新人教版勾股定理知識點和典型例習題(教師版)

1、新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點和典型例習題一、基礎(chǔ)知識點: 1.勾股定理內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為 a , b ,斜邊為 c ,那么 222a b c += 勾股定理的由來:勾股定理也叫商高定理, 在西方稱為畢達哥拉斯定理. 我國古代把直 角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的直角邊稱為股, 斜邊稱為弦. 早在三千多年前,周 朝數(shù)學家商高就提出了 “ 勾三,股四, 弦五 ” 形式的勾股定理,后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了 直角三角形的三邊關(guān)系為:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 2. 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖

2、的方法 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導出勾股定理 常見方法如下:方法一:4EFGH S S S +=正方形 正方形 ABCD , 2214( 2ab b a c +-=,化簡可證.方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積. 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 221422S ab c ab c =+=+ 大正方形面積 為 222( 2S a b a a b b =+=+ 所 以 222a b c +=方 法 三 :1( ( 2S a b a b =+梯形

3、 , 2112S 222ADE ABE S S ab c =+=+梯形 ,化簡得證3. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系, 它只適用于直角三角形, 對于銳 角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征, 因而在應(yīng)用勾股定理時, 必須明了所考察 的對象是直角三角形 4. 勾股定理的應(yīng)用 已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊在 ABC 中, 90C =,則 c, b, a 知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量 關(guān)系 可運用勾股定理解決一些實際問題 5. 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a , b , c 滿足 222a b c +=,那么這個三角形是直角三

4、角形,其中 c 為 斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過 “ 數(shù)轉(zhuǎn) 化為形 ” 來確定三角形的可能形狀,在運用這一定理時,可用兩小邊的平方和 22a b +與較長 邊的平方 2c 作比較,若它們相等時,以 a , b , c 為三邊的三角形是直角三角形;若cb H EDCBAbabac abcab a bbaED CBA222a b c +<,時, 以 a , b , c 為三邊的三角形是鈍角三角形; 若 222a b c +>,時, 以 a , b , c 為三邊的三角形是銳角三角形; 定理中 a , b , c 及 222a b c +=

5、只是一種表現(xiàn)形式,不可認為是唯一的,如若三角形三 邊長 a , b , c 滿足 222a c b +=,那么以 a , b , c 為三邊的三角形是直角三角形,但是 b 為 斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時, 不能說成:當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和 時,這個三角形是直角三角形 6. 勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù), 即 222a b c +=中, a , b , c 為 正整數(shù)時,稱 a , b , c 為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示 n 組勾股數(shù):

6、 221,2, 1n n n -+(2, n n 為正整數(shù) ;2221,22,221n n n n n +(n 為正整數(shù) 2222,2, m n mn m n -+(, m n >m , n 為正整數(shù) 7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的 證明問題. 在使用勾股定理時, 必須把握直角三角形的前提條件, 了解直角三角形中, 斜邊 和直角邊各是什么,以便運用勾股定理進行計算,應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線 ,構(gòu)造 直角三角形,以便正確使用勾股定理進行求解. 8. .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量

7、關(guān)系判斷一個三角形是否是直角 三角形, 在具體推算過程中, 應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較, 切不可不加思 考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論. 9. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中, 是密不可分的一個整體. 通 常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形, 又要用勾股定理求出邊的長度, 二者相輔 相 成 , 完 成 對 問 題 的 解 決 . 常 見 圖 形 :ABCD BA ADB C10、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè), 這樣的兩個命題叫做互逆 命題。如果把其中一個叫做原命題,

8、那么另一個叫做它的逆命題。勾股定理的作用:(1已知直角三角形的兩邊求第三邊。 (2已知直角三角形的一邊,求另兩邊的關(guān)系。(3用于證明線段平方關(guān)系的問題。 (4利用勾股定理,作出長為 n 的線段二、 經(jīng)典例題透析類型一:勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中, C=90°(1已知 a=6, c=10,求 b , (2已知 a=40, b=9,求 c ; (3已知 c=25, b=15,求 a. 思路點撥 : 寫解的過程中, 一定要先寫上在哪個直角三角形中, 注意勾股定理的變形使用。 解析:(1 在 ABC 中, C=90°, a=6, c=10,b=(2 在 ABC 中,

