概率與統(tǒng)計(jì)51

1、5.15.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第五章第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)引言引言數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)任務(wù)包括：包括：限的數(shù)據(jù)資料；限的數(shù)據(jù)資料；究，究， 從而對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)，從而對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)， 作出合理的推斷作出合理的推斷,此即所謂的此即所謂的統(tǒng)計(jì)推斷問題統(tǒng)計(jì)推斷問題， 本課程主要講述統(tǒng)計(jì)推斷本課程主要講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容的基本內(nèi)容.怎樣有效地收集、怎樣有效地收集、 整理有整理有怎樣對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、怎樣對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、 研研一、總體與總體分布一、總體與總體分布通常把具有一定共性的研究對(duì)象的全體稱通常把具有一定共性的研究對(duì)象的全

2、體稱總體總體，其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而確定其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而確定.如，如，考察某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況，考察某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況，級(jí)全體新生就構(gòu)成了待研究的總體級(jí)全體新生就構(gòu)成了待研究的總體.總體確定后，總體確定后，們稱組成總體的每一個(gè)成員為們稱組成總體的每一個(gè)成員為個(gè)體個(gè)體.重為一個(gè)個(gè)體重為一個(gè)個(gè)體.總體中所包含的個(gè)數(shù)稱為總體的總體中所包含的個(gè)數(shù)稱為總體的容量容量，例例則該校一年則該校一年我我如前述總體如前述總體(一年級(jí)新生的體重一年級(jí)新生的體重)中的每一個(gè)新生的體中的每一個(gè)新生的體容量為有限的容量為有限的稱為稱為有限總體有限總體；容量為無(wú)限的稱為容量為

3、無(wú)限的稱為無(wú)限總體無(wú)限總體.總體與總體分布總體與總體分布總體與個(gè)體的關(guān)系，總體與個(gè)體的關(guān)系，即集合論中集合與元素的關(guān)系即集合論中集合與元素的關(guān)系.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所關(guān)心的并非每個(gè)個(gè)體的所有性質(zhì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所關(guān)心的并非每個(gè)個(gè)體的所有性質(zhì)，而僅僅而僅僅是它的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo)，是它的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo)，代表總體的指標(biāo)代表總體的指標(biāo)(如一年如一年級(jí)新生的體重級(jí)新生的體重)是是一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量,X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的一個(gè)取值，的一個(gè)取值，幾個(gè)幾個(gè))隨機(jī)變量隨機(jī)變量總體中每個(gè)個(gè)體總體中每個(gè)個(gè)體從而總體就是指某個(gè)從而總體就是指某個(gè)(或或可能取的值的全體可能取的值的全體.于是，于是，一個(gè)總體就對(duì)應(yīng)于一個(gè)一

4、個(gè)總體就對(duì)應(yīng)于一個(gè) (或幾個(gè)或幾個(gè))隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，對(duì)總體的研究就相當(dāng)于對(duì)這個(gè)對(duì)總體的研究就相當(dāng)于對(duì)這個(gè) （或幾個(gè)（或幾個(gè))隨機(jī)變量的研究隨機(jī)變量的研究.總體與總體分布總體與總體分布定義定義統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量(或向量或向量)X為為總體總體， 并把并把隨機(jī)變量（或向量）的分布稱為隨機(jī)變量（或向量）的分布稱為總體分布總體分布.有時(shí)即使知道其有時(shí)即使知道其分布的類型分布的類型(如正態(tài)分布、二項(xiàng)分布等如正態(tài)分布、二項(xiàng)分布等),但不知這些但不知這些分布中的所含參數(shù)分布中的所含參數(shù)(如如p,2 等等).總體的分布一般來(lái)說是未知的，總體的分布一般來(lái)說是未知的，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)任

5、務(wù)就是根據(jù)總體中部分個(gè)體的數(shù)據(jù)資就是根據(jù)總體中部分個(gè)體的數(shù)據(jù)資料對(duì)總體的未知分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷料對(duì)總體的未知分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.二、樣本二、樣本為對(duì)總體分布及其特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為對(duì)總體分布及其特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，需按一定的需按一定的規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察，規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察，通過觀察可通過觀察可得到關(guān)于總體得到關(guān)于總體X的一組數(shù)值的一組數(shù)值,21xx,nx基于基于), 2 , 1(nixi 是第是第i次抽取的個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)次抽取的個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)iX的觀察值的觀察值. 上述抽取過程稱為上述抽取過程稱為抽樣抽樣，個(gè)體稱為個(gè)體稱為樣本樣本，樣本中所含個(gè)體數(shù)目稱為樣本的樣本中所含個(gè)

