初中數(shù)學(xué)共圓問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)與?？茧y題和培優(yōu)提高練習(xí)壓軸題含解析

1、初中數(shù)學(xué)共圓問(wèn)題提高練習(xí)與?？茧y題和培優(yōu)題壓軸題(含解析)問(wèn)題探究：一個(gè)班級(jí)的學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字型排開，這樣的隊(duì)形對(duì)每個(gè)人公平嗎？你認(rèn)為他們應(yīng)當(dāng)排成什么樣的隊(duì)形？怎樣排？四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有利的工具，四點(diǎn)共圓這類問(wèn)題一般有以下兩種形式：（1） 證明某四點(diǎn)共圓或者以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓；（2） 通過(guò)某四點(diǎn)共圓得到一些重要結(jié)論，進(jìn)而解決問(wèn)題下面給出與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)（1） 若干個(gè)點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等，則這些點(diǎn)在一個(gè)圓上；（2） 在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)，其他點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角，則這些點(diǎn)共圓；（3） 若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一外角等于它的

2、內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓；（4） 若點(diǎn)在線段的同側(cè)，且，則四點(diǎn)共圓；（5） 若線段交于點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓；（6） 若相交線段上各有一點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓。 四點(diǎn)共圓問(wèn)題不但是平面幾何中的重要問(wèn)題，而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。1如圖，把直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，則該圓玻璃鏡的半徑是（）AcmB5cmC6cmD10cm2正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心共5個(gè)點(diǎn)能確定個(gè)不同的圓3如圖，若AD、BE為ABC的兩條角平分線，I為內(nèi)心，若C，D，I，E四點(diǎn)共圓，且DE=1，則ID=4如圖，在ABC中，AD，

3、BE分別是A，B的角平分線，O是AD與BE的交點(diǎn)，若C，D，O，E四點(diǎn)共圓，DE=3，則ODE的內(nèi)切圓半徑為5如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且AC=BC求證：DC平分BDE6如圖，BD，AH分別是ABC的高，求證：A、B、H、D四點(diǎn)共圓7等腰梯形ABCD中，ADBC，求證：A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)共圓8如圖，四邊形ABCD中，B=D=90，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓嗎？9如圖所示，I為ABC的內(nèi)心，求證：BIC的外心O與A、B、C四點(diǎn)共圓10如圖，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求證：B、E、F、C四點(diǎn)共圓11O和H分別是ABC的外心和垂心，若BAC=60，求證：B、

4、0、H、C的共圓12如圖，AB為O直徑，BFAB，E為BF上一點(diǎn)，AE和AF交O于C和D，求證：C、D、F、E四點(diǎn)共圓13如圖，在ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)CA到P，延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與A，P，Q四點(diǎn)共圓14如圖，點(diǎn)F是ABC外接圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在邊AC上，使得AD=AB，BE=EC證明：B、E、D、F四點(diǎn)共圓15如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），而且CE=BF，O是ABC的外心，證明C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓16設(shè)ADE內(nèi)接于圓O，弦BC分別交AD、AE邊于點(diǎn)F、G，且AB=AC，求證：F、D、E、G四點(diǎn)共圓參考答案1（2016常州）如圖，

5、把直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，則該圓玻璃鏡的半徑是（）AcmB5cmC6cmD10cm【解答】解：如圖，連接MN，O=90，MN是直徑，又OM=8cm，ON=6cm，MN=10（cm）該圓玻璃鏡的半徑是：MN=5cm故選：B2（2006黃石）正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心共5個(gè)點(diǎn)能確定5個(gè)不同的圓【解答】解：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心的點(diǎn)的距離相等，中心與一邊的兩個(gè)端點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，正方形有四條邊，因而有四個(gè)圓；而正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以中心為圓心的圓上，因而能確定5個(gè)不同的圓3如圖，若AD、BE為ABC的兩條角平分

6、線，I為內(nèi)心，若C，D，I，E四點(diǎn)共圓，且DE=1，則ID=【解答】解：連接CI，AD、BE為ABC的兩條角平分線，BAI=BAC，IBA=ABC，AIB=180BAIIBA，AIB=180（CAB+CBA），又ABC+CBA+ACB=180，AIB=90+C，C，D，I，E四點(diǎn)共圓，EID+ACB=180，又AIB=EID，90+C+C=180，ACB=60，I為內(nèi)心，ICD=30，DE=1，=2R，R=，ID=，故答案為：4（2005溫州校級(jí)自主招生）如圖，在ABC中，AD，BE分別是A，B的角平分線，O是AD與BE的交點(diǎn)，若C，D，O，E四點(diǎn)共圓，DE=3，則ODE的內(nèi)切圓半徑為3【解答

7、】解：作OFED于點(diǎn)F，AD，BE分別是A，B的角平分線，AOB=90+C，CO平分ACB，又DOE=AOB，DOE+C=180，C=60，DOE=AOB=120，又OD=OE，OED=ODE=30，F(xiàn)D=，tan30=，F(xiàn)O=，OD=OE=，ODE的周長(zhǎng)為：2+3，ODE的面積為：3=，ODE的內(nèi)切圓半徑為=3故答案為：35如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且AC=BC求證：DC平分BDE【解答】證明：A，B，C，D四點(diǎn)共圓，2=1，3=ABC，AC=BC，1=ABC，2=3，DC平分BDE6如圖，BD，AH分別是ABC的高，求證：A、B、H、D四點(diǎn)共圓【解答】證明：取AB的中點(diǎn)O，連接DO

