垂徑定理學案、教學設計

1、24.1.2垂直于弦的直徑導學案廣水市實驗中學 張運才【學習目標】1.理解圓的軸對稱性2.理解垂徑定理及其推論，并能應用它們解決有關弦的計算和證明問題【學習重點】垂直于弦的直徑的性質(zhì)、推論以及證明【學習難點】利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決實際問題【學習過程】【我能行】學生自學課本80-P81，按照提示思考下面問題： （一）情景導入：觀看趙州橋視頻。聰明的同學們，你能求出趙州橋橋拱所在圓的半徑嗎？（二）自主探究：先自主探究，后小組交流。探究一：把一個圓沿著它的任意一條直徑所在的直線對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得出什么結論？我發(fā)現(xiàn)：（1）把圓紙片沿著它的任意一條直徑所在的直線對折疊時，兩個

2、半圓 （2）上面的實驗說明：圓是_ _，對稱軸是經(jīng)過圓心的每一條_ _圓有 條對稱軸探究二：請同學們按下面的步驟做一做：第一步，把一個O對折，使圓的兩半部分重合，得到一條折痕CD；第二步，在O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，再沿垂線折疊，得到新的折痕，其中點E是兩條折痕的交點，即垂足；第三步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，畫出折痕AB、CD觀察你所折紙片：（1）在上述的操作過程中，由圓的軸對稱性你能得到哪些相等的線段和相等的弧？（2）你能用一句話概括上述結論嗎？（3）請作出圖形并用符號語言表述這個結論 練習： 如下圖，哪些能使用垂徑定理？為什么？【交流學】先獨立完成，后小組交流。1

3、.垂徑定理結構：條件：直徑CD過圓心O  CDAB    結論： AE=BE 弧AC= 弧BC 弧AD=弧BD.如果交換定理的題設和結論的部分語句，如 作為題設， 作為結論，命題成立嗎？例如在O中，CD是直徑，AB是的弦，CD與AB交于點E.如果AE=BE，那么CD與AB垂直嗎？ 注意分情況討論：（1）若AB是O的直徑，CD與AB垂直嗎？為什么？（2）若AB不是O的直徑，CD與AB垂直嗎？為什么？思考：你能用一句話概括上述結論嗎？ 推論： 如果交換定理的題設和結論的部分語句，會有一些什么樣的新結論呢？它們成立嗎？發(fā)現(xiàn)： 2.解決問題：同學們，現(xiàn)在能求出趙

4、州橋所在圓的半徑了嗎？ 如圖，用表示主橋拱，設 所在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與 相交于點D，根據(jù)前面的結論，D 是AB 的中點，C是AB 的中點，CD 就是拱高你能求出半徑R嗎？COEDAB3典型例題：如圖，D是O的弦BC的中點，A是O上一點，OA與BC交于點E，已知AO=8，BC=12.（1）求線段OD的長；（2）當EO=BE時，求ED的長. 【學后思】（一）課堂小結：同學們，通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲?（二）鞏固練習1判斷下面的論述是否正確（在相應的題號后面正確的標“”錯誤的標或“×” ）垂直于弦的直線平分這條弦（ ）平分弦的直線

5、，平分弦所對的這條?。?）垂直于弦的直徑平分這條弦（ ）平分弦的直徑垂直于這條弦（ ）2.如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑【師生評】（一）課后作業(yè)：1.教材89頁習題24.1第9、12題2.拓展練習：(1) 教材89頁習題24.1第10題 (2)直線AB與O交于C、D兩點，且OAOB AC與BD相等嗎？說說你的理由 （二）課后反思課 題：24.1.2垂直于弦的直徑 廣水市實驗中學 張運才教學目標1.知識目標： (1) 經(jīng)歷折紙活動使學生理解圓的軸對稱性； (2)掌握垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)； (3)能夠運用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決有關的證明和計算問題2

6、.能力目標：在探索問題的過程中培養(yǎng)學生的動手操作能力、觀察能力、分析能力，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學生獨立探索、相互合作交流的精神.3. 情感目標：經(jīng)歷將已學知識應用到未學知識的探索過程，發(fā)展學生的數(shù)學思維，使學生領會數(shù)學的嚴謹性，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和積極參與的主動精神教學重點垂直于弦的直徑的性質(zhì)、推論以及證明教學難點利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決實際問題教學方法創(chuàng)設情境啟發(fā)探究合作交流應用提高教學手段多媒體投影、計算機輔助教學，自制教具實驗輔助.教學過程設計教師活動學生活動設計意圖一、情境導入:引入：在1400多年前，隋朝的石匠李春設計和參加建造了一座世界聞名的橋趙

7、州橋.請同學們觀看一段視頻，這段視頻中藏有一數(shù)學問題，請同學們認真觀看.播放趙州橋簡介視頻.問題：你能求出趙州橋主橋拱所在圓的半徑嗎？二、自主探究:【自主探究一】用紙剪一個圓（課前準備好若干個），沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？教師引導學生歸納圓的軸對稱性，注意學生語言的準確性和簡潔性.【自主探究二】請同學們按下面的步驟做一做：第一步，把一個O對折，使圓的兩半部分重合，得到一條折痕CD；第二步，在O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，再沿垂線折疊，得到新的折痕，其中點E是兩條折痕的交點，即垂足；第三步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，畫出折痕AB

