探索勾股定理

1、第二章 勾股定理1.探索勾股定理第一課時(shí) 探索勾股定理(一)一教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)點(diǎn)1.體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗(yàn)證勾股定理.2.會(huì)利用勾股定理解釋生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象(二)能力訓(xùn)練要求1.在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過(guò)程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想2.在探索勾股定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)過(guò)程及結(jié)論的能力(三)情感與價(jià)值觀要求1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識(shí)2.在探索勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂(lè)，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣二教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索和驗(yàn)證勾股定理難點(diǎn)：在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理三教學(xué)方法

2、交流探索猜想.在方格紙上，同學(xué)們通過(guò)計(jì)算以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形的面積，在合作交流的過(guò)程中，比較這三個(gè)正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系四教具準(zhǔn)備1.學(xué)生每人課前準(zhǔn)備若干張方格紙.2.投影片三張：第一張：填空(記作1.1.1 A)；第二張：?jiǎn)栴}串(記作1.1.1 B)；第三張：做一做(記作1.1.1 C).五教學(xué)過(guò)程.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課出示投影片(1.1.1 A)(1)三角形按角分類(lèi)，可分為_(kāi)、_、_.(2)對(duì)于一般的三角形來(lái)說(shuō)，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對(duì)于直角三角形呢？(3)有兩個(gè)直角三角形，如果有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？師上面三個(gè)小問(wèn)題是

3、我們以前討論過(guò)的，我們簡(jiǎn)單的回憶一下.生(1)三角形按角的大小來(lái)分類(lèi)可分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形；(2)對(duì)于一般三角形來(lái)說(shuō)，我們可以用SAS(邊角邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊)、SSS(邊邊邊)來(lái)判斷兩個(gè)三角形全等；而對(duì)于直角三角形來(lái)說(shuō)，除以上四種方法外，還可以用HL(即有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等).(3)兩個(gè)直角三角形，有兩邊對(duì)應(yīng)相等，有兩種情況：第一種情況：兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，這時(shí)，我們可注意到它們的夾角也對(duì)應(yīng)相等，利用SAS可判斷它們?nèi)?第二種情況：一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，利用HL公理即可判斷它們?nèi)?綜上所述，兩個(gè)直角三角形，如果有兩邊對(duì)

4、應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等.師我們可以注意到直角三角形有它獨(dú)有的一些特征.在我們學(xué)習(xí)和生活中，你是否還發(fā)現(xiàn)直角三角形的其他特征呢？這節(jié)課，我們就來(lái)繼續(xù)研究直角三角形.講述新課1.問(wèn)題串師(出示投影片1.1.1 B)觀察下圖，并回答問(wèn)題：(1)觀察圖1.正方形A中含有_個(gè)小方格，即A的面積是_個(gè)單位面積；正方形B中含有_個(gè)小方格，即B的面積是_個(gè)單位面積；正方形C中含有_個(gè)小方格，即C的面積是_個(gè)單位面積.(2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流.(3)請(qǐng)將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C的面積關(guān)系嗎？A的面

5、積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1圖2圖3生在圖1中，正方形A含1個(gè)小方格，所以它的面積是1個(gè)單位面積；正方形B含1個(gè)小方格，所以B的面積也是1個(gè)單位面積；正方形C含2個(gè)小方格，所以C的面積是2個(gè)單位面積.師如何求得正方形C的面積呢？生正方形C可劃分為四個(gè)直角邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位的四個(gè)全等的等腰直角三角形，所以C的面積為4(11)=2個(gè)單位面積.生我們觀察可發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)等腰直角三角形重新拼擺，剛好可拼擺成2個(gè)小方格，所以C的面積為2個(gè)單位面積.生正方形C還可以看成邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的正方形面積的一半，即C的面積為22=2個(gè)單位面積.師同學(xué)們能夠不拘一格地積極思考問(wèn)題，用多種方法

6、去求得圖1中C的面積，值得發(fā)揚(yáng)廣大，那么圖2，圖3中的A，B，C的面積是否可借鑒圖1中的A，B，C的求法獲得呢？請(qǐng)與你的同學(xué)們討論、交流。生圖2中，A含有9個(gè)小方格或者說(shuō)正方形A的邊長(zhǎng)是3個(gè)單位長(zhǎng)度，都可以求得A的面積是9個(gè)單位面積；同理可求得B含有9個(gè)小方格，所以B的面積為9個(gè)單位面積；對(duì)于正方形C來(lái)說(shuō)，我們觀察可發(fā)現(xiàn)它含有18個(gè)小方格，所以C的面積為18個(gè)單位面積.師看來(lái)，同學(xué)們已能從圖2中很容易地就求得了A，B，C的面積.是不是在求C的面積時(shí)也和圖1相類(lèi)似，有多種求法呢？生是的.在正方形C中，我們可以把它的邊緣的12個(gè)全等的等腰直角三角形拼擺成6個(gè)小方格，再加上中間的12個(gè)小方格，正方形

