理學數(shù)項級數(shù)求和的若干方法

1、題 目:中文：級數(shù)求和的若干方法English:Summation of several methods姓 名: 徐科學 院:數(shù)理學院 專 業(yè):信息與計算科學 班 級:2009級1班 學 號: 099084166指導教師:張敬和2013年6月8日安徽工業(yè)大學畢業(yè)設計(論文)任務書課題名稱級數(shù)求和的若干方法學 院 數(shù)理學院專業(yè)班級信息與計算科學 091班姓 名徐科學 號099084166畢業(yè)設計(論文)的主要內容及要求：1、 了解正項級數(shù)，任意項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)的相關概念。2、 熟悉各種級數(shù)收斂的的理論，理解部分定理的證明過程。3、 盡可能的對某些定理之間的區(qū)別以及聯(lián)系稍加分析。4、 借

2、助冪級數(shù)，數(shù)列等知識給出數(shù)項級數(shù)求和的若干方法。5、 參閱數(shù)學分析，常微分方程等與級數(shù)相關的教材或者文獻，充分利用圖書館以及電子閱覽室。提高自己查閱資料的能力。6、 論文必須符合科技論文的要求，格式嚴格按照本科畢業(yè)論文的規(guī)范來撰寫。7、 查閱相關文獻資料，至少10篇，其中英文文獻不少于2篇。8、 翻譯一篇跟本設計有關的外文文獻，要求翻譯無錯誤，可以通順閱讀。9、 熟悉微軟Word或者金山的WPS的使用方法和技巧，以期提高使用計算機的能力。指導教師簽字：級數(shù)求和的若干方法安徽工業(yè)大學 數(shù)理學院 信息與計算科學系 091班 徐科 學號：099084166摘 要 級數(shù)，重要的數(shù)學工具。無論是對數(shù)學學

3、科本身，還是在其他學科及技術的研究與發(fā)展方面，都發(fā)揮著特別重要的作用和影響，且其與我們的日常生活息息相關。需要我們去掌握并利用，我們也應該去發(fā)掘出它更為廣泛的應用領域，為我們的研究與學習奠定基礎。 級數(shù)求和，作為級數(shù)理論及應用的主要板塊之一。它有著比較繁多的方法和很強的技巧性，而目前國內大多數(shù)數(shù)學教材及其他相關書籍中沒有專門針對級數(shù)求和的常用方法設立板塊，若要理解并掌握它的方法和技巧，則需要借鑒一些國內外涉及此內容的數(shù)學書籍，進行總結和提煉。 本文對級數(shù)的有關概念，收斂的定義以及部分定理給與了證明，介紹了運用裂項相消, 錯位相減, 逐項微分, 逐項積分, 運用特殊級數(shù)求和等等這幾種方法求數(shù)項級

4、數(shù)的和, 并通過實例說明了這些方法的應用.關鍵詞：級數(shù)，收斂，數(shù)項級數(shù)求和，冪級數(shù)。Summation of several methods ANHUI UNIVERSITY OF TECHNOLOGYThe MathematicalInstituteInformation and computing science departmentClass 091Xu KeStudent ID: 099084166AbstractProgression , important mathematical tools ! Both for mathematics itself , or in other

5、disciplines and technology research and development, has played a particularly important role and influence , and its our daily lives. We need to grasp and use , we should go to discover its broader application areas for our research and learning foundation .Summation as a series theory and applicat

6、ion of the main plate. It has a relatively strong variety of methods and techniques , while most domestic mathematics textbooks and other books not specifically for the establishment of a common method Summation sector , to understand and grasp its methods and techniques , then needs to learn some o

7、f this content and abroad involved in the mathematical books were summarized and refined .Inthis paper, the concept series , convergence theorems give somedefinitions and proved , introduces the use of destructive Splitting , dislocation subtract itemized differential , itemized points , the use of

8、these types of special summation etc. method for solving a number of series and , and through examples illustrate the application of these methods .Keywords : series , convergence, Summation , power series .目 錄摘要Abstract一、綜述11.1 級數(shù)的背景知識11.2 研究現(xiàn)狀21.3 研究意義2二、基礎知識3 2.1 引言32.2 級數(shù)的分類及定義3 2.2.1 數(shù)項級數(shù)3 2.2.