8、、CD如圖教師提出以下問題：（1）在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的??？（2）你能用一句話概括上述結論嗎？（板書定理內(nèi)容）（3）你能用符號語言表達這個結論嗎？（板書）引導學生對定理的文字敘述、符號語言進行條件和結論的劃分（兩個條件推出三個結論）練習：如下圖，能否得到AE=BE的結論？為什么？【合作交流】教師引導學生分析垂徑定理結構：條件：直徑CD過圓心O  CDAB 結論: AE=BE 弧AC= 弧BC 弧AD=弧BD.如果交換垂徑定理的題設和結論的部分語句，會有一些什么樣的新結論呢？它們成立嗎？從學生組合的新結論中挑選出：條件：直徑CD過圓心O 

9、  AE=BE結論：CDAB = =. 進行探討、交流，看結論是否成立.探究：如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），CD與AB交于點E.如果AE=BE，那么CD與AB垂直嗎？如果弦AB是直徑，結論還成立嗎？思考：你能用一句話概括上述結論嗎？三、學以致用：回到情境引入中求趙州橋主橋拱所在圓的半徑問題：1解決問題:如圖，用表示主橋拱，設 所在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與AB 相交于點D，根據(jù)前面的結論，D 是AB 的中點，C是的中點，CD 就是拱高半徑R即為所求（幻燈片展示解題過程）COEDAB2典型例題：如圖，D是O的弦BC的

10、中點，A是O上一點，OA與BC交于點E，已知AO=8，BC=12. （1）求線段OD的長；（2）當EO=BE時，求ED的長.四、課堂小結：學生歸納本節(jié)課的收獲；五、鞏固練習：1：判斷下面的論述是否正確（在相應的題號后面正確的標“”錯誤的標或“×” ）圓的每一條直徑都是它的對稱軸（ ）垂直于弦的直線平分這條弦（ ）平分弦的直徑垂直于這條弦（ ）平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦（ ）2：如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑 六、課后作業(yè)：1.教材89頁習題24.1第9、12題2.拓展練習：（1） 教材89頁習題24.1第10題 （2）如圖，直線AB

11、與O交于C、D兩點，且OAOB AC與BD相等嗎？說說你的理由 七、板書設計：24.1.2垂直于弦的直徑一、圓的對稱性：二、垂徑定理： 定理內(nèi)容： 圖形： 符號語言： 推論：三、例題：四、小結：學生觀看視頻，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題.【探究1】學生通過動手操作，觀察操作結果，可以發(fā)現(xiàn)沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合由此可以發(fā)現(xiàn)圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸或經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸【探究2】學生通過動手操作，觀察操作結果，在老師的引導下，小組合作，分析、歸納歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)練習旨在熟練垂徑定理的基本模型【合作交流】學生在教師的引導下，小組合作探討，分析

12、、歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)推論.老師引導學生畫出圖形，用垂徑定理的基本模型解決問題.學生在教師的引導下理解拱高老師引導學生結合圖形，分析利用垂徑定理的基本模型解決問題的方法.學生思考、歸納總結本節(jié)課的收獲鞏固練習由小組所有成員共同完成，完成后小組交流展示鞏固練習1旨在讓學生熟練掌握圓的對稱性、垂徑定理及其推論鞏固練習2旨在讓學生熟練垂徑定理的運用課后作業(yè)第1題為課后作業(yè)，學生課后完成第2題為拓展練習，供學有余力的同學鉆研，其中（1）題應用垂徑定理求出弦心距，從而求出兩平行線間的距離.注意考慮弦在圓心同側(cè)和異側(cè)兩種情況，滲透分類討論的思想.課堂若有時間可作為課堂中的拓展練習.激發(fā)學生探索垂徑定理

13、的興趣.通過【探究1】探索圓的對稱性，為【探究2】探索垂徑定理做準備.通過【探究2】學生動手操作，觀察操作結果，教師通過層層遞進的提問，引導學生探究出垂直于弦的直徑的性質(zhì)，并讓學生在合作探究中對垂徑定理的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言的相互轉(zhuǎn)化進行探究，形成整體，進而熟練掌握.這樣設計培養(yǎng)了學生的觀察能力和歸納、概括的思維能力，并使學生領略到圓的對稱美，同時發(fā)展了學生的符號感，分化了難點【合作交流】垂徑定理的推論較多且為考察的重點，本節(jié)主要探究垂徑定理及其推論的內(nèi)容和應用通過以上三個探究活動，學生經(jīng)歷了實際抽象、猜想探索、一般驗證的探究過程，實現(xiàn)了從特殊到一般的思維跨越通過解決這一數(shù)學實際問題，使學生感受數(shù)學的靈活與精巧，體會垂徑定理中蘊含的歷史和文化培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學生合作交流的精神.讓學生通過歸納總結，使知識點有機的結合在一起，培養(yǎng)他們思維的