1.2多元復合函數求導法則ppt課件

1、7-5 多元復合函數求導法則多元復合函數求導法則復習復習1. 重要關系重要關系:函數可導函數可導函數可微函數可微偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數連續(xù)函數連續(xù)2.多元函數全微分的求法；多元函數全微分的求法；dddzzzxyxy dddd .uuuuxyzxyz ，),(yxfz ),(zyxfu 第四節(jié)本節(jié)內容本節(jié)內容:一、全導數公式一、全導數公式二、偏導數公式二、偏導數公式多元復合函數的求導法則 第七章 三、全微分形式不變性三、全微分形式不變性設設y=f(u),而而),(xu 則復合函數則復合函數)( xfy 的導數的導數為為xuuyxydddddd 則則復復合合函函數數設設),(),(),(xvvu

2、ufy .ddddddddxvvuuyxy 的的導導數數為為)(xfy 問題問題:),(),( xxfy )(),(),(. 1xvxuvufy 復合而成，復合而成，那那么么? xy即即?dd xy),(),(),(. 2yxvyxuvufz 復合而成，復合而成，),(),( yxyxfz ? ?zzxy那那么么yux回憶：一元復合函數的求導法則回憶：一元復合函數的求導法則（鏈式法則）（鏈式法則）)(),(ttfz一、全導數公式一、全導數公式定理定理. 若函數若函數,)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續(xù)處偏導連續(xù), ),(vu在點在點在點 t 可導可導, ddddddzzu

3、zvtutvt則復合函數則復合函數且有鏈式法則且有鏈式法則zvut則有則有I.復合函數的中間變量均為一元函數的情形：復合函數的中間變量均為一元函數的情形：證證: 由已知由已知 可微可微),(vu在點),(vufz dddzzzuvuv又有又有 在點在點 t 處可導處可導 ( ),( )utvtddd ,ddduvdut dvttt則有則有代入：代入：ddddddduvtzzzuvtttddddddzzuvuttzvt dddddduvzzzutttv ( 稱為全導數稱為全導數)tvvztuuztzdddddd若定理中若定理中 說明: ),(),(vuvuf在點偏導數連續(xù)減弱為偏導數連續(xù)減弱為可

4、微可微, 則定理結論仍成立則定理結論仍成立.口訣口訣: : 同路相乘，異路相加同路相乘，異路相加. .ddztzvutn推廣推廣1：結論可推廣到中間變量多于兩個的情況結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如 xuuzdduvwxz 以上公式中的導數以上公式中的導數xzdd稱為全導數稱為全導數.),(wvufz ),(),(),(xwxvxu 那么那么 xvvzddxwwzdd xzddn推廣推廣2：結論還可推廣到兩個中間變量、：結論還可推廣到兩個中間變量、一個自變量的情況一個自變量的情況.( , ),zf x y 如：如：dzzz dydxxy dx xyxz( )yx 那么那么,sin,34

5、2xveuuvvuzx .ddxz解解xvvzxuuzxzdddddd xuvuevuvxcos)12()32(324 .cos)sin12()sin3sin2(324xxeeexxexxxx ?dd0 xxz, 01 vu、 0ddxxz0, 0, 1324cos)12()32( xvuxxuvuevuv. 10cos100 euvxztztvvztuuztz ddddddttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet . ,cos, ,sin dtdztveutuvzt求求全全導導數數而而設設 例例2解解uvztt(中間變量是多元函數的情形中

6、間變量是多元函數的情形).二、偏導數公式二、偏導數公式定理定理 如果函數如果函數),(yxu 及及),(yxv 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數，的偏導數，且函數且函數z=f(u,v)在對應點在對應點(u,v)具有連續(xù)具有連續(xù)偏導數，偏導數，則復合函數則復合函數 ),(),(yxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏導數存在，的兩個偏導數存在， 且可用下列公式計算且可用下列公式計算uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 同路相乘，異路相加同路相乘，異路相加.方法：方法：類似地還可以推廣：類似地還可以推廣： 設設),

7、(wvufz 具有連續(xù)偏導數具有連續(xù)偏導數,而而),(),(),(yxwyxvyxu 都具有偏導數，都具有偏導數， 那那么么復合函數復合函數),(),(),(yxyxyxfz 有對自變量有對自變量x、y的偏導數，的偏導數，且且 xuufxz yuufyzzwvuyx xvvf,xwwf yvvf.ywwf 求多元復合函數的導數的步驟：求多元復合函數的導數的步驟：畫出變量關系圖；畫出變量關系圖；由關系圖得出求導公式由關系圖得出求導公式;求出所需的偏導數求出所需的偏導數(或導數或導數); 代入公式代入公式,化簡即可化簡即可.例例3設設1cossin veyveuu xz,sinvezu 而而,yx

