平面上兩直線的夾角求法解析

1、平面上兩直線的夾角求法解析、容概述在2004年審定的人教A和B版教材中，平面兩條直線的夾角概念與相應(yīng)問題沒有涉及 到.但是，該問題完全可以作為三角恒等式中兩角差的正切公式：、基本概念平面上直線方程的兩種常用表示:直線的點斜式方程：丿二&+6依芒0) ).;直線的一般式方程：-H-不全為.2平面上兩條相交直線夾角的概念：平面上兩條相交直線1,丄所成四個角中的最小角，叫做兩條直線的夾角.3平面上兩條直線所成角的圍:如果兩條直線平行或重合，規(guī)定它們所成的角為7;如果兩條直線垂直，規(guī)定它們的夾角為;如果兩條直線相交且互不垂直，則兩直線的夾角圍為4平面上直線的方向向量：基線與平面上一條直線-平行

2、或重合的向量 亍，叫做直線的方向向量;直線點斜式方程的一個方向向量為H.5平面上直線的法向量：基線與平面上一直線垂直的向量人，叫做直線.的法向量；直線的一般式方程不全為的一個法向量為1-r.tan（凸-戸）=tan盤一tan 1+tan a tan Q平面向量中直線法向量夾角的余弦及直線方向向量夾角的余弦的應(yīng)用來進行考查.三、理論推導(dǎo)證明：如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線一的傾斜角為；一，直線I的傾斜假設(shè)一 丁 為直線所成的一角，顯然：，則1，由公式得:1 +1an席1 tan口：1 + k並又因為平面上兩條相交且互不垂直的直線夾角二圍是，所以：江匚從而得:a = arc tan即，平面上

3、直線-與直線的夾角2已知直線的一般式方程，運用直線法向量夾角余弦?lI求平面上兩直線夾角.1已知傾斜角1,根據(jù)兩角差的正切公式角.求兩直線夾tan a = |tan 6| =Itan (a3- )1 =tan母2 tan內(nèi)上2妬1 4 tan閔tan巴1 +吐1n易1由法向量夾角的余弦得A4+朋又因為平面上兩條相交且互不垂直的直線夾角AA+BBJ屮+滬丿4件月ah爲(wèi).爲(wèi)COS U 沖 1，兮 =向量1假設(shè)一十二為直線3 +夕如+B丄.-1 1-，一法向量-I - . ：，-；直線的一般式方程為； -L, 一法證明：如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系-中，直線I的一般式方程為二所成的一角，顯然 J I

4、二I（左圖）或 Jr （右圖）證明：如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線I的點斜式方程為圍是J ，所以從而得a-bGQSP = rzi國bl1求平面上兩直線夾一方向向量 -；直線的點斜式方程為- *, 一方向向量_ 11L3已知直線的點斜式方程，利用直線方向向量夾角余弦 角._ 如）0）引區(qū)W+愛 3+護 3 +少斯石Jia = arccos即，平面上直線與直線二的夾角1p/O假設(shè)一為直線所成的角，顯然i.-（左圖）或（右圖），由方向向量夾角的余弦得:ah _（1,妬）（1尼）_1+卒2又因為平面上兩條相交且互不垂直的直線夾角上圍是，J，所以-；從而得:COS CL - |cos創(chuàng)二cos 氓

5、=artels注意：可以求出直線一般式方程的某個方向向量，也可以求出直線點斜式方程的某個法向量但是，無論利用哪一種方法，都必須謹(jǐn)記平面上兩直線所成角與兩直線夾角的區(qū)別：兩直線夾角二的圍是71-,即&的三角函數(shù)值一定是非負的.四、例題解析對于有關(guān)平面上兩直線的夾角問題，理論簡單，方法也易于掌握，該部分難點是如何根據(jù)題意選取恰當(dāng)?shù)睦碚摵头椒▉斫鉀Q問題下面結(jié)合具體實例談?wù)勄蠼夥椒ㄊ侨绾芜x擇的.例1已知直線，二的斜率是二次方程一 -:的根，試求直線】與I的夾角.解析：設(shè)直線，I的斜率分別為 匚，解二次方程：丄.-.得,即，平面上直線與直線的夾角所以直線-與二的夾角& =arctanta

6、n召=點評：本題結(jié)合二次方程求解問題考查第一種方法的運用，解決此類問題的時候，要理解直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系，并能準(zhǔn)確選擇求直線夾角的方法.例2求直線一與直線二1的夾角.解析：題目中的直線方程是一般式形式且互不垂直，因此我們選擇法向量求夾角的方法.直線1+1一法向量菇-:v :;直線； -11一法向量匹CO0 & = CCS將一i 二代入公式點評：本題主要考查對公式的選擇及熟練程度，也可以嘗試?yán)梅较蛳蛄壳蠼?，鼓勵一題多解.例3光線沿直線-1 1- 照射到直線-1- -上后反射，求反射光線線所 在直線-的方程.2x+y 2 = U解析：聯(lián)立+得反射點的坐標(biāo)為2-2），由題意知直線心過該點，則設(shè)：的方程為一-（其中 .為直線的法向量，-心 不同時為零）所以，直線 的方程為 二 AAhjmFjr弔阿得,AT+昭如+護如仃Js3+護J73+J1277193%5所以直線與匚的夾角:;.-由物理學(xué)中的反射原理可知：直線與直線I的夾角等于直線二與直線的夾角，即:a + 2J) )辰，解得:或-？二：（舍去，否則與-重合）.嚴(yán)27J193g 計亡亡_點評：本題首先應(yīng)思考將問題轉(zhuǎn)化為求過定點，且與所