人教版八年級上冊課件 13.4 課題學習-最短路徑問題 (共37張PPT)

1、八年級八年級 上冊上冊13.4 課題學習課題學習 最短路徑問題最短路徑問題引言：引言： 前面我們研究過一些關于前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線兩點的所有連線中，線 段最短段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾柕鹊膯栴}，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)題現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題將軍飲馬問題” 引入新知引入新知問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞

2、城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲

3、馬 問題問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？ 探索新知探索新知BAl追問追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個點，將河兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 探索新知探索新知BAl（1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地地 到飲馬地點，再回到到飲馬地點，再回

4、到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學問題嗎？并把它抽象為數(shù)學問題嗎？ 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？并把它抽象為數(shù)學問題嗎？ （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線短的直線l上的點設上的點設C 為直線上的一個動點，上為直線上的一個動點，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時， A

5、C 與與CB 的和最?。ㄈ鐖D）的和最?。ㄈ鐖D） BAlC追問追問1對于問題對于問題2，如何，如何將點將點B“移移”到到l 的另一側(cè)的另一側(cè)B處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意一點上的任意一點C，都保持，都保持CB 與與CB的長度的長度相等？相等？ 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點如圖，點A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點的同側(cè)，點C 是直是直 線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB 的和最??？的和最?。?BlA追問追問2你能利用軸對稱的你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條有關知識，找到上問中符合條件的點件的點B嗎？嗎？ 探索新

6、知探索新知問題問題2 如圖，點如圖，點A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點的同側(cè)，點C 是直是直線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB的和最小？的和最小？ BlA作法：作法：（1）作點）作點B 關于直線關于直線l 的對稱的對稱 點點B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交相交 于點于點C 則點則點C 即為所求即為所求 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點如圖，點A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點的同側(cè)，點C 是直是直線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB 的和最??？的和最??？

7、BlABC探索新知探索新知問題問題3你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABC證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點上任取一點C（與點（與點C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知，由軸對稱的性質(zhì)知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知問題問題3你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC探索新知探索新知問題問題3你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明AC + +

8、BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC證明：證明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直線若直線l 上任意一點（與點上任意一點（與點C 不重合）與不重合）與A，B 兩點的距離兩點的距離和都大于和都大于AC + +BC，就說明，就說明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追問追問1證明證明AC + +BC 最短時，為什么要在直線最短時，為什么要在直線l 上上任取一點任取一點C（與點（與點C 不重合），證明不重合），證明AC + +BC AC+ +BC？這里的？這里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新

9、知追問追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？過程、借助什么解決問題的？ BlABCC運用新知運用新知練習如圖，一個旅游船從大橋練習如圖，一個旅游船從大橋AB 的的P 處前往山處前往山腳下的腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 處，請畫出旅游船的最短路徑處，請畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋運用新知運用新知基本思路：基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線，線段段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸

10、抽象為為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點點P，Q 在直線在直線BC 的同側(cè)，如何在的同側(cè)，如何在BC上找到上找到一點一點R，使，使PR與與QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋造橋選址問題造橋選址問題如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從喬早在何處才能使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析思維分析BA 1、如圖假定任選位置造、如圖

11、假定任選位置造橋，連接和，從橋，連接和，從A到到B的路徑是的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短那么怎樣確定什么情況下最短呢？呢？ 2、利用線段公理解決問題我們遇到了什、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？么障礙呢？ 我們能否在不改變我們能否在不改變AM+MN+BN的前提的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？我們呢？思維火花思維火花各抒己見各抒己見1、把、把A平移到岸邊平移到岸邊.2、把、把B平移到岸邊平移到岸邊.3、把橋平移到和、把橋平移到和A相連相連.4、把橋平移到和、把橋平移到和B相連相連.上述方法都能做到使上述方法