7、C共含有18個(gè)小方格，所以它的面積為18個(gè)單位面積；我們也可以把C分割成四個(gè)直角邊為3個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角形，也可算得C的面積為4(32)=18個(gè)單位面積.生如果把組成C的四個(gè)等腰直角三角形沿正方形的邊向外翻，我們觀察又可發(fā)現(xiàn)C在邊長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形中，并且C的面積恰好是這個(gè)正方形面積的一半即62=18個(gè)單位面積.生圖3與圖1，圖2類(lèi)似，所以我們可用同樣的方法觀察求得A，B，C各含4個(gè)，4個(gè)，8個(gè)小方格，面積分別為4個(gè)，4個(gè)，8個(gè)單位面積.師把三個(gè)圖中A，B，C的面積分別填入上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系嗎？生C的面積=A的面積+B的面積.(表格略)師很好！但是A，B，C的面積為什

8、么會(huì)有這種關(guān)系呢？我們接著觀察這三個(gè)圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？生在前面您說(shuō)過(guò)這節(jié)課我們主要研究直角三角形，而在這三個(gè)圖中，都是三個(gè)正方形圍著一個(gè)直角三角形.師的確如此，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)：三個(gè)正方形好像是“長(zhǎng)”在直角三角形的三邊上.生這說(shuō)明三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)得到的.師那么，(3)的結(jié)論即C的面積=A的面積+B的面積與三角形有什么關(guān)系？這個(gè)關(guān)系說(shuō)明什么？大家可以討論、交流.生C是斜邊上的正方形，所以C的面積是斜邊的平方；A，B是兩直角邊上的正方形，所以A，B的面積分別是這兩條直角邊的平方.根據(jù)A，B，C的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方就等于兩直角邊的平方和.師但是，我們也

9、不難發(fā)現(xiàn)上面3個(gè)圖中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，會(huì)不會(huì)也有這種三邊關(guān)系呢？2.做一做出示投影片(1.1.1 C)(1)觀察圖4，圖5，并填寫(xiě)下表：A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖4圖5你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流.(2)三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系？(讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后填寫(xiě)上面的表格.最后以小組為單位充分交流各自的想法，特別是在計(jì)算斜邊上的正方形的面積即正方形C的求法)師生共析根據(jù)圖4，圖5可填表如下：A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖416925圖54913我們先來(lái)觀察

10、圖4，不難看出A，B分別含有16個(gè)小方格，9個(gè)小方格，所以A、B的面積分別為16個(gè)單位面積，9個(gè)單位面積，但斜邊上的正方形C的面積的計(jì)算較為復(fù)雜，我們可用以下幾種方法求得：第一種方法：將正方形C分割成4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為3、4全等的直角三角形和中間的一個(gè)小方格，利用計(jì)算三角形面積的公式可得正方形C的面積為4(34)+1=24+1=25個(gè)單位面積.第二種方法：直接數(shù)正方形C中含有多少個(gè)小方格，但需要適當(dāng)?shù)钠礈?，在第一種方法中，我們將正方形分割成5部分，直角三角形、和一個(gè)小方格，其中直角三角形、可拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為3和4的長(zhǎng)方形，含有12個(gè)小方格，同理、也可拼湊成12個(gè)小方格，所以正方形C中共有

11、12+12+1=25個(gè)小方格即C的面積為25個(gè)單位面積.第三種方法：可將直角三角形、沿正方形C的邊外翻，就得到一個(gè)邊長(zhǎng)為7個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，這時(shí)正方形C的面積就為(491)2+1=25個(gè)單位面積.圖5與圖4同理.我們從上表不難發(fā)現(xiàn)16+9=25，4+9=13即C的面積=A的面積+B的面積.師圖4和圖5中的三個(gè)正方形A，B，C也是由中間的直角三角形“長(zhǎng)”出來(lái)的，你能從三個(gè)正方形的面積關(guān)系與直角三角形的三邊聯(lián)系嗎？生圖4中的正方形A，B，C的面積分別是直角三角形兩條直角邊的平方和斜邊的平方，根據(jù)三個(gè)正方形的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.由圖5我們也

