mathmatica簡介

1、精品文檔Mathematica軟件簡介Mathematica是美國WolframResearch司開發(fā)的著名數(shù)學(xué)軟件，它的主要功能是給人們提供一個(gè)方便的數(shù)學(xué)計(jì)算平臺(tái)。了解并掌握它的各種功能，有利于激發(fā)我們學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣，能夠使復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)運(yùn)算方便、快捷，有助于我們學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)。一、Mathematica的主要功能1、符號(hào)運(yùn)算功能：Mathematica最突出的特點(diǎn)就是具有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能，能和人一樣進(jìn)行帶字母的運(yùn)算，得到精確的結(jié)果。符號(hào)運(yùn)算功能可以分成4大類：(1)初等數(shù)學(xué)：進(jìn)行各種數(shù)和初等函數(shù)式的計(jì)算與化簡。(2)微積分：求極限、導(dǎo)數(shù)(包括高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)等)、不定積分

2、和定積分(包括多重積分)，將函數(shù)展成省級(jí)數(shù)，進(jìn)行無窮級(jí)數(shù)求和及積分變換。(3)線性代數(shù)：進(jìn)行行列式的計(jì)算、矩陣的各種運(yùn)算（加法、乘法、求逆矩陣等）、解線性方程組、求特征值和特征向量、進(jìn)行矩陣分解。（4）解方程組：解各類方程組（包括微分方程組）。2、數(shù)值計(jì)算功能：可以做任意位數(shù)的整數(shù)或分子分母為任意大整數(shù)的有理數(shù)的精確計(jì)算，做具有任意位精度的數(shù)值（實(shí)、復(fù)數(shù)）計(jì)算。Mathematica具有眾多的數(shù)值計(jì)算函數(shù)，能滿足線性代數(shù)、插值與擬合、數(shù)值積分、微分方程數(shù)值解、求極值、線性規(guī)劃及概率統(tǒng)計(jì)等方面的常用計(jì)算需求。3、 繪圖功能：能繪制各種二維平面圖形與全方位的三維立體彩色圖形，自動(dòng)化程度很高。4、編

3、程功能：用戶可以自己編寫各種程序（文本文件），開發(fā)新的功能。二、基本知識(shí)1、 啟動(dòng)與運(yùn)行方法Mathematica作為標(biāo)準(zhǔn)的Windows程序，其啟動(dòng)方_JEiJsELC*L1工通口1的ru*l:FiM力y*lpion式與Windows下其它程序的啟動(dòng)方式一樣。啟動(dòng)后出現(xiàn)的Mathematica界面如圖1所示。Mathematica的界面由工作區(qū)窗口、基本圖1輸入模板和主菜單組成。左邊為工作窗口區(qū)，可以直接輸入函數(shù)或命令；工作區(qū)窗口右邊的是基本輸入模板，由一系列按鈕組成；圖上方所示的是主菜單。當(dāng)輸入完算式后按Shift+Enter鍵或Insert鍵執(zhí)行計(jì)算，而“Enter”鍵可以用來換行。如果

4、執(zhí)行運(yùn)行后長時(shí)間沒有完成計(jì)算，可以通過“Alt+空格鍵，”或“Alt+.”來強(qiáng)制停止計(jì)算。2、變量Mathematica中的變量名是以字母開頭并由字母或數(shù)字組成的字符串（長度不限），不能含有空格或標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，大寫與小寫字母用于表示不同的變量。一個(gè)變量可以表示各種類型的數(shù)或字符串，也可以表示一個(gè)算式。與C語言不同，不必事先聲明變量的類型，Mathematica會(huì)根據(jù)用戶給變量所賦的值自動(dòng)處理。使用等號(hào)給變量賦值，具體格式如下：x=Value給x賦值。x=y=Value同時(shí)給x,y賦相同的值。x,y,=Value1,Value2，同時(shí)給x,y,賦不同的值。為了避免隱蔽的錯(cuò)誤，應(yīng)該及時(shí)清除不再使用的變