9、2 函數(shù)項級數(shù)3 2.2.3 三個重要級數(shù)4 2.3 級數(shù)收斂的定義42.4 級數(shù)收斂的判斷4 2.4.1 正項級數(shù)收斂的判斷5 級數(shù)收斂的必要條件5 定理025 正項級數(shù)的收斂原理5 常用級數(shù)5 正項級數(shù)的各種判別法7 引理11 2.4.2 任意項級數(shù)收斂的判斷14 2.4.3 函數(shù)項級數(shù)收斂的判斷16 2.4.4 冪級數(shù)17 冪級數(shù)的基本概念和定理18 函數(shù)的冪級數(shù)的展開21三、級數(shù)求和26 簡單易用的求和方法26 3.1 根據定義求級數(shù)的和26 3.2 首尾相加

10、法26 3.3 錯位相減法27 3.4 分組求和法28 3.5 微分方程法28 3.6 利用遞推法求和29 3.7 部分和子列29 3.8 列項相消法30 利用冪級數(shù)的知識求和32 3.9 逐項微分求和32 3.10 逐項積分求和33 3.11 轉化為已知的特殊的冪級數(shù)求和34四、致謝36參考文獻37一綜述1.1級數(shù)的背景知識 1早在大約公元前450年，古希臘有一位名叫Zero的學者，曾提出若干個在數(shù)學發(fā)展史上產生過重大影響的悖論，“Achilles（希臘神話中的英雄）追趕烏龜”即是其中較為著名的一個。設烏龜在Achilles前面s1米處向前爬行，Achilles在后面追趕，當Achilles

11、用了t1秒時間，跑完了s1米時，烏龜早已向前爬了s2米；當Achilles再用t2秒時間，跑完了s2時，烏龜又向前爬了s3米.這樣的過程一直繼續(xù)下去，因此Achilles永遠也追不上烏龜。雖然，這一結論完全有悖于常識，是絕對荒謬的。沒有人會懷疑，Achilles必將在T秒的時間內，跑了S米后追上烏龜（T和S是常數(shù)）。Zero的詭辯之處就在于把有限的時間T無限分割（或距離S）分割成無窮段t1，t2，.(或s1,s2,.)，然后一段一段的加以敘述，從而造成一種假象：這樣“追-爬-追-爬”的過程將隨時間的流逝而永無止境。事實上，如果將用掉的時間t1,t2,.(或跑過的距離s1,s2,.)加起來，即：

12、盡管相加的項有無限個，但他們的和卻是有限數(shù)T（或S）。換言之，經過時間T秒Achilles跑完S米后，他已經追上烏龜了。這里，我們遇到了無限個數(shù)相加的問題。很自然地，我們要問，這種“無限個數(shù)相加”是否一定有意義？ 若不一定的話，那怎么來判斷？ 有限個數(shù)相加時的一些運算法則，如加法交換律，加法結合律對于無限個數(shù)相加是否繼續(xù)有效？ 如此等等。這正是本文要討論的級數(shù)問題其實，級數(shù)對于我們來說一點也不陌生，在我們學習數(shù)列時就已經接觸到了她，當一個數(shù)列元素個數(shù)無限的時候就是最簡單的的一種級數(shù)。級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)和數(shù)值計算的重要工具。我國古代數(shù)學家劉徵創(chuàng)立的“割圓術”對圓面積的近似計算已具有了初步的

13、無窮級數(shù)的概念。近代級數(shù)的發(fā)展,主要是在17世紀上半葉.這個時期標志著文藝復興以來在資本主義生產力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學開始邁入綜合與突破階段,這種綜合與突破所面臨的數(shù)學困難,使微積分的基本問題空前的成為人們關注的焦點.在這個時期,幾乎所有的數(shù)學大師都致力于相關問題的研究,特別是描述運動與變化的無限小算法,并在相當短時期內,取得了迅速的發(fā)展.開普勒、卡瓦列里、笛卡爾、費馬、巴羅、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛頓和萊布尼茲以足夠的敏銳和能力認識到微分和積分的互逆關系,在微積分的真正創(chuàng)立上作出了偉大貢獻.在18世紀,微積分進一步深入發(fā)展并和廣泛的應用緊密交織在一起.其中它的發(fā)展與無窮級數(shù)的

14、研究密不可分.牛頓在他的流數(shù)理論中自由運用無窮級數(shù),他憑借二項式定理得到了許多函數(shù)的級數(shù).泰勒級數(shù)則提供了將函數(shù)展成無窮級數(shù)的一般方法.在18世紀,各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到,并在解析運算中初等函數(shù)成為微積分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰寫了一系列無窮級數(shù)的論文,使他們成為當時這一領域的權威.這一時期,借助于級數(shù)這個工具微積分不斷取得各種顯著的成就,得到各種更強有力的應用。18世紀先后出現(xiàn)了一些級數(shù)收斂判別法則.萊布尼茲判定法;達朗貝爾級數(shù)絕對收斂判別法等等.這些說明18世紀的數(shù)學家已開始注意到無窮級數(shù)的收斂問題,盡管對這一問題真正嚴格的處理要等到19世紀.柯西對無窮級數(shù)進行了嚴格化的

