移、結(jié)點力向量（vector） mmjjiievuvuvu mmjjiieVUVUVUF單元的結(jié)點位移和結(jié)點力之間的關(guān)系用張量（tensor）來表示 eeeKF2021/6/1637對由各個單元組成的整體進行分析，建立節(jié)點外載荷與結(jié)點位移的關(guān)系，以解出結(jié)點位移，這個過程為整體分析。在邊界結(jié)點i上受到集中力作用。結(jié)點i是三個單元的結(jié)合點，因此要把這三個單元在同一結(jié)點上的結(jié)點力匯集在一起建立平衡方程。2021/6/1638i結(jié)點的結(jié)點力：eeiiii

13、UUUU)()3()2()1(eeiiiiVVVV)()3()2()1(i結(jié)點的平衡方程：iyeeieixeiPVPU)()(2021/6/16391.4.1 主要研究領(lǐng)域與有限元軟件從二十世紀(jì)60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?主要的研究領(lǐng)域有：計算方法：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動力問題計算方法。高精度單元多物理場耦合與復(fù)雜材料模型2021/6/1640目前使用較多的通用有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制，由MSC維護開發(fā)MSC/Dytran動力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件2021/6/1641一些專用的有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介Deform金屬體積成形分析Autoform金屬板料成形分析DYNAFORM金屬板料成形分析SysWeld焊接與熱處理分析2021/6/16422021/6/16432021/6/16442021/6/16452021/6/16462021/6/16472021/6/16