12、可得出同樣的結(jié)論.3.議一議師我們通過(guò)對(duì)前面幾個(gè)直角三角形的討論，分析，你能歸納出直角三角形三邊長(zhǎng)度存在的關(guān)系嗎？用自己的語(yǔ)言表達(dá)你的重大發(fā)現(xiàn)與同伴交流.生在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)度的平方和等于斜邊的平方.師這是由前面幾個(gè)特例猜想出來(lái)的，是否合理呢？我們不妨作幾個(gè)直角三角形檢驗(yàn)一下.例如，作一個(gè)分別以5厘米、12厘米為直角邊的直角三角形，然后測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，通過(guò)計(jì)算看一下直角三角形三邊的規(guī)律還成立嗎？生1.作一個(gè)直角MCN；2.以C為圓心，分別以5厘米、12厘米為半徑畫(huà)弧交CM、CN于點(diǎn)A，B；3.連結(jié)AB.用刻度尺量出斜邊AB的長(zhǎng)度(強(qiáng)調(diào)注意測(cè)量的誤差)為13厘米.經(jīng)檢驗(yàn)斜邊AB2=13

13、2=169，兩直角邊平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.師很好.同學(xué)們不妨多作幾個(gè)不同的直角三角形，用上面的方法檢驗(yàn)直角三角形三邊的關(guān)系.師生共析通過(guò)特例猜想、檢驗(yàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊的規(guī)律是成立的，這就是我們將要介紹的重點(diǎn)內(nèi)容勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.4.讀一讀(課本P5)古代人就對(duì)勾股定理有過(guò)深入的研究，幾大文明古國(guó)都有相應(yīng)的勾股定理的記載.我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家之一.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)

14、直角.如果勾(即直角三角形中較短的直角邊)等于3，股(即直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜邊)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中，在這本書(shū)中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.因此，我們也把勾股定理稱(chēng)為商高定理，而把商高稱(chēng)為“勾股先師”.在西方，把勾股定理又稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯”定理.相傳二千多年，希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規(guī)模的慶?；顒?dòng)，宰殺了一百頭牲畜.但因此也引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來(lái)表示.關(guān)于勾股定理的記載還有很多，同學(xué)們?nèi)绻信d趣，

15、可查閱有關(guān)這方面的資料。所以說(shuō)勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智.5.想一想師小明的媽媽買(mǎi)了一部29英寸(74厘米)的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？生我聽(tīng)爸爸說(shuō)過(guò)，29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指熒屏對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，而不是其長(zhǎng)或?qū)?生可是，連結(jié)熒屏的對(duì)角線(xiàn)將長(zhǎng)方形的熒屏分成全等的兩個(gè)直角三角形.根據(jù)勾股定理，長(zhǎng)2+寬2=742，可582+462742，這是為什么呢？生因?yàn)闊善吝吙蛘谏w了一部分，所以實(shí)際測(cè)量存在一些誤差.師的確如此，但這里我們要知道一個(gè)生活常識(shí)，29英寸(74厘米

16、)指的是熒屏的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，而非熒屏的長(zhǎng)或?qū)?6.例題講解例在ABC中，C=90(1)若a=8，b=6，則c=_；(2)若 c=20，b=12，則a=_；(3)若ab=34，c=10，則a=_，b=_.師生共析分析：在ABC中，C=90，所以有關(guān)系：a2+b2=c2.在此關(guān)系式中，涉及到三個(gè)量，利用方程的思想，可“知二求一”.解：根據(jù)題意可得a2+b2=c2.(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202122=(20+12)(2012)=328=162，a0，所以a=16；(3)若ab=3

17、4，可設(shè)a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化簡(jiǎn)，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x0)，所以a=3x=6；b=4x=8.評(píng)注：綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形(即ABC為直角三角形)與數(shù)(a2+b2=c2)的統(tǒng)一，所以我們說(shuō)勾股定理是形與數(shù)的結(jié)合.課時(shí)小結(jié)先由學(xué)生自己總結(jié)，然后師生共同完成.這節(jié)課我們主要研究：1.從特例猜想出勾股定理；2.用特例檢驗(yàn)了勾股定理；3.簡(jiǎn)單了解了勾股定理的歷史，應(yīng)用.課后作業(yè)1.課本P6，習(xí)題6.1.2.到網(wǎng)上或圖書(shū)室查閱關(guān)于勾股定理的資料.活動(dòng)與探究有一根70 cm的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？過(guò)程：在實(shí)際生活中，往往工程設(shè)計(jì)方案比較多，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算方可解決，而此題正是需要我們大膽實(shí)踐和創(chuàng)新，用我們學(xué)過(guò)的勾股定理和豐富的空間想像力來(lái)解決.我們可注意到木棒