15、處理,明確定義了級數(shù)的收斂性,并研究了級數(shù)收斂的判別條件.1.2研究現(xiàn)狀作為最古老的學科之一，數(shù)學其研究者歷來眾多，關于級數(shù)的求和,更是有許多專家和學者對此產生了濃厚的興趣,他們對某些具體的題目做出了具體的解法,像定義法,解微分方程法,特殊函數(shù)的展開式,逐項微分積分法等等.級數(shù)求和有著比較繁多的方法和很強的技巧性，而目前國內大多數(shù)數(shù)學教材及其他相關書籍中沒有專門針對級數(shù)求和的常用方法設立板塊，都是對一些特殊的數(shù)項級數(shù)求和,而對一般普通的數(shù)項級數(shù)的求和方法問題很少有學者提及,因此在這方面我們有研究的必要,并且有很大的研究空間.對此內容進行總結和提煉。1.3研究意義級數(shù)在數(shù)學方面的計算中有著廣泛的

16、應用，無論是對數(shù)學這一學科本身還是在其他學科及技術的研究與發(fā)展方面，級數(shù)的理論及其應用更是發(fā)揮著特別重要的作用和影響，且其與我們的日常生活息息相關。不僅在自然科學和工程技術中能解決許多問題,同時也是研究分析數(shù)學的重要工具.1其原因是很多函數(shù)能用數(shù)項級數(shù)表示，同時又能借助于數(shù)項級數(shù)來研究函數(shù)逼近的問題.利用多項式來逼近一般的函數(shù)。借助級數(shù)表示很多有用的非初等函數(shù)。 2解微分方程。3實數(shù)的近似計算，因此數(shù)項級數(shù)理論在分析數(shù)學或者實際應用中是研究函數(shù)的一種必要的數(shù)學工具,因而數(shù)項級數(shù)的求和問題非常重要，需要我們去掌握并利用，我們也應該去發(fā)掘出它更為廣泛的應用領域，為我們的研究與學習奠定基礎，因此數(shù)項

17、級數(shù)的求和問題就成為實際應用中亟待解決的課題了.二 基礎知識2.1 引言級數(shù)是數(shù)學分析的基本內容之一，它是表示函數(shù), 研究函數(shù)性質以及進行數(shù)值計算的一種重要工具。它包含常數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)。2常數(shù)項級數(shù)與數(shù)列之間有著一一對應的關系。而在函數(shù)項級數(shù)中，冪級數(shù)是最常見，也是最有用的級數(shù)。談到級數(shù)便不能不談級數(shù)求和的問題，首先就要判斷級數(shù)的收斂問題，這里我們將系統(tǒng)的介紹很多判斷級數(shù)收斂的定理和方法，以及他們所要求的條件。凡是收斂的級數(shù)都是可求和的，問題就在于我們應該采取什么樣的方法來簡化級數(shù)的求和問題，我們將在本文里系統(tǒng)的介紹求和方法和技巧。2.2 級數(shù)的分類及定義2.2.1數(shù)項級數(shù)定義01：設是

18、無窮可列個實數(shù)，我們稱它們的和為無窮數(shù)項級數(shù)（簡稱級數(shù)），記為，其中稱為級數(shù)的通項或一般項。當然我們無法直接對無窮個實數(shù)逐一進行加法運算，所以必須對上述的級數(shù)求和給出合理的定義。為此作級數(shù)的“部分和數(shù)列”；, . .定義02：如果級數(shù)的各項都是非負實數(shù)，即則稱此級數(shù)為正項級數(shù)。定義03：如果級數(shù)既有無限個正項，又有無限個負項，那么此類級數(shù)就是任意項級數(shù)2.2.2函數(shù)項級數(shù)現(xiàn)在我們將級數(shù)的概念從數(shù)推廣到函數(shù)上去，對于前面討論的數(shù)項級數(shù)，如果它的每一項都換成函數(shù)那又會變成什么呢？我們且看下面的定義定義：設是具有公共定義域E的一列函數(shù)，我們將這無窮個函數(shù)的“和”稱為函數(shù)項級數(shù)，記為。2.2.3 三個

19、重要級數(shù)2級數(shù)01：幾何級數(shù) 幾何級數(shù)又稱為等比級數(shù)，定義格式： 其中，是公比。2級數(shù)02：調和級數(shù)2級數(shù)03：p-級數(shù) 2.3 級數(shù)收斂的定義 定義01：如果無窮級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于有限數(shù)則稱無窮級數(shù)收斂，且稱它的和為記為 ，如果部分和數(shù)列發(fā)散，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。由上定義可知，只有當無窮級數(shù)收斂時，無窮多個實數(shù)的加法才是有意義的，并且他們的和就是級數(shù)的部分和的極限。當級數(shù)收斂時稱為級數(shù)的余項 定義02：設設在E上有定義。對于任意固定的，若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱函數(shù)項級數(shù)在點收斂，或稱是的收斂點。函數(shù)項級數(shù)的收斂點全體所構成的集合稱為的收斂域。設的收斂域為，則）就定義了集合D上的一個函數(shù)稱為的和

