理論力學(xué) (2)ppt課件

1、1第十一章第十一章 動(dòng)動(dòng) 量量 矩矩 定定 理理211-1 11-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對點(diǎn)對點(diǎn) O 的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩()OMmvrmv對對 z z 軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩()()zOxyMmvMmv代數(shù)量代數(shù)量, ,從從 z 軸正向看軸正向看, ,逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正, ,順時(shí)針為負(fù)順時(shí)針為負(fù). .vmr)( vmMO)( vmMz()()OzzMmvMmv31()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMm v 2 2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 對點(diǎn)的動(dòng)量矩對點(diǎn)的動(dòng)量矩 對軸的動(dòng)量矩對軸的動(dòng)量矩O zzLLOxyzLL iL jL k

2、即即 （1 1） 剛體平移剛體平移()zzCLM mv()OOCLM mv二者關(guān)系二者關(guān)系（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zzJL 4dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 11-2 11-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)設(shè)O為定點(diǎn)為定點(diǎn), ,有有d()( )dOOMmvMFtFv0 質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù), ,等于作用力對同一點(diǎn)的矩等于作用力對同一點(diǎn)的矩. .質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理d

3、()( )dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式投影式:5ddd()()dddOOi iOi iLMmvMmvttt(e)d()dOOiLMFt 質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和.(i)(e)d()()()dOiiOiOiMmvMFMFt(i)(e)d()()()dOi iOiOiMmvMFMFt2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理0質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理(e)d()dxxiLM Ft(e)d()dy

4、yiLMFt 投影式投影式: :(e)d()dzziLMFt 問題：內(nèi)力能否改變質(zhì)問題：內(nèi)力能否改變質(zhì) 點(diǎn)系的動(dòng)量矩？點(diǎn)系的動(dòng)量矩？63 3動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律若若 則則 常量。常量。(e)()0zMFzL 有心力：力作用線始終通過某固定點(diǎn)有心力：力作用線始終通過某固定點(diǎn), , 該點(diǎn)稱力心該點(diǎn)稱力心. .( )0OMF ()M mvrmv 常矢量常矢量若若 (e)()0OMFOL 則則 常矢量常矢量, ,面積速度定理：面積速度定理：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒. .(1) (1) 與與 必在一固定平面內(nèi)必在一固定平面內(nèi), ,即點(diǎn)即點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面

5、曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線. .rvd(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drrAddAt因此因此, , 常量常量面積速度面積速度7思考：誰先到達(dá)頂部？思考：誰先到達(dá)頂部？8(e)sinOMMmgRRmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa 已知：已知： , ,小車不計(jì)摩擦小車不計(jì)摩擦. .,MJRma求求: :小車的加速度小車的加速度 . .RvmJLO解解: :Rvatvdd由由 , ,得得例例11-111-19已知：已知： , , , , , , , , , , ,不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦. .mOJ1m2m1r2r求求: :（1 1）NF （2）O 處約束力處約

6、束力 （3 3）繩索張力）繩索張力 ，1TF2TF例例11-211-210)(222211rmrmJO(e)1 12 2()()OMFm rm r g2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由由 , ,得得(e)d()dOOLMFt 222111rvmrvmJLOO解：解：(1)(1) （2 2）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理CyammmgmmmF)()(2121NNF11212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 1111T11rmamFgm)(11T1rgmF)()(221121NrmrmgmmmF （3 3） 研究研究1m22222T2r

7、mamgmF)(22T2rgmF2m（4 4） 研究研究12求：剪斷繩后求：剪斷繩后, , 角時(shí)的角時(shí)的 . .已知：兩小球質(zhì)量皆為已知：兩小球質(zhì)量皆為 , ,初始角速度初始角速度 。m0例例11-311-313020221maamaLz2)sin(22lamLz時(shí)時(shí), ,00 時(shí)時(shí), ,202)sin(laa12zzLL解：解：14 11-3 11-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程12,nF FF主動(dòng)力主動(dòng)力: :d()()()dizzizNJMFMFt ()ziMF d()dzziJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程約束力約

8、束力: :21NN,FF15已知：物理擺（復(fù)擺），已知：物理擺（復(fù)擺）， 。求：微小擺動(dòng)的周期求：微小擺動(dòng)的周期 。aJmO,例例11-411-41622dsindOJmgat 解：解：sin微小擺動(dòng)時(shí)，微小擺動(dòng)時(shí)，mgatJO22dd0dd22OJmgat即：即：)sin(tJmgaOO通解為通解為 稱角振幅，稱角振幅， 稱初相位，由初始條件確定稱初相位，由初始條件確定. .OmgaJTO2周期周期17求：制動(dòng)所需時(shí)間求：制動(dòng)所需時(shí)間 . .t已知：已知： ，動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù) 。RFJNO,0f例例11-511-500N0ddtOJfF R t0NOJtfF RNddOJFRf

9、 F Rt解：解：181111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM21121221,MMRRiJJ1已知已知： 。 求：求： 。解：解：ttFF 121221RRi因因 ， ，得，得例例11-611-61921nziiiJm r 11-4 11-4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1. 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算(1)(1)均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得20420(2d)24ROAARJrr r222mRmRRmJiiz（2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的

10、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2diiiAmr r（3 3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2AmR式中：式中：221mRJO 或或212. 2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） mJzz2zzmJ或或2CzzJJmd3 3平行軸定理平行軸定理Czdzz 式中式中 軸為過質(zhì)心且與軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為Cz與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積動(dòng)慣量，加上

