高二數(shù)學第九章三垂線定理課件 新課標 人教版

1、三垂線定理三垂線定理AaOP 已知已知 PA、PO分別分別是平面是平面 的垂線、斜的垂線、斜線，線，AO是是PO在平面在平面 上的射影。上的射影。a ，aAO。求證： aPO在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理AaOP證明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a三垂線定理三垂線定理： 在平面在平面內的一條直線，如果和這個平內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。么，它就和這條斜線

2、垂直。AaOP證明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aPCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一點，外一點， PA平面平面ABC ，AC BC， 求證：求證： PC BC證明：證明： P 是平面是平面ABC 外一點外一點 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜線的斜線 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂線定理得由三垂線定理得 PC BCM例2 直接利用三垂線定理證明下列各題：(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點求證：POBD，PCBD(3) 在正方體AC1中，求證：A1CB1

3、D1，A1CBC1(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點，求證：POBD，PCBDPOABCD證明:ABCD為正方形 O為BD的中點 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中點， 求證：BCAMBCAM證明: PB=PCM是BC的中點PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方體AC1中

4、，求證：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方體AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1證明： C B A1B1 C1A D D1同理可證， A1CB1D1由三垂線定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我們要學會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧解題回顧，怎么找？三垂線定理解題的關鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面 內的射影和平面內的 一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作為已知條件解題回顧解題回顧PA

5、OaPAOabcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：相交直線相交直線異面直線異面直線使用三垂線定理還應注意些什么？解題回顧解題回顧直線a 在一定要在平面內，如果 a 不在平面內，定理就不一定成立。PAOa例如：當 b 時， bOA注意：如果將定理中“在平面內”的條件去掉，結論仍然成立嗎？b但但 b不垂直于OP 解題回顧解題回顧若a是平面的斜線，直線b垂直于 a在平面內的射影，則 ab （ ）若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內的射影， 則 ab （ ）若a是平面的斜線，直線b 且b垂直于a在另一平面內的射 影則ab （ ）若 a是平面的斜線，

6、平面內 的直線b垂直于a在平面內的射 影，則 ab （ ）練習：判斷下列命題的真假：面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直線A1C 斜線 a直線AB 垂線 b面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bPAOal已知：PA，PO分別是平面 的垂線和斜線，AO是PO在平面 的射影，a , a AO，l 平行于 a 。求證： l 垂直于PO若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內的射影，則 abPAOa三垂線定理包含幾種垂直關系？三垂線定理包含幾種垂直關系？線射垂直PAOa線面垂直線斜垂直PAOa直 線 和平面

7、垂直平面內的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直PAOaPAOa平面內的一條直線和平面的一條斜線在平面內的射影垂直平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分別是平面 的垂線和斜線，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求證：a AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理三垂線定理： 在平面內的一條直線，如果

8、和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線射垂直 線斜垂直線斜垂直 定 理逆定理例3 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上。已知：BAC在平面內，點P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：BAO=CAO分析： 要證 BAO=CAO只須證OE=OF, OEAB,OFACP C B A O F E ?證明： PO OE、OF是PE、PF在內的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEAB OEAB同理可得OFAC結論成立例4 在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD求證：ADBCDOBC，于是ADBC.證明：作AO平面BCD于點O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，1. 在正方體AC1中，E、G分別是AA1和CC1的中點， F在AB上，且C1EEF，則EF與GD所成的角的大小為（ ）(A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1內的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG練習與作業(yè)2.已知 PA、