20、函數(shù)。由于這是通過逐點定義的方式得到的，因此稱在D上點態(tài)收斂于。2.4 級數(shù)收斂的判斷2.4.1正項級數(shù)收斂的判斷定理01：（級數(shù)收斂的必要條件)設級數(shù)收斂，其通項所構成的數(shù)列是無窮小量，即證明：由級數(shù)收斂的基本判別定理柯西收斂準則:級數(shù)收斂有.取特殊的,可得出該定理:若級數(shù)收斂,則.定理02：若則級數(shù)發(fā)散.其實,本定理是定理01的逆否命題作用或者意義定理01只是級數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件，換言之，數(shù)列為無窮小量并不能保證級數(shù)收斂，本定理可以用來判斷某些級數(shù)發(fā)散。例如當時不是無窮小量，因此級數(shù)發(fā)散。定理03：（正項級數(shù)的收斂原理) 內容：正項

21、級數(shù)收斂的充分必要條件是他的部分和數(shù)列有上界。證明： 由于所以是單調遞增數(shù)列.而單調數(shù)列收斂的充分必要條件是該數(shù)列有界(單調有界定理),從而本定理得證.收斂原理的作用：他解決了一個級數(shù)的收斂問題,不必研究。,而只需粗略地估計Sn的值當N-時是否保持有界就可以了.它是判斷正項級數(shù)收斂（或發(fā)散）的最基本方法,幾乎所有其它的判別法都是由它導出。 常用級數(shù) 在介紹比較判別法，柯西判別，達朗貝爾判別法，積分判別法等方法之前，我們先討論一下針對前面的那三種重要級數(shù)的收斂性。他們是正項級數(shù)斂散性的判別方法中經常要用到的三個比較因子,下面簡單介紹它們斂散性的證明,便于后面能更好的應用.級數(shù)01：

22、幾何級數(shù)如前所述它的形式為：的斂散性,其中a不等于0 ，q是公比。下面討論它的斂散性。() 時,已知幾何級數(shù)的項部分和 當時,存在極限,且因此,當時,幾何級數(shù)收斂,其和是,即. 當時,不存在極限,因此,當時,幾何級數(shù)發(fā)散.() 當時,有兩種情況:當時,幾何級數(shù)是 (a 0),.即部分和數(shù)列發(fā)散.當時,幾何級數(shù)是 部分和數(shù)列 Sn 發(fā)散.于是,當|r| = 1時,幾何級數(shù)發(fā)散.綜上所述,幾何級數(shù),當時收斂,其和是,當時發(fā)散.級數(shù)02：調和級數(shù)如前所述它的形式為：下面我們證明調和級數(shù)是發(fā)散的.3 證明 設調和級數(shù)的項部分和是,即由于于是調和級數(shù)的前項部分和滿足由于，即當時,調和級數(shù)的部分和與是等價

23、無窮大,即調和級數(shù)發(fā)散.所以的極限不存在，調和級數(shù)發(fā)散。級數(shù)03：P-級數(shù)如前所述它的形式為：（其中是任意實數(shù)），下面討論p-級數(shù)的斂散性.() 當時,就是調和級數(shù),發(fā)散.() 當時,有.已知調和級數(shù)發(fā)散,根據比較判別法可知,當p = 1時,p-級數(shù)發(fā)散.() 當時,有.于是,有即p-級數(shù)的部分和數(shù)列 Sn 有上界,而且，依據定理03：（正項級數(shù)的收斂原理)可知p-級數(shù)收斂.綜上所述, 當時,p-級數(shù)發(fā)散; 當時,p-收斂.這三個重要技術的作用： 在正項級數(shù)斂散性的證明中常借助于這三個級數(shù)斂散性為橋梁來判斷其它級數(shù)的斂散性.也就是經常性的被拿來當做工具使用。下面借助于以上三個重要工具我們來探討

24、一下正項級數(shù)的各種判別法。 正項級數(shù)的各種判別法判別法01：比較判別法設與是兩個正項級數(shù)，若存在常數(shù)使得，n = 1,2,.,則（）若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂;（）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.證明： 設級數(shù)的部分和數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列為則顯然有于是當有上界時也有上界，而當無上界時必定無上界，因此我們有：（）若級數(shù)收斂,依據定理02：（正項級數(shù)的收斂原理),數(shù)列有上界,從而數(shù)列也有上界,再依據定理02：（正項級數(shù)的收斂原理),級數(shù)收斂.（）若級數(shù)發(fā)散,依據定理02：（正項級數(shù)的收斂原理),數(shù)列無上界,從而數(shù)列也無上界,再根據定理1,級數(shù)發(fā)散.注：由于改變級數(shù)有限個項的數(shù)值，并不會改變

