說課-等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式

1、說課等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式深圳中學(xué) 白教授教學(xué)目標(biāo)A、知識目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運(yùn)用。B、能力目標(biāo)：（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。（3）通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。C、情感目標(biāo)：（數(shù)學(xué)文化價值）（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏

2、陶。（2）通過公式的運(yùn)用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。1 / 11（3）通過生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小

3、高斯上小學(xué)四年級時，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。（教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍）。我們來看這樣一道一例題。例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。生2：可設(shè)S=1+2+3+4

4、+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。上面兩式相加得2S=11+10+.+11=10×11=11010個所以我們得到S=55，即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。理由是：1+100=2+99=3+98=.=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+.+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢？生3：數(shù)列an是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.二、教授新課

5、（嘗試推導(dǎo)）師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢？根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。生4：Sn=a1+a2+.an-1+an也可寫成Sn=an+an-1+.a2+a1兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1)n個 =n(a1+an)所以Sn=(I)師：好！如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得Sn=na1+ d(II) 上面（I）、（II）兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式（I）是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積

6、公式（上底+下底）×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個量？（a1，d，n，an，Sn），它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系？an=a1+(n-1)d，Sn=na1+ d；這些量中有幾個可自由變化？（三個）從而了解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式（I）和（II）的一些應(yīng)用。三、公式的應(yīng)用（通過實(shí)例演練，形成技能）。1、直接代公式（讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識公式）例2、計(jì)算：（1）1+2+3+.+n（2）1+3+5+.+(2n-1)（3）2+4+6+.+2n（4）1-2+3

7、-4+5-6+.+(2n-1)-2n請同學(xué)們先完成（1）-（3），并請一位同學(xué)回答。生5：直接利用等差數(shù)列求和公式（I），得（1）1+2+3+.+n=（2）1+3+5+.+(2n-1)=（3）2+4+6+.+2n=n(n+1)師：第（4）小題數(shù)列共有幾項(xiàng)？是否為等差數(shù)列？能否直接運(yùn)用Sn公式求解？若不能，那應(yīng)如何解答？小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。生6：（4）中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以原式=1+3+5+.+(2n-1)-(2+4+6+.+2n)=n2-n(n+1)=-n生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：

8、原式=-1-1-.-1=-nn個師：很好！在解題時我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會引起錯解。例3、（1）數(shù)列an是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4又d=-2，a1=6S12=12 a1+66×（-2）=-60生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4a8+a9+a10=75，a1+8d=25解得a1=1，d=3 S10=10a1+=145師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n

9、項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二），請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。師：（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第（2）小題改編）數(shù)列an等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識Sn公式。例4，在等差數(shù)列an， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教師啟發(fā)學(xué)生解）師：來看第（1）

10、小題，寫出的計(jì)算公式S16=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。師：對！（簡單小結(jié)）這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。師：由于時間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d0時，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次（或一次）的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來認(rèn)識Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。最后請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=。數(shù)列an是否為等差數(shù)列，并說明理由。四、小結(jié)與作業(yè)。師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運(yùn)用。生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。2、具體用Sn公式時，要根據(jù)已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用