11、剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積. .222211()CziJm xy )(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(證明證明：2CzzJJmd0234 4組合法組合法OJ 求求： .ld已知：桿長為已知：桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 . .1m2m盤桿OOOJJJ231mlJO桿2222)2()2(21dlmdmJO盤)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解：解：2421JJJz2222112121RmRm 解：解：222mR l211mR l其中其中2212 ()l RRm由由 ，得，

12、得)(212221RRmJz44121 ()2zJl RR222212121 ()()2l RRRR21,RRm已知：已知： 。zJ 求求 ： . .255 5實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法思考：如圖所示復(fù)擺如何確定對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？思考：如圖所示復(fù)擺如何確定對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 O上，作微幅擺動(dòng)上，作微幅擺動(dòng). .mglJT2由由lm,TJ其中其中 已知已知, , 可測得，從而求得可測得，從而求得 . .266. 6. 查表法查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄壁圓筒薄壁圓筒細(xì)直桿細(xì)直桿體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡簡 圖圖物體的形狀物體的形狀212lmJCz23

13、lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh227薄壁空心薄壁空心球球空心圓柱空心圓柱圓柱圓柱)3(1221222lRmJJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh2328圓環(huán)圓環(huán)圓錐體圓錐體實(shí)心球?qū)嵭那?25zJmRRz52334R2223103(4)80zxyJmrJJmrl)4(80310322lrryxz23r l223()4zJm Rr2243rRz222 r R29矩形薄板矩形薄板長方體長方體橢圓形薄橢圓形薄板板2222()444zyymJabmJamJb222122babayxzabh22222

14、2()12()12()12zyymJabmJacmJbc)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc2222()121212zyymJabmJamJbbabayxz289. 0289. 0)(12122abh3011-5 11-5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1 1對質(zhì)心的動(dòng)量矩對質(zhì)心的動(dòng)量矩CCi iii iLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvCiiCiiirLrmvrmv( )0iiCiiCrmvm rvxyz x y zCCrOimiriririivmr?0()OCiiLrrmv)CiiiirmvrmvCvmCLOCCCLrmv

15、L31 eddddOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 eeCiiirFrFddddddCCCCCrLmvrmvtttxyz x y zCCrOimirirCv0( )eiF eddCiiLrFt ed()dCCiLMFt質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩對質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的主矩外力對質(zhì)心的主矩. .32思考：如何實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？思考：如何實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？動(dòng)量矩守恒定律實(shí)例動(dòng)量矩守恒定律實(shí)例航天器中反作用輪姿態(tài)航天器中反作

16、用輪姿態(tài)控制系統(tǒng)示意簡圖控制系統(tǒng)示意簡圖33例例11-711-7已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，沿地面純滾動(dòng)，角速度，沿地面純滾動(dòng)，角速度 為為 。求：圓盤對求：圓盤對A、C、P三點(diǎn)的動(dòng)量矩。三點(diǎn)的動(dòng)量矩。CAP34CAP解：解：點(diǎn)點(diǎn)C為質(zhì)心為質(zhì)心22mRJLCC點(diǎn)點(diǎn)P為瞬心為瞬心232mRJLPP或或2321222mRmRmRLRmvLCCP2) 12(212222222mRmRmRLRmvLCCA是否可以如下計(jì)算：是否可以如下計(jì)算：23)(22mRmRJJLCAA35 ee()CCCmaFJMF 2e22e2ddd()dCCCrmFtJMFt11-6 11-6

17、 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)隨質(zhì)心平移隨質(zhì)心平移繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)投影式：投影式： eee()CxxCyyCCmaFmaFJMF etene()CtCnCCmaFmaFJMF 以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程. .36已知：半徑為已知：半徑為r ，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，如圖所示的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，如圖所示. .設(shè)輪的慣性半徑設(shè)輪的慣性半徑為為 ，作用于輪的力偶矩為，作用于輪的力偶矩為M . .求輪心的加速度求輪心的加速度. .如果圓輪對地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為如果圓輪對地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f ，問力偶

18、問力偶M 必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)? ?C例例11-811-8M37解：解：N2CxCyCmaFmaFmgmMFr 2222N,CCCCF rMraMrmrFmaFmg純滾動(dòng)的條件：純滾動(dòng)的條件：sNFf F即即22sCrMf mgrCa0Car38已知：均質(zhì)圓輪半徑為已知：均質(zhì)圓輪半徑為r 質(zhì)量為質(zhì)量為m ，受到輕微擾動(dòng)后，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為在半徑為R R 的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示. .設(shè)表面足夠設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng)粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng). . 求求: :質(zhì)心質(zhì)心C 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. .例例11-911-939tCart21, sin2CCaSJmr很小解解: :tsinCmaFmgCJFr cos2mgFrRvmNCrRs0dd2322srRgts)sin(00tssrRg3220, 00vss初始條件初始條件grRvs23,000運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為trRggrRvs32sin23040例例11-1011-10已知：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為已知：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，其上焊接，其上焊接剛桿剛桿OA，桿長為，桿長為r，質(zhì)量也為，質(zhì)量也為m。用手扶住圓環(huán)使其在。用手扶住圓環(huán)使其在OA水平位置靜止。設(shè)圓環(huán)與地面間為純滾動(dòng)。水平位置靜