25、他的收斂性或發(fā)散性（雖然在收斂的情況下可能改變他的“和”），所以本定理的條件可以放寬為：“存在正整數(shù)N與常數(shù)A 0.使得對一切成立”判別法01+ ：比較判別法的極限形式 設有兩個正項級數(shù)與,且 （）若級數(shù)收斂,且，則級數(shù)也收斂;（）若級數(shù)發(fā)散,且，則級數(shù)也發(fā)散;證明： 若級數(shù)收斂,且，由已知條件,，有，對他變形我們可以得到，即，有，依據判別法01：比較判別法，我們可以得到級數(shù)也收斂;若級數(shù)發(fā)散,且，由已知條件,，有，對他變形我們可以得到而且，即，有，依據判別法01：比較判別法，我們可以得到級數(shù)也發(fā)散; 由已知條件，有，即，有依據判別法01：比較判別法，我們可以得到級數(shù)也發(fā)散。注：比較法的使用條

26、件以及與其他方法的聯(lián)系 比較判別法只適用于正項級數(shù)斂散性的判斷; 比較判別法的比較對象常常就是幾何級數(shù),調和級數(shù),P-級數(shù)三種級數(shù) 在比較的過程中通常使用放縮方法當用等比級數(shù)作為比較對象時,就得到了下面的達朗貝爾判別法及柯西判別法. 用比較判別法判斷正項級數(shù)的斂散性,先要根據問題的條件作一個大概的估計,猜想原級數(shù)可能是收斂的,還是發(fā)散的呢?如果猜想原級數(shù)收斂,就找一個適當?shù)氖諗考墧?shù)來比較,使得原級數(shù)的各項小于或等于比較級數(shù)的對應項;如果猜想原級數(shù)發(fā)散,就找一個適當?shù)陌l(fā)散級數(shù)來比較,使得原級數(shù)的各項大于或等于比較級數(shù)的對應項. 但要另外找到一個適當?shù)恼椉墧?shù)作為比較級數(shù),在實際生活中往往不是一件

27、輕而易舉的事情.于是我們便設想在比較判別法的基礎上尋找到直接用待判級數(shù)的通項構造判別式,不必另找比較級數(shù),只需研究這個判別式就可判定級數(shù)的斂散性.研究的結果獲得了由比較判別法派生出來的種種正項級數(shù)斂散性的判別法柯西判別法與達朗貝爾判別法.下面我們就來探討一下達朗貝爾判別法及柯西判別法.判別法02：柯西判別法 4 設有正項級數(shù),存在常數(shù).若,不等式成立,則級數(shù)收斂;若對一切,不等式成立,則級數(shù)發(fā)散.證明 已知有或.又已知幾何級數(shù)收斂,于是級數(shù)收斂.已知存在無限個n,有或,即不趨近于,于是級數(shù)發(fā)散.判別法02+：柯西判別法的極限形式 4 正項級數(shù),若,則當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散.證明： ，由

28、數(shù)列極限定義,有或,根據判別法02：柯西判別法可以得到級數(shù)收斂.已知,根據數(shù)列極限的保號性,有,根據判別法02：柯西判別法可以得到級數(shù)發(fā)散.注：多數(shù)情況下正項級數(shù)的通項開n次方根不會直接得出一個常數(shù),或者計算復雜，所以通常情況下使用柯西判別法的極限形式判別級數(shù)的斂散性.判別法03：達朗貝爾判別法4 設正項級數(shù),存在常數(shù).若,有 ,則級數(shù)收斂;若,有 ,則級數(shù)發(fā)散.證明: 不妨設,有或.已知幾何級數(shù)收斂,根據判別法01：比較判別法,則級數(shù)收斂. 已知,有或，即正項數(shù)列從項以后單調增加,不趨近于,則級數(shù)發(fā)散.判別法03+：達朗貝爾判別法4 設有正項級數(shù),且當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散.證明： ,

29、由數(shù)列極限定義,有或,根據判別法03：達朗貝爾判別法,級數(shù)收斂.已知,根據數(shù)列極限的保號性,有.根據判別法03：達朗貝爾判別法,級數(shù)發(fā)散.注：在柯西判別法和達朗貝爾判別法中只討論了的情況,并沒有考慮的情況,也沒有考慮l不存在又是怎樣的情況,這說明這兩種判別法存在著一定的不足.下面看一個引理引理 1設正項級數(shù)，那么有：證明： 設 ，由上下極限的知識我們可知，對任意給定的，存在正整數(shù)N，使得對一切 ，成立于是，從而，由的任意性，即得到類似的可以證明：。該引理告訴我們：若一個正級數(shù)的斂散情況可以由達朗貝爾判別法判定，那么他也一定能用柯西判別法判定。但是，能用柯西判別法判定的級數(shù)，卻未必