6、體數(shù)目稱為樣本的容容所抽取的部分所抽取的部分量量.二、樣本二、樣本為對(duì)總體進(jìn)行合理的統(tǒng)計(jì)推斷，為對(duì)總體進(jìn)行合理的統(tǒng)計(jì)推斷，我們還需要在我們還需要在相同的相同的 條件下進(jìn)行多次重復(fù)的、條件下進(jìn)行多次重復(fù)的、故故樣本是一個(gè)隨機(jī)變量（或向量）樣本是一個(gè)隨機(jī)變量（或向量）.容量為容量為n的樣本可的樣本可獨(dú)立的抽樣觀察，獨(dú)立的抽樣觀察，視視為為n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量,21nXXX一旦具體取定一組樣本，一旦具體取定一組樣本， 便得到樣本的一次具體的便得到樣本的一次具體的觀察值觀察值,21nxxx稱其為稱其為樣本值樣本值，成的集合稱為成的集合稱為樣本空間樣本空間.地反映總體的信息，地反映總體的信息， 必須考

7、慮抽樣方法，必須考慮抽樣方法，全體樣本值組全體樣本值組為了使抽取的樣本能很好為了使抽取的樣本能很好最常用的最常用的一種抽樣方法稱為一種抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，它要求抽取的樣它要求抽取的樣本滿足下面兩個(gè)條件：本滿足下面兩個(gè)條件：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，本滿足下面兩個(gè)條件：本滿足下面兩個(gè)條件：1. 代表性代表性：nXXX,21與所考察的總體具有相同與所考察的總體具有相同要求抽取的樣要求抽取的樣的分布；的分布；2. 獨(dú)立性獨(dú)立性：nXXX,21是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，可用與總體獨(dú)立同分

8、布的可用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量它它nXXX,21表示表示.樣本樣本當(dāng)所當(dāng)所考察的總體很大時(shí)，考察的總體很大時(shí)， 可近似把無(wú)放回抽樣所得到的可近似把無(wú)放回抽樣所得到的樣本看成是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本樣本看成是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.對(duì)無(wú)限總體對(duì)無(wú)限總體， 因抽取一個(gè)個(gè)體不影響它的分布，因抽取一個(gè)個(gè)體不影響它的分布，故故 采用無(wú)放回抽樣即可得到的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本采用無(wú)放回抽樣即可得到的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.注注： 今后假定所考慮的樣本均為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，今后假定所考慮的樣本均為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，稱為稱為樣本樣本.簡(jiǎn)簡(jiǎn)注注： 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一種非常理想化的樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一種非常理

9、想化的樣本.際應(yīng)用中，際應(yīng)用中，對(duì)有限總體對(duì)有限總體，若采用有放回抽樣就能得若采用有放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，但有放回抽樣使用起來(lái)不方便，但有放回抽樣使用起來(lái)不方便，故實(shí)故實(shí)故實(shí)際操作中通常采用的是無(wú)放回抽樣，故實(shí)際操作中通常采用的是無(wú)放回抽樣，三、樣本分布三、樣本分布設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為),(xF由樣本的獨(dú)立性，由樣本的獨(dú)立性，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本nXXX,21的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 niinxFxxxF121)(),(并稱其為并稱其為樣本分布樣本分布.（1）其概率分布為其概率分布為),(ixp則樣本則樣本nXXX,21的概率分布為的概率分

10、布為則則X為離散型隨機(jī)變量，為離散型隨機(jī)變量，若總體若總體),(),(121 niinxpxxxp稱其為稱其為離散樣本分布律離散樣本分布律.（2）其概率密度為其概率密度為X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量，若總體若總體),(xf則樣本的概率密度為則樣本的概率密度為)(),(121 niinxfxxxf稱其為稱其為連續(xù)樣本密度連續(xù)樣本密度.例例 如果總體如果總體X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, , 則稱總體則稱總體X為正為正態(tài)總體態(tài)總體. .正態(tài)總體是統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最常見的總體正態(tài)總體是統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最常見的總體, , 現(xiàn)現(xiàn) 設(shè)總體設(shè)總體X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布),(2 N則其樣本密度則其樣本密度由下式