8、、HO，BD，AH分別是ABC的高，DAB和HAB都是直角三角形，且它們的斜邊都是AB，點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，DO=HO=AB=AO=BO，也就是說(shuō)，點(diǎn)D、H、B在以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓上，即點(diǎn)D、H、B、A都在以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑的圓上，故可得：A、B、H、D四點(diǎn)共圓7等腰梯形ABCD中，ADBC，求證：A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)共圓【解答】證明：如圖：ABCD是等腰梯形，且ADBC，A=D，B=C，A+B=180A+C=B+D=180根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓8如圖，四邊形ABCD中，B=D=90，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓嗎？【解答】解

9、：A，B，C，D四點(diǎn)共圓，理由如下：連結(jié)DE在RtABC中，ABC=90，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，EB=EA=EC=AC，在RtADC中，ADC=90，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，ED=EA=EC=AC，EA=EB=EC=ED，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以E為圓心，AC為直徑的圓上，即A，B，C，D四點(diǎn)共圓9如圖所示，I為ABC的內(nèi)心，求證：BIC的外心O與A、B、C四點(diǎn)共圓【解答】證明：連接OB、BI、OC，由O是外心知IOC=2IBC由I是內(nèi)心知ABC=2IBC從而IOC=ABC同理IOB=ACB而BAC+ABC+ACB=180，故BOC+BAC=180，于是O、B、A、C 四點(diǎn)共圓10如圖，在ABC中，AD

10、BC，DEAB，DFAC求證：B、E、F、C四點(diǎn)共圓【解答】解：ADBC，DEAB，AED=ADB=90又DAE=BAD，AEDADB，=，即AD2=AEAB同理可得AD2=AFAC，AEAB=AFAC，即=又EAF=CAB，AEFACB，AEF=ACB，B、E、F、C四點(diǎn)共圓11O和H分別是ABC的外心和垂心，若BAC=60，求證：B、0、H、C的共圓【解答】證明：連接BH并延長(zhǎng)交AC于E，連接CH并延長(zhǎng)交AB于F，連接OB、OC，如圖所示：O是三角形的外心，BAC=60，BOC=2BAC=120（同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍）又垂心為點(diǎn)H，BEAC，ABE=90，ABE=90BAC=9

11、060=30，同理：ACF=30，HBC+HCB=180（BAC+ABE+ACF）=60，BHC=180（HBC+HCB）=18060=120，BOC=BHC，又O，H在BC邊同側(cè)，B，C，O，HI四點(diǎn)共圓12如圖，AB為O直徑，BFAB，E為BF上一點(diǎn)，AE和AF交O于C和D，求證：C、D、F、E四點(diǎn)共圓【解答】證明：連接BC、CD，如圖所示：AB為O直徑，ACB=90，BCE=90，BEC+EBC=90，BFAB，ABF=90，即ABC+EBC=90，ABC=BEC，ABC+ADC=180，BEC+ADC=180，CDF+ADC=180，BEC=CDF，C、D、F、E四點(diǎn)共圓13如圖，在A

12、BC中，AB=AC，延長(zhǎng)CA到P，延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與A，P，Q四點(diǎn)共圓【解答】證明：如圖，作ABC的外接圓O，作OEAB于E，OFAC于F，連接OP、OQ、OB、OA，O是ABC的外心，OE=OF，OB=OA，由勾股定理得：BE2=OB2OE2，AF2=OA2OF2，BE=AF，AP=BQ，PF=QE，OEAB，OFAC OFP=OEQ=90，在RtOPF和RtOQE中，RtOPFRtOQE，P=Q，O、A、P、Q四點(diǎn)共圓，即：ABC的外心O與點(diǎn)A、P、Q四點(diǎn)共圓14（2009黃岡校級(jí)自主招生）如圖，點(diǎn)F是ABC外接圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在邊AC上，使得AD=AB，

13、BE=EC證明：B、E、D、F四點(diǎn)共圓【解答】證明：連接FC，F(xiàn)B，則FC=FB（2分）連接EF，則CEFBEF，BFE=CFE（5分）A，B，F(xiàn)，C共圓，CAB+CFB=180（7分）CAB+2BFE=180AB=AD，ABD=ADB（8分）CAB+2ADB=180ADB=BFE（10分）B、E、D、F四點(diǎn)共圓（12分）15如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），而且CE=BF，O是ABC的外心，證明C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓【解答】證明：如圖，連接OB、OC、OE、OFOB=OC，OCB=OBC，又AC=BC，OCB=OCA，OBC=OCA，在ECO與FBO中，ECOFBO（SAS），EOC=FOB，又AOC=BOC，EOF=COB，又EO=OF，OEF=OCF，C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓16設(shè)ADE內(nèi)接于圓O，弦BC分別交AD、AE邊于點(diǎn)F、G，且AB=AC，求證：F、D