30、能用達朗貝爾判別法判定。這就是說柯西判別法的適用范圍比達朗貝爾判別法判別范圍廣。但是對某些具體例子而言，兩種判別法都適用，而達朗貝爾判別法比柯西判別法更方便一些，讀者應根據級數(shù)的具體情況來選擇合適的判別法。注：達朗貝爾判別法判與柯西判別法的本質都是比較判別法，與之相比較的是幾何級數(shù)：把所有要判斷的級數(shù)與某一幾何級數(shù)相比較的想法而得到的,也就是說,只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一等比級數(shù)收斂速度快的級數(shù),這兩種方法才能鑒定出它的收斂性.如果級數(shù)的通項收斂速度較慢,它們就無能為力了.在判定級數(shù)收斂時，要求級數(shù)的通項受到（0 r 0，對一切k，成立則05 級數(shù)的A-D判別法： 若下列兩個條件之

31、一滿足，則級數(shù)收斂 （Abel判別法）單調有界，收斂； （Dirichlet判別法）單調趨于0，有界06 條件收斂與絕對收斂： 如果級數(shù)收斂，則稱為絕對收斂級數(shù)，如果級數(shù)收斂而發(fā)散，則稱為條件收斂級數(shù)。07 絕對收斂與更序級數(shù): 若級數(shù)絕對收斂，則它的更序級數(shù)也絕對收斂，且和不變，即 = 。08 Riemann定理: 設級數(shù)條件收斂，則對任意給定的，必定存在的更序數(shù)列滿足 = a。2.4.3函數(shù)項級數(shù)收斂的判斷定義01：一致收斂設函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集數(shù)集D上，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)N，使得當時對一切，都有 ，則稱函數(shù)列在D上一致收斂于，記作 定理02：一致收斂的柯西準則 函數(shù)項級

32、數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)N，使得當時對一切，和一切正數(shù)p，都有 或定理03：一致收斂的充要條件 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是定理04：魏爾斯特拉斯判別法 設函數(shù)項級數(shù)定義在數(shù)集D上，為收斂的正項級數(shù)，若對一切有 則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂。定理05：阿貝爾判別法 設在區(qū)間I上一致收斂； 對于每一個是單調的；在I上一致有界，即對一切和正整數(shù)n，存在正數(shù)M，使得，則級數(shù)在I上一致收斂定理06：狄利克雷判別法 設的部分和數(shù)列 在I上一致有界； 對于每一個是單調的； 在i上，則級數(shù)在I上一致收斂。定理07：連續(xù)性 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項

33、都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù)注：這個定理指出：在一致收斂條件下，（無限項）求和運算與求極限運算可以交換順序，即定理08：逐項求積 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則定理09：逐項求導 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上每一項都有連續(xù)的導數(shù)，為的收斂點，且在上一致收斂，則2.4.4冪級數(shù)冪級數(shù)的基本概念和定理本篇將討論有冪級數(shù)序列產生的函數(shù)項級數(shù)，（1）它稱為冪級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，從某種意義上說，他也可以看作是多項式函數(shù)的延伸，下面將著重討論，即， (2)的情形，因為只要把(2)中的x換成，即得到（1）。定理01：阿貝爾定理 若冪級數(shù)（2）在處收斂，則對滿足不等式的任何

34、x，冪級數(shù)（2）收斂而且絕對收斂；若冪級數(shù)（2）在處發(fā)散，則對滿足不等式的任何x，冪級數(shù)（2）發(fā)散 注：由此定理知道冪級數(shù)（2）的收斂域是以原點為中心的區(qū)間，若以2R表示區(qū)間的長度，則R為冪級數(shù)的收斂半徑，實際上，它就是使得冪級數(shù)（2）收斂的那些收斂點的絕對值的上確界，我們稱（-R，R）為冪級數(shù)（2）的收斂區(qū)間。定理02：有關收斂半徑 對于冪級數(shù)（2）若】則當時，冪級數(shù)（2）的收斂半徑；時，冪級數(shù)（2）的收斂半徑時，冪級數(shù)（2）的收斂半徑定理03：有關收斂半徑和一致收斂 若冪級數(shù)（2）的收斂半徑為，則冪級數(shù)（2）在他的收斂區(qū)間內任意閉區(qū)間上都一致收斂。定理04：有關收斂半徑和一致收斂 若冪級數(shù)

35、（2）的收斂半徑為，且在（或）時收斂，則級數(shù)（2）在(或)上一致收斂。定理05：冪級數(shù)的性質 冪級數(shù)（2）的和函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)； 若冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間的左（右）端點上收斂，則其和函數(shù)也在這一端點上左（右）連續(xù)在討論冪級數(shù)的逐項求導與逐項求積之前，先要確定冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間上逐項求導與逐項積分后所得到的函數(shù)(3)與(4)的收斂區(qū)間定理05：冪級數(shù)的性質 冪級數(shù)（2）與冪級數(shù)（3），（4）具有相同的收斂區(qū)間。定理06：冪級數(shù)逐項積分，求導 設冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間（-R，R）上的和函數(shù)為f，若x為（-R，R）上任意一點，則 f在點x可導，且； f在0與x之間的這個區(qū)間上可積，且。推論07

