常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法

1、常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法-常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法 根據(jù)給定的初始條件，確定常微分方程惟一解的問(wèn)題叫常微分方程初值問(wèn)題。大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題難以求得解析解，必須將微分問(wèn)題離散化，用數(shù)值方法求其近似解。 一階常微分方程的初值問(wèn)題的提法是，求出函數(shù) y(x)，使?jié)M足條件 (1)利用數(shù)值方法解問(wèn)題 (1)時(shí)，通常假定解存在且惟一，解函數(shù)y（x）及右端函數(shù) (x,y)具有所需的光滑程度。數(shù)值解法的基本思想是:先取自變量一系列離散點(diǎn),把微分問(wèn)題(1)離散化，求出離散問(wèn)題的數(shù)值解,并以此作為微分問(wèn)題解y(x)的近似。例如取步長(zhǎng)h0,以h剖分區(qū)間【,b】，令xi=+ih,把微分方程離散化成一個(gè)差分方程。以y(

2、x)表微分方程初值問(wèn)題的解,以yi表差分問(wèn)題的解，就是近似解的誤差，稱為全局誤差。因此，設(shè)計(jì)各種離散化模型,求出近似解,估計(jì)誤差以及研究數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性等構(gòu)成了數(shù)值解法的基本內(nèi)容。 離散化方法常用的有三種： 基于數(shù)值微分的方法 將方程(1)左端的導(dǎo)數(shù)用某個(gè)一階數(shù)值微分公式代替,例如在xn點(diǎn)以(yn+1-yn)/h代替y即得到歐拉向前公式 (2)若在xn+1點(diǎn)以(yn+1-yn)/h代替則得到歐拉向后公式 (3)取(2)、(3)的平均，可導(dǎo)出二階精度的梯形公式 (4) 基于泰勒展開(kāi)的方法設(shè)計(jì)一個(gè)算法,假定公式中含有某些待定常數(shù)，在函數(shù)光滑的假定下，將其按泰勒展開(kāi)并與微分方程解 y(xn+

3、h)的展式中h的同冪次項(xiàng)相比較，按照給定的精度階得到待定常數(shù)應(yīng)滿足的一些方程，通過(guò)這些方程確定待定常數(shù)，即可得到所要的差分公式。由此法可導(dǎo)出龍格庫(kù)塔公式。 設(shè)計(jì)算公式有下列形式 (5)i、ij為待定常數(shù)。取定N值，可按上述泰勒展開(kāi)的方法確定它們。最常用的顯式4階龍格-庫(kù)塔公式為 (6)式中 基于函數(shù)數(shù)值積分的方法 將微分方程的解y(x)代入方程(1),在子區(qū)間【xn-ih,xn+jh】上積分得到公式 (7)積分號(hào)下是x的函數(shù)，若用某些結(jié)點(diǎn)上的值的數(shù)值積分公式近似這個(gè)積分，便得到各種差分公式，特別地，若取i=0,j=1,并用在結(jié)點(diǎn)xn,xn-1,xn-2,上的插值代替(7)式中的被積函數(shù)，便得亞

4、當(dāng)斯外推公式。4階亞當(dāng)斯外推公式為 (8)若取在結(jié)點(diǎn)xn+1,xn,xn-1,上的插值代替(7)式的被積函數(shù)，則得亞當(dāng)斯內(nèi)插公式。4階亞當(dāng)斯內(nèi)插公式為 (9)解法可按計(jì)算 yn+1時(shí)用多少個(gè)結(jié)點(diǎn)上的值分為單步法和多步法,又可以按yn+1出現(xiàn)的形式分為顯式法和隱式法。 單步法是指已知結(jié)點(diǎn)xn上yn的值便可計(jì)算yn+1的值的解法,如(2)、(3)、(4)。單步法是可以自己起步的,即可從方程的初值y0一步步算出y1,y2,的值。 多步法是指已知yn,yn-1,yn-k+1(k2)的值才能計(jì)算yn+1的值的解法,又稱k步法。例如，(8)是四步法，(9)是三步法。多步法不能自己起步,即給了初值y0以后,

5、還要用其他解法(如單步法)，算出y1,y2,yk-1后,才能使用多步法，繼續(xù)往下計(jì)算。多步法公式若對(duì)yi和i都是線性的,則稱作線性多步法，k步線性多步法的一般形式為 顯式法的公式中,未知的yn+1明顯地被表示，即公式中除yn+1一項(xiàng)外，其他的項(xiàng)中不再含有yn+1,如公式(2)。 隱式法的公式不顯含yn+1,求未知的yn+1時(shí)一般需要解方程，如公式(3)或(4)。通常用各種迭代方法解隱式差分方程,也可采用較簡(jiǎn)單的預(yù)估-校正方法，如使用梯形公式(4)時(shí)，可先用顯式公式(2)求得yn+1的預(yù)估值,代入式(4)的函數(shù)n+1中, 再求得yn+1的值。此法又稱改進(jìn)的歐拉折線法。 數(shù)值解法滿足相容的、收斂的