9、 C=90°, a=40, b=9,c=(3 在 ABC 中, C=90°, c=25, b=15,a=舉一反三 【變式】 :如圖 B = ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,則 AB 的長是多少 ? 【答案】 ACD =90° AD =13, CD=12 AC 2 =AD2-CD 2 =132-122 =25 AC =5又 ABC=90°且 BC =3 由勾股定理可得 AB 2=AC 2-BC 2 =52-32 =16 AB = 4 AB 的長是 4.類型二:勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、 如圖, 已知:在 中,. 求:B

10、C 的長 . 思路點撥 :由條件 , 想到構(gòu)造含角的直角三角形, 為此作于 D ,則有,再由勾股定理計算出 AD 、 DC 的長,進而 求出 BC 的長 . 解析 :作 于 D ,則因,(的兩個銳角互余 (在 中,如果一個銳角等于 ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 .CB DA根據(jù)勾股定理,在 中, . 根據(jù)勾股定理,在 中, . .舉一反三 【變式 1】如圖,已知:, , 于 P . 求證:. 解析 :連結(jié) BM ,根據(jù)勾股定理,在 中, .而在 中,則根據(jù)勾股定理有 .又 (已知 , .在 中,根據(jù)勾股定理有 , .【變式 2】已知:如圖, B= D=90°, A=60

11、6;, AB=4, CD=2。求:四邊形 ABCD 的面積。 分析 :如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵,可以連結(jié) AC ,或延長 AB 、 DC 交于 F ,或 延長 AD 、 BC 交于點 E ,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種,進一步根據(jù)本題給定的邊選第三 種較為簡單。解析 :延長 AD 、 BC 交于 E 。 A= 60°, B=90°, E=30°。 AE=2AB=8, CE=2CD=4, BE 2=AE2-AB 2=82-42=48, BE=。 DE 2= CE2-CD 2=42-22=12, DE=。 S 四邊形 ABCD =S ABE -S CDE =AB

12、 ²BE-CD ²DE=類型三:勾股定理的實際應(yīng)用(一用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示,在一次夏令營活動中,小明從營地 A 點出發(fā),沿北偏東 60°方向走了 到達 B 點, 然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到達目的地 C 點。(1求 A 、 C 兩點之間的距離。(2確定目的地 C 在營地 A 的什么方向。解析 :(1過 B 點作 BE/AD DAB= ABE=60° 30°+ CBA+ ABE=180° CBA=90°即 ABC 為直角三角形由已知可得:BC=500m, AB=由勾股定理可得:所

13、以(2在 Rt ABC 中, BC=500m, AC=1000m CAB=30° DAB=60° DAC=30°即點 C 在點 A 的北偏東 30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車,其外形高 2.5米,寬 1.6米,要開進廠門形狀如圖的某工 廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ? 【答案】 由于廠門寬度是否足夠卡車通過, 只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小 于 CH .如圖所示,點 D 在離廠門中線 0.8米處,且 CD AB, 與地面交于 H .解:OC =1米 (大門寬度一半 , OD =0.8米 (卡車寬度一半 在 Rt OCD 中,

14、由勾股定理得:CD =0. 6米,C H=0. 6+2. 3=2. 9(米>2. 5(米 .因此高度上有 0.4米的余量,所以卡車能通過廠門.(二用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng) 改造,某地有四個村莊 A 、 B 、 C 、 D ,且正好位于一個正方形的四個頂點,現(xiàn)計劃在四個村 莊聯(lián)合架設(shè)一條線路,他們設(shè)計了四種架設(shè)方案, 如圖實線部分. 請你幫助計算一下, 哪種 架設(shè)方案最省電線. 思路點撥 :解答本題的思路是:最省電線就是線路長最短, 通過利用勾股定理計算線路長, 然后進行比較,得出結(jié)論.解析 :設(shè)正方形的邊長為 1,

15、則圖(1 、圖(2中的總線路長分別為AB+BC+CD=3, AB+BC+CD=3圖(3中,在 Rt ABC 中 同理圖(3中的路線長為圖(4中,延長 EF 交 BC 于 H ,則 FH BC , BH =CH由 FBH =及勾股定理得:EA =ED =FB =FC = EF =1-2FH =1 -此圖中總線路的長為 4EA+EF= 3>2.828>2.732圖(4的連接線路最短,即圖(4的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖,一圓柱體的底面周長為 20cm ,高AB為 4cm ,BC是上底面的直徑.一 只螞蟻從點 A 出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點 C ,試求出爬行的最短路程.解:

16、 如圖,在 Rt ABC中,BC=底面周長的一半=10cm , 根據(jù)勾股定理得(提問:勾股定理 AC =10.77(cm (勾股定理 . 答:最短路程約為10.77cm . 類型四:利用勾股定理作長為 的線段5、作長為 、 、 的線段。思路點撥:由勾股定理得,直角邊為 1 的等腰直角三角形,斜邊長就等于 ,直角邊為和 1的直角三角形斜邊長就是 ,類似地可作 。作法 :如圖所示 (1作直角邊為 1(單位長的等腰直角 ACB ,使 AB 為斜邊;(2以 AB 為一條直角邊,作另一直角邊為 1的直角 。斜邊為 ;(3順次這樣做下去,最后做到直角三角形 ,這樣斜邊 、 、 、 的長度就是 、 、 、

17、。舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示 的點。解析:可以把 看作是直角三角形的斜邊, ,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù),而 10又是 9和 1這兩個完全平方數(shù)的和,得另外兩邊分別是 3和 1。作法 :如圖所示在數(shù)軸上找到 A 點, 使 OA=3, 作 AC OA 且截取 AC=1, 以 OC 為半徑, 以 O 為圓心做弧,弧與數(shù)軸的交點 B 即為 。類型五:逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1.原命題:貓有四只腳. (正確2.原命題:對頂角相等(正確3.原命題:線段垂直平分線上的點,到這條線段兩端距離相等. (正確4.原命題:角平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.

18、(正確思路點撥:掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析:1. 逆命題:有四只腳的是貓(不正確2. 逆命題:相等的角是對頂角(不正確3. 逆命題:到線段兩端距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上. (正確4. 逆命題:到角兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上. (正確總結(jié)升華:本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。7、如果 ABC 的三邊分別為 a 、 b 、 c ,且滿足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷 ABC 的形 狀。思路點撥 :要判斷 ABC 的形狀,需要找到 a 、 b 、 c 的關(guān)系,而題目中只有條件a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手,解決問

19、題。解析 :由 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 :a 2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-32+(b-42+(c-52=0。 (a-32 0, (b-42 0, (c-52 0。 a=3, b=4, c=5。 32+42=52, a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理,得 ABC 是直角三角形。總結(jié)升華 :勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的 , 在證明中也常要 用到。舉一反三 【變式 1】四邊形 ABCD 中, B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形 ABCD 的面積?！敬鸢浮?:連結(jié)

20、AC B=90°, AB=3, BC=4 AC 2=AB2+BC2=25(勾股定理 AC=5 AC 2+CD2=169, AD 2=169 AC 2+CD2=AD2 ACD=90°(勾股定理逆定理 【變式 2】 已知 : ABC 的三邊分別為 m 2-n 2,2mn,m 2+n2(m,n為正整數(shù) , 且 m >n, 判斷 ABC 是否為直角三角形 .分析 :本題是利用勾股定理的的逆定理, 只要證明 :a 2+b 2=c 2即可證明: 所以 ABC 是直角三角形 .【變式 3】如圖正方形 ABCD , E 為 BC 中點, F 為 AB 上一點,且 BF=AB 。 請問

21、 FE 與 DE 是否垂直 ? 請說明?！敬鸢浮看?DE EF 。證明:設(shè) BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2; DE 2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接 DF (如圖DF 2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF 2=EF2+DE2, FE DE 。經(jīng)典例題精析類型一:勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是 3:4,斜邊長是 20,求此直角三角形的面積。思路點撥:在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度, 求面積, 可以先通過比值設(shè) 未知數(shù),再根據(jù)勾股定理列出方程,

22、求出未知數(shù)的值進而求面積。解析:設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x , 4x ,根據(jù)題意得:(3x 2+(4x 2=202化簡得 x 2=16;直角三角形的面積=³3x ³4x =6x 2=96總結(jié)升華:直角三角形邊的有關(guān)計算中,常常要設(shè)未知數(shù),然后用勾股定理列方程(組 求解。舉一反三 【 變式 1】等邊三角形的邊長為 2,求它的面積。 【 答案 】如圖,等邊 ABC ,作 AD BC 于 D則:BD =BC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合 AB =AC =BC =2(等邊三角形各邊都相等 BD =1在直角三角形 ABD 中, AB 2=AD 2+BD2,即:

23、AD 2=AB 2-BD 2=4-1=3 AD =S ABC =BC ²AD =注:等邊三角形面積公式:若等邊三角形邊長為 a ,則其面積為 a 。【 變式 2】直角三角形周長為 12cm ,斜邊長為 5cm ,求直角三角形的面積。【 答案 】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是 x , y ,根據(jù)題意得: 由(1得:x+y=7,(x+y 2=49, x 2+2xy+y2=49 (3(3-(2,得:xy =12直角三角形的面積是 xy =³12=6(cm 2【 變式 3】若直角三角形的三邊長分別是 n+1, n+2, n+3,求 n 。思路點撥:首先要確定斜邊(最長的邊長 n+3

24、,然后利用勾股定理列方程求解。 解:此直角三角形的斜邊長為 n+3,由勾股定理可得:(n+1 2+(n+2 2=(n+3 2化簡得:n 2=4 n =±2,但當 n =-2時, n+1=-1<0, n =2總結(jié)升華:注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方,在題目沒有給 出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下,首先要先確定斜邊,直角邊?！?變式 4】以下列各組數(shù)為邊長,能組成直角三角形的是( A 、 8, 15, 17 B 、 4, 5, 6 C 、 5, 8, 10 D 、 8, 39, 40解析:此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷,對數(shù)據(jù)較大的可以用 c 2=a

25、 2+b2的變形:b 2=c 2-a 2=(c -a (c+a來判斷。 例如:對于選擇 D , 82(40+39³(40-39 ,以 8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項。 【答案】 :A【 變式 5】 四邊形 ABCD 中, B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, 求四邊形 ABCD 的面積。解:連結(jié) AC B=90°, AB=3, BC=4 AC 2=AB2+BC2=25(勾股定理 AC=5 AC 2+CD2=169, AD 2=169AC2+CD2=AD2 ACD=90°（勾股定理逆定理） S

26、四邊形 ABCD=SABC+SACD= AB²BC+ AC²CD=36 類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在點 P 處交匯，且QPN30°，點 A 處有一所中學，AP 160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍 100m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的 速度為 18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 思路點撥： （1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校 A，實質(zhì)上是看 A 到公路的距離是否 小于 100m, 小于 100m 則受影響，大于 100m

27、 則不受影響，故作垂線段 AB 并計算其長度。 （2）要求出學校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學校 A 的影響所行駛的路程。因此必 須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結(jié)束影響學校。 解析：作 ABMN，垂足為 B。 在 Rt ABP 中，ABP90°，APB30°， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半） 點 A 到直線 MN 的距離小于 100m, 這所中學會受到噪聲的影響。 如圖， 假設(shè)拖拉機在公路 MN 上沿 PN 方向行駛到點 C 處學校開始受到影響， 那么 AC 100(m， 由勾股定理得：

28、BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機行駛到點 D 處學校開始脫離影響，那么，AD100(m，BD60(m, CD120(m。 拖拉機行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m÷5m/s24s。 答：拖拉機在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間 為 24 秒。 總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作 輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 舉一反三 【變式 1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑” ， 在花園內(nèi)走出了一條“路” 。他們僅僅少走了_

29、步路（假設(shè) 2 步為 1m） ，卻踩傷了 花草。 解析：他們原來走的路為 3+47(m 設(shè)走“捷徑”的路長為 xm，則 故少走的路長為 752(m 又因為 2 步為 1m，所以他們僅僅少走了 4 步路。 【答案】4 【變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為 1 的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形 ABCD 含有多少個單位正三角形？平行四邊形 ABCD 的面積是 多少？ （3）求出圖中線段 AC 的長（可作輔助線） 。 【答案】 （1）單位正三角形的高為 ，面積是 。 （2）如圖可直接得出平行四邊形 ABCD 含有 24 個單位正三角形，因此其面積 。 （ 3 ） 過 A 作 AK BC 于 點 K （ 如 圖 所 示 ） 則 在 R