36、： 記f為冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間（-R,R）上的和函數(shù)，則在（-R,R）上f具有任何階導數(shù)，且可逐項求導任何次，即推論08： 記f為冪級數(shù)（2）在點x=0某鄰域上的和函數(shù)，則冪級數(shù)（2）的系數(shù)與f在x=0處的各階導數(shù)有如下關系：這個推論表明。若級數(shù)（2）在（-R，R）上有和函數(shù)f，則冪級數(shù)（2）由f在點x=0處的各階導數(shù)所唯一確定?？赏C定理09定理09：若冪級數(shù)（2）與（5）在點x=0的某鄰域內相等，則他們的同次冪項的系數(shù)相等，即定理10： 若冪級數(shù)（2）與（5）的收斂半徑分別為和，則有式中為常數(shù)，定理11：Abel第二定理 設冪級數(shù)的收斂半徑為R，則在上內閉一致收斂，即在任意閉區(qū)間上一致收

37、斂；若在收斂，則在任意閉區(qū)間上一致收斂。證： 記成立由于收斂，由Weierstrass判別法，可知在上一致收斂。 先證明在上一致收斂。當收斂時，由于在一致有界，且關于n單調，根據Abel判別法在上一致收斂。于是當時，在上一致收斂；當時，由，在上一致收斂，結合在上的一致收斂性即得到在上一致收斂。函數(shù)的冪級數(shù)的展開 學過泰勒定理我們曉得，若函數(shù)f在的某鄰域上存在直至n+1階的連續(xù)導數(shù)，則 (1)這里為拉格朗日型余項(2)其中在x和之間，稱（1）為f在處的泰勒公式。如果在（1）中抹去余項，那么在點附近f可用（1）右邊的多項式來近似代替，如果函數(shù)f在處存在任意階的導數(shù)，這時稱級數(shù)(3)為

38、函數(shù)f在處的泰勒級數(shù)。我們探討一下下面的定理定理01： 設f在點具有任意階導數(shù)，那么f在區(qū)間等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對一切滿足不等式的x，有這里是f在處的泰勒公式余項。如果f能在點的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)f在點的這一領域上可以展開成泰勒級數(shù)，并稱等式(4)的右邊為f在處的泰勒展開式，或稱冪級數(shù)展開式。由上一節(jié)中的推論8可知：若f為冪級數(shù)在收斂區(qū)間（-R，R）上的和函數(shù)，則就是f在（-R，R）上的泰勒展開式，即冪級數(shù)展開式是唯一的。在實際應用上，主要討論函數(shù)在處的展開式，這時(3)式可以寫作稱為f的邁克勞林級數(shù)。 下面我們就一些常用的展開式進行探討02：直接法 要

39、把函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，可以按照下列步驟進行；第一步： 求出的各階導數(shù)，.，.，如果在處的某階導數(shù)不存在，就停止進行。第二步： 求出函數(shù)及其各階導數(shù)在的值：，.，.。第三步： 寫出冪級數(shù)：，并求出收斂半徑R。第五步： 利用余項的表達式，考察當x在區(qū)間內時逇余項的極限是否為零。如果為零，則函數(shù)在區(qū)間內的冪級數(shù)展開式為例1：將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)解 所給函數(shù)的各階導數(shù)為因此這里于是得級數(shù)它的收斂半徑。對于任何有限的數(shù)，余項的絕對值為。因有限，而是收斂級數(shù)的一般項，所以當時，即當時，有，于是得展開式(5)例2：將函數(shù)展開成x的冪級數(shù) 解：所給函數(shù)的各階導數(shù)為順序循環(huán)地取于是得級數(shù)，他的收斂半徑對于任

40、何有限的數(shù)，余項的絕對值當時的極限為零：因此得展開式(6)以上將函數(shù)展開成冪級數(shù)的例子，是直接按公式計算冪級數(shù)的系數(shù)，最后考察余項是否收斂于0，這種直接展開的計算量比較大，而且研究余項即使在初等函數(shù)中也不是一件容易的事情，下面介紹間接展開的方法，這就是利用一些已知的函數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運算（如四則運算，逐項求導，逐項積分）以及變量代換等，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣不但計算簡單而且可以避免研究余項03：間接法例3： 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)解：函數(shù)的各階導數(shù)是 從而所以f的邁克勞林級數(shù)是用比值判別法容易求得該級數(shù)的收斂半徑，且當時收斂，當時發(fā)散，故該級數(shù)的收斂域是，現(xiàn)在討論在這收斂區(qū)間上他的