6、、數(shù)值穩(wěn)定的條件時(shí)，才有實(shí)用價(jià)值。為此要研究以下的一些問(wèn)題。 相容性將微分方程離散化所帶來(lái)的誤差叫截?cái)嗾`差。當(dāng)h0時(shí)，截?cái)嗾`差趨于零，則稱離散化后的方程與微分方程具有相容性，表示離散化后的方程是微分方程的近似。若截?cái)嗾`差的主要項(xiàng)為Chp+1,則稱截?cái)嗾`差的階是p+1,而稱該解法是p階的。p越大表示離散化后的方程與微分方程近似程度越高。 收斂性是指當(dāng)h0時(shí),全局誤差i0，即離散問(wèn)題的解yn收斂于微分問(wèn)題的解y(x)，這是離散解可用的理論基礎(chǔ)。p階的解法,即是當(dāng)h0時(shí),i以hp的速度收斂。 誤差估計(jì)對(duì)全局誤差i的估計(jì)，是應(yīng)用數(shù)值解法時(shí)最關(guān)心的問(wèn)題。先驗(yàn)估計(jì)通常只能給出誤差的階，即誤差的主要項(xiàng)中步長(zhǎng)

7、h的冪次。一般采用事后估計(jì),即在計(jì)算的過(guò)程中估計(jì)誤差，例如用理查森外推法估計(jì)誤差。外推法也是提高解的精確度的有效方法。 數(shù)值穩(wěn)定性是指計(jì)算過(guò)程中，某一步上產(chǎn)生的誤差一步一步地傳遞下去,是衰減、不增或有界,使得傳遞下來(lái)的誤差不致于影響數(shù)值解的精度，至少是不會(huì)湮沒(méi)數(shù)值解。數(shù)值穩(wěn)定性是常微分方程數(shù)值積分時(shí)必須考慮的問(wèn)題。 1956年G.達(dá)赫爾斯特證明:存在2k階k步線性多步法，但數(shù)值穩(wěn)定的k步線性多步法，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，其階不能超過(guò)k+2，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),其階不能超過(guò)k+1。稱為限制性定理。 判別一個(gè)數(shù)值方法的穩(wěn)定性時(shí)，微分方程 (10)有較廣的代表性，這里=+i,0，許多數(shù)值穩(wěn)定性的定義都以這個(gè)方程為

8、基礎(chǔ)。通常稱它為測(cè)驗(yàn)方程。 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法穩(wěn)定區(qū)域是指將一個(gè)數(shù)值積分方法應(yīng)用于測(cè)驗(yàn)方程(10)，在h復(fù)平面上使方法數(shù)值穩(wěn)定的區(qū)域。歐拉公式（2）的穩(wěn)定條件為1+h1，其穩(wěn)定區(qū)域是以【-2，0】為直徑的圓的內(nèi)部（圖1）。龍格-庫(kù)塔法(6)的穩(wěn)定區(qū)域由條件 (11)來(lái)確定，實(shí)際上所有4階顯式龍格-庫(kù)塔法的穩(wěn)定區(qū)域都是由條件(11)確定，是圖2圖形的內(nèi)部。歐拉向后公式 (3)的穩(wěn)定區(qū)域是以【0,2】為直徑的圓的外部（圖3）。穩(wěn)定區(qū)域是穩(wěn)定條件的幾何表示，其作用在于解線性常系數(shù)常微分方程組 (12)時(shí)，若步長(zhǎng) h取得使所有h（是A的本

9、征值）都落在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，用這個(gè)步長(zhǎng)積分時(shí)數(shù)值穩(wěn)定，理論上穩(wěn)定區(qū)域可以用來(lái)選擇可用的步長(zhǎng)h。由圖1、圖2可知，對(duì)于0的，只要h取得足夠小，h 就可落在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。對(duì)于圖3，h沒(méi)有限制。穩(wěn)定區(qū)域包含 h平面的整個(gè)左半平面的方法叫做 A穩(wěn)定的。如公式(3)、(4)是A穩(wěn)定的。 剛性方程組、常微分方程組的初值問(wèn)題為： 式中 皆為n維向量。假定微分方程右端函數(shù)的雅可比矩陣的特征值為 且 Rej0(j=1,2,n)，當(dāng)比值 時(shí),用通常顯式公式計(jì)算,hj(j=1,2,n)不能超過(guò)某個(gè)量，也就是h必須很小,從而大大增加計(jì)算時(shí)間。這類問(wèn)題稱為剛性問(wèn)題。因?yàn)?A穩(wěn)定的方法從數(shù)值穩(wěn)定來(lái)說(shuō)對(duì)步長(zhǎng)h沒(méi)有限制,適用于剛性方程組，如歐拉向后公式(3),梯形公式(4)，隱式龍格-庫(kù)塔公式等都是有效的方法。 參考書(shū)目 P. Henrici,Discrete variable Methods in Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, New York, 1962. C. W.吉爾著,費(fèi)景高、劉德貴、高永春譯：常微分方程初值問(wèn)題