8、vxyu 求求xz 及及.yz 解解 yz).cos()sin(yxyxyexy 1cossin vexveuu . )cos()sin(yxyxxexy uvzxy,sinveuzu ,cosvevzu , yxu ,xyu , 1 xv. 1 yv xuuzxvvz yuuzyvvz 例例4),(2222xyyxfz 設設f具有連續(xù)的偏導數，具有連續(xù)的偏導數，證明：證明：. 0 yzxxzy證證 令令,22yxu ,22xyv 是由是由),( vufz 2222,xyvyxu 復合而成復合而成.于是于是xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz vzxuzx22 vzyuzy22那那么么

9、yzxxzy )(2vzuzxy )(2uzvzxy. 0uvzxy則復合函數則復合函數),(2222xyyxfz );(2vzuzx ).(2uzvzy n推廣推廣1：結論可中間變量既有一元函數結論可中間變量既有一元函數,又有多元函數又有多元函數的情形：的情形：如如)(),(),(yvyxuvufz zuvxy那么那么;xuuzxz .ddyvvzyuuzyz 說明：說明：這里這里v與與x無關，無關，且在一元函數求導時，且在一元函數求導時，將記號將記號”“ 改為改為“d”.,arcsin2tysexxyzt sz .tz 解解 szz xxs 221tyex y ;12422ttetset

10、tztyyztxxzdd tseyxy221tyxx2122 .1)2(242ttetsstet stzxyn推廣推廣2：結論還可推廣到有的變量既是中間：結論還可推廣到有的變量既是中間變量又是自變量的情況變量又是自變量的情況.如：如：),(yxufz 而而),(yxu 則復合函數則復合函數,),(yxyxfz， 具有對具有對x和和y的偏導數的偏導數.從而有從而有;xfxuufxz .yfyuufyz zyxuxy注：注：xz 與與的區(qū)別：的區(qū)別：xf 從而有從而有;xfxuufxz .yfyuufyz zyxuxyxz 常數而對常數而對x求偏導；求偏導；是在未經復合的函數是在未經復合的函數),

11、(yxufz 中，中，把把u和和y看作常數而對看作常數而對x的偏導數的偏導數.是把復合函數是把復合函數,),(yxyxfz， 中的中的y看作看作而而xf yz 與與類似類似.yf 例例6設設，222),(zyxezyxfu 而而,sin2yxz 求求xu 及及.yu 解解xfxzzfxu uxyzxy2222222sin22zyxzyxxeyxze ,)sin21(22422sin22yxyxeyxx yfyzzfyu 2222222cos22zyxzyxyeyxze .)cossin(22422sin4yxyxeyyxy Fuyx例例7 設設解解 xz( )xy ( )xF u )(2uFx

12、 yz,),(22yxuuFyz 求求.,yzxz ( )yy ( )yF u 12( ).yF u 例例8設設),(xyzzyxfw f具有二階偏導數，具有二階偏導數，.,2zxwxw 求求解解令令, zyxu 那那么么),( vufw 引入記號引入記號,),(,),(2121vuvuffuvuff ,21fyzf xvvfxuufxw )(212fyzfzzxw .221zfyzf yzf wuvxyz,xyzv ),(),(111vufxyzzyxff zf1 zf2 zxw2zfyzf yzf 221,1211fxyf .2221fxyf .)(22221211f yf zxyfzxy

13、f 1211fxyf)(212fyzfzzxw .221zfyzf yzf zuuf1zvvf 1 zuuf2zvvf 2 2fy.22221f zxyfyz ),(),(111vufxyzzyxff 回憶：一元函數微分形式的不變性回憶：一元函數微分形式的不變性設函數設函數)(ufy 有導數有導數，)(uf (1)若若u是自變量時，是自變量時，;d)(duufy (2)若若u是中間變量時，是中間變量時， 即另一變量即另一變量 t 的可微函數的可微函數),(tu 那那么么ttufyd)()(d ,dd)(utt uufyd)(d 結論：結論：無論無論u是自變量還是中間變量，是自變量還是中間變量，

14、微分形式總是微分形式總是)(xfy 的的函數函數uufyd)(d 二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性設函數設函數),( vufz 具有連續(xù)偏導數，具有連續(xù)偏導數， 則全微分則全微分;dddvvzuuzz 當當),(),(yxvyxu 時，時，有有.dddvvzuuzz 全微分形式不變形的實質：全微分形式不變形的實質：無論無論z是自變量是自變量u、v的函數或是中間變量的函數或是中間變量u、v的函數，的函數， 它的全微分形式是一它的全微分形式是一 樣的樣的. xvvzxuuzyyzxxzzddd yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdd uuzd.dvvz ，),(),(),(yxvyxuvufz xdyd例例9解解)(d)(d)(dd321zxfyzfxyfu )dd()dd()dd(321xzzxfyzzyfyxxyf zfxfyyf zfxxf zfyd)(d)(d)(322131 ，31f zf yxu ，21f zfxyu .2fxf yzu zzuyyuxxuudddd 設設),(zxyzxyfu 其中其中f具有一階連續(xù)偏導數，具有一階連續(xù)偏導數，求求du及及.,zuyuxu 1、鏈式法則分三種情況）、鏈式法則分三種情況）（特別要注意特殊情況）（特別要注意特殊情況）三、小結三、小結uvxzzuyxxy