41、余項的極限情形。 當時用拉格朗日型余項，有 對于的情形，拉格朗日余項不易估計，改用柯西型余項，有因為，故有即所以 這就證得在上等于其邁克勞林級數(shù)。 (7)將（7）中的x換成x-1后得到函數(shù)在x=1處的泰勒展開式：(8)對(6)式兩邊求導，可得(9)對(7)式兩邊求導，可得(10)把(7)式中的x換成，可得 (11)把(10)式中的x換成，可得 (12)對上式從0到x積分，可得(13)04：下面我們總結概括一下冪級數(shù)和函數(shù)的有關性質 設冪級數(shù)的和函數(shù)為，收斂半徑為R，則有下列命題成立 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間是連續(xù)的； 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間有連續(xù)的導數(shù)，并且可以逐項求導，即對于任意的，有，

42、逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)具有相同的收斂半徑； 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間可積，并且可以逐項積分，即對于任意的，有，逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)具有相同的收斂半徑； 求冪級數(shù)的和函數(shù)主要是利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式比如上的那些間接法，結合逐項求導，逐項積分求出冪級數(shù)的和函數(shù)。三級數(shù)求和 我們先介紹一些簡單易用的求和方法3.1 根據定義求級數(shù)的和利用定義求級數(shù)的和就是求級數(shù)部分和數(shù)列的極限.由于當時，部分和的項數(shù)無限增多，因此為了求的極限，必須設法把加以簡化直至解出極限.但是如何加以簡化并沒有一般的方法，下面我們通過例題加以介紹.例3.1.1 設，求級數(shù)的和.分析：要尋求之和，只要將其

43、部分和用已知級數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來.解：因，則，于是.3.2 等差數(shù)列求和（首尾相加法）等差級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和.，其中為首項，為公差證明：，+得：因為等差級數(shù)所以此證明可導出一個方法“首尾相加法”，此類型級數(shù)將級數(shù)各項逆置后與原級數(shù)四則運算由首尾各項四則運算的結果相同，便化為一簡易級數(shù)求和.例3.2.1求.解：，兩式相加得：，即：.故原級數(shù)的和3.3 等比數(shù)列求和（錯位相減法）等比級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當=1，；當1，其中為首項，為公比.證明：當=1，易得，當1，-得.可以導出一種方法“錯位相減”，此方法通常

44、適用于等差與等比級數(shù)混合型，通過乘以等比級數(shù)公比，再與原級數(shù)四則運算后化為等差或等比級數(shù)求和.例3.3.1 計算.解： ，-得：，=3.故原級數(shù)的和53.4 分組求和法 此方法的原理：如果收斂，那么收斂，且，當把級數(shù)分成兩個或多個（有限個）收斂級數(shù)的和時，注意一定要保證均收斂。 用均收斂。例3.4.1求無窮級數(shù)的和。解：取則可見此方法關鍵之處在于數(shù)列的構造選取。63.5 微分方程法法構造冪級數(shù)的和函數(shù)時，通過求導運算，得到滿足的微分方程，通過求解微分方程來求出和函數(shù)。例3.5.1 求解：構造冪級數(shù)，顯然其收斂域為，設,于是得到一階線性微分方程其通解為73.6 利用遞推法求常數(shù)項級數(shù)的和例3.6

45、.1 求級數(shù)的和，m為某自然數(shù)分析：利用遞推法求出的表達式解：因為所以 (*)把（*）中的m依次用代替得用依次乘上式，然后兩邊相加，得故83.7 部分和子列 要點：先獲知級數(shù)收斂，再取級數(shù)部分和的某一子列，然后求出此子列的極限即得級數(shù)和。我們簡稱為部分和子列法。例3.7.1 求級數(shù)的和解：由Lcibniz判別法知此級數(shù)是收斂的，即存在現(xiàn)在取部分和數(shù)列中足標為偶數(shù)的子列因此熟知公式：其中，為著名的Eurler常數(shù)，利用這個公式得所以，故值得指出的是部分和子列對非正項級數(shù)常常是行之有效的。3.8 裂項相消法 要點：設, , 則的部分和為.若 , 則.也就是說的和為 .我們稱上述求級數(shù)和的方法為裂項

46、相消法.利用裂項相消法求級數(shù)的和, 關鍵是怎樣將級數(shù)的通項拆成前后有抵消部分的形式, 通常經過變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達到裂項相消的目的. 以下用具體例子來進行說明.例3.8.1求無窮級數(shù)的和.解：因為 , 所以, 于是.所以.如果一個級數(shù)的通項是一個三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡為兩式之差以便運用裂項相消法.例3.8.2求級數(shù) 的和. 解：先考慮變換問題的數(shù)學形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式, 再設, 則原級數(shù)的部分和為所以.如果一個級數(shù)的通項是一個分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運用裂項相消法. 利用冪級數(shù)的知識求和若收斂，則有=，將轉化成，對求有如下兩種常用方法：逐項微分求和，逐項積分求和。3.9逐項微分求和，若容易求和，則此方法好用，若，為n的多項式并且含有因子n更好求出. 由前面定理06可知：和號同求導運算可以交換, 它也稱為逐項微分的定理. 但要注意的是, 僅僅在條件“一致收斂”之下, 即使存在且連續(xù), 也不能保證