5、量，這時(shí)可以用“Clear”命令，格式為“Clear變量名”；或者可以用“x=.”清除變量x的值。每次運(yùn)行結(jié)束后，Mathematica會(huì)自動(dòng)在輸入的式子前面加上Inn:=（n表示輸入命令的序列號(hào)），在輸出的答案前面加上“Outn=（n表示輸出結(jié)果的序列號(hào)），以便分清輸入和輸出并自動(dòng)加上編號(hào)?？梢杂谩啊北硎厩耙粋€(gè)輸出的內(nèi)容，“%”表示倒數(shù)第2個(gè)輸出的內(nèi)容，依此類推，“n”表示第n個(gè)（即Outn）輸出的內(nèi)容。也就是說Mathematica輸出的內(nèi)容被系統(tǒng)記憶，它們可以像其它變量一樣在后面的計(jì)算中引用。除了自定義的變量外，系統(tǒng)還有幾個(gè)特殊變量?！焙蚭分別用專用字符Pi和E表示，I表示虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

6、用a+bI表示。Infinity表示無窮大，-Infinity表示這些特殊字符也可以由基本輸入模板的特殊字符按鈕輸入。3、數(shù)和算術(shù)表達(dá)式Mathematica以符號(hào)運(yùn)算為主，這與一些語言有所不同，例如n,e；,V2等符號(hào)表示準(zhǔn)確數(shù)，近似數(shù)用帶小數(shù)3點(diǎn)的數(shù)表示，例如1.2,2.3*10人5等。Mathematica中求近似值以及近似值的精度控制函數(shù)為函數(shù)“N”，其調(diào)用格式如下：N表達(dá)式計(jì)算表達(dá)式的近似值，具有機(jī)器規(guī)定的精度（16位有效數(shù)字），但是按標(biāo)準(zhǔn)輸出只顯示前6位有效數(shù)字，可以使用函數(shù)NumberFormReal,n規(guī)定實(shí)數(shù)的顯示位數(shù)n。N表達(dá)式，數(shù)字位數(shù)指定計(jì)算表達(dá)式的具有任意數(shù)字位數(shù)的近

7、似值（指定的數(shù)字位數(shù)應(yīng)該大于16）,結(jié)果在末位后是四舍五入的。常量和變量用算術(shù)運(yùn)算符連接而成的式子稱為算術(shù)表達(dá)式。表達(dá)式按照與常規(guī)相同的優(yōu)先級(jí)自左向右執(zhí)行計(jì)算。在運(yùn)算中運(yùn)用的標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必須是英文的，不能用中文的標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，“；”表示運(yùn)算但不顯示結(jié)果。Mathematica中和、差、積、商、乘方運(yùn)算分別用相應(yīng)的鍵“+”、-、或空格、“/”、來表示，也可通過基本輸入模板來輸入。用“/.”可以進(jìn)行變量替換，變量替換是求算式的值而不改變算式本身，例如輸入命令：p=xA2+2xy+yA2;p/.xf1運(yùn)行結(jié)果可得：1+2y+y2,此運(yùn)算是把表達(dá)式中的x換為1但不改變變量p。若要替換兩個(gè)變量，鍵入p/.x1,

8、y-2即可。4、 內(nèi)部函數(shù)Mathematica支持所有的常用的數(shù)學(xué)函數(shù)，下面介紹一些簡單而又常用的數(shù)學(xué)函數(shù)。Sinx正弦函數(shù)Cosx余弦函數(shù)Tanx正切函數(shù)Cotx余切函數(shù)Secx正割函數(shù)Cscx余割函數(shù)ArcSinx反正弦函數(shù)ArcCosx反余弦函數(shù)ArcTanx反正切函數(shù)ArcCotx反余切函數(shù)Expx表示exSqrtx表示VXLogx表示lnx（一般以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)用Loga,x表示）Absx求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值或復(fù)數(shù)的模Signx符號(hào)函數(shù)Maxxi,x2，一組數(shù)的最大值Minxi,x2,一組數(shù)的最小值。n!求n的階乘Binomialn,k求ckMathematica系統(tǒng)函數(shù)的書寫規(guī)則很嚴(yán)