11、給出由下式給出: :21211122(,)expninixf x xx 2211122exp().nniix 例例4 設(shè)總體設(shè)總體X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, ,21XXnX為其樣本為其樣本, , 則樣本的概率分布為則樣本的概率分布為,2211nniXiXiXP nkkinkkeiiXPk11! ,!21 nnseiiin 其中其中)1(nkik 取非負(fù)整數(shù)取非負(fù)整數(shù), , 而而.21nniiis 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義定義2設(shè)總體設(shè)總體X的一個(gè)容量為的一個(gè)容量為n的樣本的樣本值的樣本的樣本值nxxx,21可按大小次序排列成可按大小次序排列成.)()2()1(nxxx

12、若若,)1()( kkxxx則不大于則不大于x的樣本值的頻率為的樣本值的頻率為./nk因而函數(shù)因而函數(shù) , 1,/, 0)(nkxFn)1(xx ,)1()( kkxxx)(nxx 與事件與事件xX 在在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的頻率相同的，重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的頻率相同的，稱稱)(xFn為為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).注：注：樣本的頻率直方圖可以形象地描述總體的概率樣本的頻率直方圖可以形象地描述總體的概率分布的大致形態(tài)，分布的大致形態(tài)，而經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)則可以用來(lái)描述而經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)則可以用來(lái)描述總體分布函數(shù)的大致形狀總體分布函數(shù)的大致形狀.有下列結(jié)論有下列結(jié)論(格里汶科格里汶科, 1933):01lim s

13、up( )( ).nnxPF xF x 對(duì)于上述經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)對(duì)于上述經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)由此結(jié)果，由此結(jié)果，對(duì)于任一實(shí)數(shù)對(duì)于任一實(shí)數(shù),x當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè)觀察值經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè)觀察值)()(xFn與總體分布與總體分布只有微小的差別。只有微小的差別。從而在實(shí)際中可當(dāng)作從而在實(shí)際中可當(dāng)作)(xF來(lái)使用來(lái)使用.這就是由樣本推斷總體其可行性這就是由樣本推斷總體其可行性 的最基本的理論的最基本的理論依據(jù)。依據(jù)。例例6 隨機(jī)觀察總體隨機(jī)觀察總體,X得到一個(gè)容量為得到一個(gè)容量為10的樣本值的樣本值: :425 . 22305 . 225 . 22 . 3 求求X經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函

14、數(shù). .解解 把樣本值按從小到大的順序排列為把樣本值按從小到大的順序排列為于是得經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為于是得經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為5 . 25 . 22202 42 . 335 . 2 ,4, 142 . 3,10/92 . 33,10/835 . 2,10/75 . 22,10/420,10/202,10/12, 0)(10 xxxxxxxxxFOx10.52342 )(xFn注注: : 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù))(xFn是一個(gè)階梯形函數(shù)是一個(gè)階梯形函數(shù), , 當(dāng)樣當(dāng)樣本容量增大時(shí)本容量增大時(shí), , 相鄰兩階梯的躍度變低相鄰兩階梯的躍度變低, , 階梯寬度階梯寬度變窄變窄, , 容易想像容易想像, , 這樣

15、的階梯形折線幾乎就是一條這樣的階梯形折線幾乎就是一條曲線曲線, , 如果設(shè)總體如果設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為),(xF則則)(xFn非常接近于非常接近于).(xF五、統(tǒng)計(jì)量五、統(tǒng)計(jì)量定義定義設(shè)設(shè)nXXX,1為總體為總體X的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量.例如例如， 設(shè)總體設(shè)總體X服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，, 5)( XE22,)( XD未知未知.12,nXXX為總體的一個(gè)樣為總體的一個(gè)樣令令,21nSXXXXSnnn 稱此稱此本，本，則則nS與與X均為該樣本的統(tǒng)計(jì)量，均為該樣本的統(tǒng)計(jì)量，但但 )5( XnU不是該樣本的統(tǒng)計(jì)量，不是該樣本的統(tǒng)計(jì)量，因其含有總體分布中的未知因其含有總體分布中的未知. 參數(shù)參數(shù)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量注注： 樣本樣本nXXX,1是是n維隨機(jī)向量，維隨機(jī)向量，這個(gè)隨機(jī)向量的函數(shù)，這個(gè)隨機(jī)向量的函數(shù)，用大寫字母，用大寫字母，如：如： niiXnX11等；等；但是，但是，體取定一組觀察值體取定一組觀察值nxx,1時(shí)，時(shí)，統(tǒng)計(jì)量就是一個(gè)具統(tǒng)計(jì)量就是一個(gè)具統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量是當(dāng)樣本當(dāng)樣本,1XXnX具具體