12、都能做到使AM+MN+BN不變呢？請不變呢？請檢驗檢驗.合作與交流合作與交流1、2兩種方法改變了兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？怎樣調(diào)整呢？把把A或或B分別向下或上平移一個橋長分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決問題解決BAA1MN如圖，平移如圖，平移A到到A1，使，使A1等于河寬，連接等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此交河岸于作橋，此時路徑時路徑最短最短.理由；另任作橋理由；另任作橋，連接，連接，.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為.在在中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+

13、MN+BN問題延伸一問題延伸一如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN和和PQ.橋分別建在何處橋分別建在何處才能使從才能使從A到到B的路徑的路徑最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋橋MN和和PQ在中間，且方向不在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用能改變，仍無法直接利用“兩兩點之間，線段最短點之間，線段最短”解決問題，解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到

14、兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移平移的方法有三種：兩個橋長都平移到到A點處、都平移到點處、都平移到B點處、點處、MN平移平移到到A點處，點處，PQ平移到平移到B點處點處思維方法一思維方法一 1、沿垂直于第一條河岸的方向平移、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點至點至AA1使使AA1=MN，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點（型兩點（A1、B點）和一條河建橋（點）和一條河建橋（PQ）2、利用基本問題的解決方法確定橋、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至至A2， 使使A1

15、A2=PQ.（2）連接）連接A2B交交A2的對岸的對岸Q點，在點處建橋點，在點處建橋PQ.3、確定、確定PQ的位置，也確定了的位置，也確定了BQ和和PQ，此時問題，此時問題可轉(zhuǎn)化為由可轉(zhuǎn)化為由A點、點、P點和第一條河確定橋點和第一條河確定橋MN的位置的位置.連接連接A1P交的對岸于點，在點處建橋交的對岸于點，在點處建橋問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把點、，使點、，使，；連接交于點相鄰連接交于點相鄰河岸于點，建橋；河岸于點，建橋；連接交的對岸連接交的對岸于點，建橋；于點，建橋；從點到點的最短路徑從點到點的最短路徑為為MMN思維方法二思維方法二 沿垂直于第一條河岸方沿垂

16、直于第一條河岸方向平移點至點，沿向平移點至點，沿垂直于第二條河岸方向平移垂直于第二條河岸方向平移點至點，連接點至點，連接A1B1 分別交分別交A、B的對岸于的對岸于N、P兩點，建橋兩點，建橋MN和和PQ.最短路徑最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.思維方法三思維方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B點平移至點平移至B、B，使，使BBPQ，BBMN；連接連接BA交于交于A點相鄰河點相鄰河岸于岸于M點，建橋點，建橋MN；連接連接BN交交B的對岸于的對岸于P點，建橋點，建橋PQ；從點到點的最短路徑從點到點的最短路徑為為MMNNP轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為AB2+

17、B2B1+B1B問題延伸二問題延伸二如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN、PQ和和GH.橋分別建在橋分別建在何處才能使從何處才能使從A到到B的的路徑最短？（假定河路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）橋要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB橋橋MN、PQ和和GH在中間，且方在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短”解決解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移問

18、題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有四種：三個橋長都平移平移的方法有四種：三個橋長都平移到到A點處；都平移到點處；都平移到B點處；點處；MN、PQ平移到平移到A點處；點處；PQ、GH平移到平移到B點處點處問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點平點平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點相鄰河岸于點相鄰河岸于H點，建橋點，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對岸的對岸的P點，建橋點，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對岸的對岸于于N點，建橋點

19、，建橋MN.此時從此時從A到到B點路徑最短點路徑最短.沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點平點平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點相鄰河岸于點相鄰河岸于H點，建橋點，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對岸的對岸的P點，建橋點，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對岸的對岸于于N點，建橋點，建橋MN.此時從此時從A到到B點路徑最短點路徑最短.問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點平移點平移至至A，使，使AAMN，平移，平移B點至點至B1、B2 ,使使BB1GH，B1B2 =PQ ；連接連接A1B