9、格，務(wù)必注意以下幾點(diǎn)：(1)函數(shù)名的首字符用大寫，后面的字符一般用小寫，當(dāng)函數(shù)名分成幾段時(shí)，每段的首字符應(yīng)大寫，函數(shù)名中不能含有空格。(2)參數(shù)用方括號(hào)括起來，不能用圓括號(hào)，Mathematica認(rèn)為圓括號(hào)表示相乘。5、表表是存儲(chǔ)多個(gè)數(shù)、變量或算式等對(duì)象的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。一個(gè)表用一對(duì)花括號(hào)表示，它的成員在括號(hào)內(nèi)用逗號(hào)隔開，同一個(gè)表的成員可以有不同的數(shù)據(jù)類型，表的成員還可以是一個(gè)表(子表)?？梢杂谩皌n”來提取表t中的第n個(gè)元素。Mathematica中常用的建表函數(shù)是“Table”，其調(diào)用格式如下：Tablef,i,imin,imax,stepi,j,jmin,jmax,stepj表的通項(xiàng)為f(

10、f是變量i和j的函數(shù))，min,max,step規(guī)定了初值、終值、步長，min和step的默認(rèn)值為1。用“Table”構(gòu)成的函數(shù)集常常不具備可計(jì)算性，這時(shí)可以用“Evaluate”命令把它轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算，其命令格式為：EvaluateTable工。三、基本代數(shù)運(yùn)算下面介紹一些實(shí)現(xiàn)基本代數(shù)運(yùn)算的函數(shù)，用于變換數(shù)學(xué)表達(dá)式、解方程和解不等式。前面說過，Mathematica具有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能，下面列舉的函數(shù)均可代入具有字母的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，得到精確解。Simplifyexpr將表達(dá)式變換化簡Factorexpr對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解Collectexpr,x將表達(dá)式expr中x的同次曷合并這兩個(gè)函E

11、xpandexprExpandAllexpr數(shù)可用于乘積的展開，也可以展開分式。后者展開得更徹底，前者展開分式時(shí)只展開分子，而后者將分子、分TogetherexprCancelexpr分母的公因式Apartexpr分式的和母都進(jìn)行展開對(duì)表達(dá)式進(jìn)行通分約去表達(dá)式的分子、將有理式分解為最簡PolynomialQuotientp1,p2,x求x的多項(xiàng)式pl被p2除的商PolynomialRemainderp1,p2,x求x的多項(xiàng)式pl被p2除的余式PolynomialGCDp1,p2,工求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。PolynomialLCMp1,p2,工求多個(gè)多項(xiàng)式的最小公倍式。Solveeqns,v

12、ars求方程（組）的全部解。Reduceeqns,vars討論系數(shù)出現(xiàn)的各種可能情況，分別求解。FindRooteqn,x,x0數(shù)值求解（x0附近的解）NSolveeqns,vars求代數(shù)方程（組）的全部數(shù)值解。Eliminateeqns,elims從一組等式中消去變量（組）elims注意：在Mathematica中符號(hào)“二”用于給變量賦值，而方程中的等號(hào)使用符號(hào)“=表示。若是針對(duì)方程組的運(yùn)算，則方程組用花括號(hào)括起來，各個(gè)方程用逗號(hào)分隔，未知量也是如此。四、繪圖1、點(diǎn)圖的繪制用一個(gè)表給出點(diǎn)列中各點(diǎn)的坐標(biāo)，用函數(shù)“ListPlot”可以繪制這些點(diǎn)列的圖形，其調(diào)用格式為：ListPloty1,y2

13、,畫出點(diǎn)又t(1,y1),(2,y2),ListPlotx1,y1,x2,y2,畫出點(diǎn)又t(x1,y1),(x2,y2),其中“數(shù)集y1,y2,-”也可以由“Table”命令產(chǎn)生。如果要把相鄰點(diǎn)用直線連接起來可加選項(xiàng)“PlotJoined-*True”，其默認(rèn)值是“False，即不連接。2、一元顯函數(shù)圖形的繪制在平面直角坐標(biāo)系中繪制函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b的圖形是函數(shù)“Plot”，其調(diào)用格式為：Plotf(x),x,a,b,選項(xiàng)。同時(shí)繪制多個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：Plotfi（x）,f2（x）,x,a,b,選項(xiàng)。作圖命令“Plot”可帶很多選項(xiàng)，現(xiàn)對(duì)常用的一些選項(xiàng)介紹如下：PlotRange作

14、圖區(qū)域，格式為：PlotRange-因變量最小值,因變量最大值;PlotRange-自變量最小值,自變量最大值,因變量最小值，因變量最大值PlotRangeAll（表示顯示所有點(diǎn)）PlotPoints采樣點(diǎn)數(shù)（默認(rèn)值為25）,格式為:PlotPointst點(diǎn)數(shù)AxesLabel指定坐標(biāo)軸的名稱，格式為：AxesLabel-橫軸名稱,縱軸名稱GirdLines在圖形上畫橫豎線，格式為：GirdLines-*Automatic（表示在每個(gè)記號(hào)處畫線）GirdLines(橫軸方向畫線處,縱軸方向畫線處AspectRatio指定圖形顯示的高與寬的比例，格式為：AspectRatio-*值；Aspect

15、Ratio-Automatic(表示高寬比由計(jì)算機(jī)根據(jù)圖形實(shí)際尺寸確定)3、參數(shù)方程所確定的曲線圖形的繪制使用“ParametricPlot”命令，基本用法為：ParametricPlotxt,yt,t,tmin,tmax,選項(xiàng)選項(xiàng)基本與“Plot”的相同。同理可得由參數(shù)方程確定的空間曲線的繪圖命令“ParametricPlot3D”的調(diào)用格式。4、函數(shù)z=f(x,y)的立體圖形的繪制使用“Plot3D”命令，基本用法為：Plot3Dfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax,選項(xiàng)作圖命令Plot3D”也有很多選項(xiàng)，一些常用選項(xiàng)如表1所不。選項(xiàng)默認(rèn)值說明AxesTrue是否回小標(biāo)

16、軸AxesLabelNone是否在坐標(biāo)軸上加標(biāo)注BoxedTrue是否繪制外框MeshTrue是否在圖形表面加上網(wǎng)格線PlotRangeAutomaticZ方向的繪圖范圍ShadingTrue表面上不著色ViewPoint1,3,-2,4,2觀測(cè)點(diǎn)PlotPoints15在x和y方向取樣點(diǎn)表15、參數(shù)方程所確定的曲面圖形的繪制因此宜接由于在曲面的顯示方程作圖時(shí)，Mathematica要求在自變量范圍內(nèi)（矩形區(qū)域）每一點(diǎn)處都計(jì)算其函數(shù)值，而這些值的計(jì)算在曲面邊界處常會(huì)引起困難，用顯函數(shù)形式繪制曲面時(shí)經(jīng)常得不出理想的圖形，這時(shí)可選取合適的參數(shù)方程來作曲面的圖形。作參數(shù)方程x=x(u,v),y=y(

17、u,v),z=z(u,v)(uUmin,umax,v_vmin,vmax)所確定的曲面圖形的命令格式為：ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,umin,umax,v,vmin,vmax,選項(xiàng)其選項(xiàng)基本與“Plot3D”的相同。6、圖形的存儲(chǔ)、重畫與重疊可對(duì)已作的圖形以一個(gè)變量存儲(chǔ)，例如存儲(chǔ)T,n內(nèi)sinx的圖形為變量t,則鍵入t=PlotSinx,x,-Pi,Pi。可用命令“Show”在同一坐標(biāo)內(nèi)畫出已存儲(chǔ)的圖形t1,t2,t3,其調(diào)用格式為：Showt1,t2,t3五、微積分運(yùn)算Mathematica提供了進(jìn)行微積分運(yùn)算的基本函數(shù)：微分、極限、積分、求和及泰勒級(jí)數(shù)

18、展開，下面我們分別進(jìn)行介紹。1、微分在Mathematica中，能方便地計(jì)算任意函數(shù)表達(dá)式的任意階與數(shù)（或偏與數(shù)），微分操作函數(shù)見表2。函數(shù)名稱函數(shù)功能說明Df,x關(guān)于x的偏微分Df,x1,x2,關(guān)于x1,x2等的偏微分Df,x,n關(guān)于x的n階偏微分Dtf函數(shù)的全微分Dtf,x關(guān)于自變量x的全微分表22、積分積分主要包括包括不定積分、定積分以及重積分在Mathematica中，積分主要通過命令I(lǐng)ntegrate來完成，主要操作格式見表3函數(shù)名稱函數(shù)功能說明Integratef,x計(jì)算不定積分Jf(x)dxIntegratef,x,y計(jì)算不定積分dxf(x)dyIntegratef,xmin,x

19、max計(jì)算定積分xmaxf(x)dxLxminIntegratef,xmin,xmax,y,ymin,ymax計(jì)算定積分xmaxymaxdx|f(x)dyLxmin?yminNIntegratef,x,xmin,xmax計(jì)算定積分的近似值表3注意：對(duì)于分段函數(shù)或分區(qū)域函數(shù)，不能求其積分的精確值，但可求近似值，即再用“N”命令或用“integrate”命令；可以通過基本輸入模版來輸入偏導(dǎo)和積分命令。3、極限在Mathematica中，求數(shù)列或函數(shù)的極限主要通過命令Limit”來完成，它調(diào)用的主要格式有：Limitan,n屋求數(shù)歹Uan的極限Limitexpr,xx0求x趨向于x0時(shí)，expr的極

20、限Limitexpr,xx0,Direction.1求expr當(dāng)x趨向于x0時(shí)的右極限Limitexpr,xx0,Direction,-1求expr當(dāng)x趨向于x0時(shí)的左極限4、求和運(yùn)算與泰勒公式當(dāng)符號(hào)變量的和存在時(shí)，可以使用“Sum”函數(shù)進(jìn)行符號(hào)求和，其調(diào)用格式為：Sumexpr,n,n0,n1,n2對(duì)表達(dá)式中的n從n0以步長為n2求和至n1,步長n2缺省時(shí)默認(rèn)為1泰勒公式的展開格式為：Seriesexpr,x,x0,n（表示在x0點(diǎn)展開，階數(shù)為n）,而求函數(shù)的泰勒多項(xiàng)式格式為：NormalSeriesexpr,x,x0,n。注意：對(duì)泰勒多項(xiàng)式作圖時(shí)可使用“Evaluate”命令把它轉(zhuǎn)化為可運(yùn)

21、算的。5、求解微分皆程用Mathematica系統(tǒng)中，用函數(shù)“Solve”可以得到伎分皆程的精確解，用函數(shù)“NSolve”可以得到仗分方程的數(shù)值解，不過此時(shí)要給出求解區(qū)間，它們的命令格式如下：DSolveeqn,yx,x求解微分方程eqnDSolveeqn1,eqn2,y1x,y2x,x求解微分方程組NDSolveeqn,yx,x,xmin,xmax微分方程數(shù)值解注意：“NDSolve”命令會(huì)求出一個(gè)插值函數(shù)類型的近似解，是不可計(jì)算的，在作圖時(shí)可利用“Evaluate”命令把它轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的。六、編程基礎(chǔ)雖然Mathematica提供了大量的函數(shù)可供使用，但在實(shí)際應(yīng)用中，仍然經(jīng)常需要自己定義函

22、數(shù)或編寫程序，以完成特定的功能。作為一種開發(fā)工具，Mathematica提供了完整的條件判斷和各種控制循環(huán)語句，常用的語句與其它的高級(jí)語言很類似。1、自定義函數(shù)前面介紹了Mathematica本身自帶的內(nèi)置函數(shù)，下面我們以實(shí)例來說明定義函數(shù)的方法。例如，要定義函數(shù)f(x)=ex(sinx+1)+lnx2,我們只要鍵入命令fx_kExpx*(Sinx+1)+LogxA2運(yùn)行即可。要注意的是在函數(shù)的自變量后面有一個(gè)下劃線“_，這表示x為自變量，可以把x代入為任何的值進(jìn)行計(jì)算；等號(hào)前面的有個(gè)冒號(hào)，表示定義函數(shù)。同樣可以定義多變量函數(shù)。定義了函數(shù)fx后，可以直接地調(diào)用fx來進(jìn)行符號(hào)數(shù)學(xué)運(yùn)算(例如積分、微分等)。2、關(guān)系操作符與邏輯操作符3、條件結(jié)構(gòu)關(guān)系運(yùn)算符邏輯運(yùn)算符小于&與大于!非=大于等于=等于表4我們?cè)谟糜?jì)算機(jī)語言進(jìn)行編程時(shí)，常用到條件語句，Mathematica也提供了多種設(shè)置條件的方法，并規(guī)定只有在該條件滿足時(shí)才計(jì)算表達(dá)式。常用形式的條件結(jié)構(gòu)有：lhs:=rhsl/;test當(dāng)test為真時(shí)使用定義rshIftest,then,else如test為真計(jì)算then,反之計(jì)算elseWhichtest1,value1,test2,value2,依